نظرية الرؤوس الأربعة

في الهندسة ، تنص نظرية الرؤوس الأربعة على أن انحناء منحنى مستوٍ بسيط، مغلق ، وأملس، له أربع نقاط قصوى محلية على الأقل (وتحديدًا، نقطتان عظمى محليتان على الأقل ونقطتان صغرى محليتان على الأقل ). ويُشتق اسم النظرية من اصطلاح تسمية النقطة القصوى لدالة الانحناء بالرأس . لهذه النظرية تعميمات عديدة، بما في ذلك صيغة خاصة بالمنحنيات الفضائية حيث يُعرَّف الرأس بأنه نقطة انعدام الالتواء .

يمكن تعريف انحناء أي نقطة على منحنى أملس في المستوى بأنه مقلوب نصف قطر دائرة التماس عند تلك النقطة، أو كمعيار للمشتقة الثانية لتمثيل وسيطي للمنحنى ، مُعَلم بشكل متسق مع طول المنحنى . ^{[ 1 ]} ولكي تكون رؤوس المنحنى مُعَرَّفة جيدًا، يجب أن يتغير الانحناء نفسه باستمرار ، ^{[ 2 ]} كما هو الحال في المنحنيات الملساء .${\displaystyle C^{2}}$[ ^{3 ]} الرأس هو نقطة عظمى محلية أو نقطة صغرى محلية للانحناء. إذا كان الانحناء ثابتًا على قوس من المنحنى، تُعتبر جميع نقاط ذلك القوس رؤوسًا. تنص نظرية الرؤوس الأربعة على أن المنحنى المغلق الأملس يحتوي دائمًا على أربعة رؤوس على الأقل ^.

للقطع الناقص أربعة رؤوس فقط: نقطتان محليتان عظمى للانحناء عند تقاطعه مع المحور الأكبر، ونقطتان محليتان صغرى للانحناء عند تقاطعه مع المحور الأصغر. أما في الدائرة ، فكل نقطة تمثل نقطة محلية عظمى ونقطة محلية صغرى للانحناء، لذا فإن عدد الرؤوس لا نهائي. ^{[ 3 ]} إذا تقاطع منحنى مغلق أملس مع دائرة${\displaystyle k}$مرات، إذن لديها على الأقل${\displaystyle k}$^{[ 4 ]}​

كل منحنى ذي عرض ثابت له ستة رؤوس على الأقل. ورغم أن العديد من المنحنيات ذات العرض الثابت، مثل مثلث رولو ، غير ملساء أو تحتوي على أقواس دائرية على حدودها، إلا أنه توجد منحنيات ملساء ذات عرض ثابت لها ستة رؤوس بالضبط. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

تتوافق رؤوس المنحنى الأملس مع نقاط الانحناء في منحنى تطوره ، وهو المنحنى المتكون من مراكز انحناء المنحنى المعطى. وبالتالي، فإن منحنى تطور أي منحنى مغلق أملس يحتوي على أربع نقاط انحناء على الأقل. ^{[ 7 ]}

أُثبتت نظرية الرؤوس الأربعة لأول مرة للمنحنيات المحدبة (أي المنحنيات ذات الانحناء الموجب تمامًا) عام 1909 على يد سياماداس موخوباديايا . ^{[ 8 ]} يعتمد برهانه على حقيقة أن نقطة على المنحنى تُعدّ قيمة قصوى لدالة الانحناء إذا وفقط إذا كانت الدائرة المماسّة عند تلك النقطة متصلة بالمنحنى من الدرجة الرابعة ؛ وبشكل عام، تكون الدائرة المماسّة متصلة بالمنحنى من الدرجة الثالثة فقط. أُثبتت نظرية الرؤوس الأربعة لمنحنيات أكثر عمومية على يد أدولف كنيسر عام 1912 باستخدام حجة إسقاطية. ^{[ 9 ]}

لسنوات عديدة، ظلّ إثبات نظرية الرؤوس الأربعة صعبًا، لكن أوسرمان (1985) قدّم برهانًا بسيطًا ومفاهيميًا ، استنادًا إلى فكرة الدائرة المُحيطة الدنيا . ^{[ 10 ]} هذه الدائرة تحتوي على المنحنى المُعطى ولها أصغر نصف قطر ممكن. إذا كان المنحنى يتضمن قوسًا من الدائرة، فإنه يحتوي على عدد لا نهائي من الرؤوس. وإلا، فلا بدّ أن يكون للمنحنى والدائرة نقطتا تماس على الأقل ، لأنه يمكن تصغير حجم الدائرة التي تمسّ المنحنى عند نقاط أقل مع الحفاظ على احتواء المنحنى. عند كل تماس، يكون انحناء المنحنى أكبر من انحناء الدائرة، وإلا سيستمر المنحنى من نقطة التماس خارج الدائرة بدلًا من داخلها. مع ذلك، بين كل زوج من نقاط التماس، يجب أن يتناقص الانحناء إلى أقل من انحناء الدائرة، على سبيل المثال عند نقطة يتم الحصول عليها عن طريق تحريك الدائرة حتى لا تعود تحتوي على أي جزء من المنحنى بين نقطتي التماس، مع الأخذ في الاعتبار آخر نقطة تماس بين الدائرة المُحرَّكة والمنحنى. لذا، توجد قيمة دنيا محلية للتقوس بين كل زوج من نقاط التماس، مما يُعطي رأسين من الرؤوس الأربعة. ويجب أن توجد قيمة عظمى محلية للتقوس بين كل زوج من القيم الدنيا المحلية (ليس بالضرورة عند نقاط التماس)، مما يُعطي الرأسين الآخرين. ^{[ 10 ] [ 3 ]}

تنصّ معادلة عكس نظرية الرؤوس الأربعة على أن أي دالة متصلة حقيقية القيمة على الدائرة، لها على الأقل قيمتان عظمى محليتان وقيمتان صغرى محليتان، هي دالة انحناء لمنحنى مستوٍ بسيط مغلق. وقد برهن هيرمان غلوك على عكس هذه المعادلة للدوال الموجبة تمامًا عام 1971 كحالة خاصة من نظرية عامة حول تحديد انحناء الكرات ذات البعد n مسبقًا . [ 11 ] ^{وقد برهن بيورن} دالبرغ على عكس نظرية الرؤوس الأربعة بالكامل قبيل وفاته في يناير 1998، ونُشر بعد وفاته. ^{[ 12 ]} ويستخدم برهان دالبرغ حجة عدد اللفات ، وهي حجة تُذكّر، من بعض النواحي، بالبرهان الطوبولوجي القياسي لنظرية الجبر الأساسية . ^{[ 13 ]}

إحدى نتائج هذه النظرية هي أن القرص المتجانس المستوي الذي يتدحرج على سطح أفقي تحت تأثير الجاذبية يمتلك أربع نقاط توازن على الأقل. ويمكن التعبير عن ذلك بصورة منفصلة بأنه لا يمكن وجود مضلع أحادي الاستاتيكية . مع ذلك، في ثلاثة أبعاد، توجد متعددات وجوه أحادية الاستاتيكية ، كما يوجد جسم محدب متجانس له نقطتا توازن فقط (إحداهما مستقرة والأخرى غير مستقرة)، وهو جسم غومبوك .

توجد عدة صيغ منفصلة لنظرية الرؤوس الأربعة، سواء للمضلعات المحدبة أو غير المحدبة. وفي هذا السياق، من المهم التمييز بين مفهوم رأس المضلع (نقطة التقاء ضلعين) ورأس المنحنى الأملس. ^{[ 7 ]}

يُقال عن المضلع أنه عام إذا لم تكن أي من رؤوسه الأربعة متحدة الدائرة، ومتماسك إذا كان مركز الدائرة المحيطة بكل زوج من الحواف المتتالية يقع داخل القطاع المتكون من هاتين الحافتين. وبالمثل، في المضلع المتماسك، لا يُسمح للمثلث المتكون من هذه الرؤوس الثلاثة أن يكون منفرج الزاوية إذا كان أحد الحافتين هو أطول أضلاعه. بالنسبة للمضلع المحدب المتماسك الذي يحتوي على أربعة رؤوس على الأقل، فإن التسلسل الدوري لأنصاف أقطار الدوائر المحيطة بثلاثيات الرؤوس المتتالية يحتوي على قيمتين عظمى محليتين على الأقل وقيمتين صغرى محليتين على الأقل. ^{[ 14 ]} يُسمى الرأس الأوسط عند إحدى القيم القصوى المحلية بالرأس المتطرف . تحتوي الدائرة المحيطة به وبجاريه إما على كلا الرأسين اللذين يبعدان خطوتين عن الرأس المركزي، أو لا تحتوي على أي منهما. وبالتالي، يحتوي كل مضلع محدب متماسك عام على أربعة رؤوس متطرفة على الأقل، ويبقى هذا صحيحًا حتى بدون افتراض التماسك. ^{[ 15 ]} ليس بالضرورة أن يكون للزوايا عند رؤوس المضلع المحدب أربع قيم قصوى محلية. ولكن بالنسبة للمضلع المحدب متساوي الأضلاع العام ، أي الذي تتساوى أطوال أضلاعه، توجد مرة أخرى قيمتان صغريتان محليتان على الأقل وقيمتان عظميتان محليتان على الأقل في الزوايا. ^{[ 16 ]}

بدلاً من الدوائر المحيطة بثلاثيات من الرؤوس المتتالية لمضلع، يمكن اعتبار الدوائر الداخلية لثلاثيات من الحواف المتتالية، حيث تنطبق نتائج مماثلة. على سبيل المثال، بالنسبة لمضلع متساوي الزوايا عام ، وهو مضلع محدب جميع زواياه متساوية، يوجد على الأقل قيمتان صغريتان محليتان وقيمتان عظميتان محليتان في أطوال الحواف. ^{[ 17 ]}

يحافظ الإسقاط المجسم من الكرة المثقوبة إلى المستوى على النقاط الحرجة لانحناء الجيوديسية . وبالتالي، فإن المنحنيات الكروية المغلقة البسيطة لها أربعة رؤوس. علاوة على ذلك، على الكرة، تتوافق رؤوس المنحنى مع النقاط التي ينعدم عندها التواءه . وبشكل أعم، بالنسبة للمنحنيات الفضائية، يُعرَّف الرأس بأنه نقطة انعدام الالتواء. وقد أثبت ف. د. سيديخ أن أي منحنى فضائي مغلق بسيط يقع على حدود جسم محدب له أربعة رؤوس. ^{[ 18 ]} عمم محمد غومي هذه النتيجة لتشمل جميع المنحنيات التي تحد قرصًا محدبًا محليًا. ^{[ 19 ]}

• آخر بيان هندسي لجاكوبي
• نظرية كرة التنس