غاز بوز ذو تفاعل ضعيف

بالنسبة للغاز المخفف ذي درجة الحرارة المنخفضة، يُؤخذ في الاعتبار عدد الجسيمات في الحالة الأرضية${\textstyle |\Omega \rangle }$كبير جدًا لدرجة أنه يمكننا تقريب ^{[ 5 ] [ 7 ]}

${\displaystyle {\hat {a}}_{0}|\Omega \rangle \approx {\sqrt {N_{0}}}|\Omega \rangle$ ;}

${\displaystyle {\hat {a}}_{0}^{\dagger }|\Omega \rangle \approx {\sqrt {N_{0}}}|\Omega \rangle ,}$

أين${\textstyle N_{0}\gg 1}$يمثل عدد الجسيمات في الحالة الأرضية. وتُعرف هذه العملية بتقريب بوغوليوبوف.

باستخدام تقريب بوغوليوبوف، مع الاحتفاظ فقط بالحدود التربيعية وفرض عدد الجسيمات على النحو ^{[ 7 ].}

${\displaystyle N=N_{0}+\sum _{\mathbf {p} \neq 0}{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {p} },}$

يمكن الحصول على هاميلتوني فعال ^{[ 5 ]}

${\displaystyle H\approx {\frac {gnN}{2}}+\sum _{\mathbf {p} \neq 0}\left({\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+ng\right){\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {p} }+{\frac {gn}{2}}\sum _{\mathbf {p} \neq 0}({\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }{\hat {a}}_{-\mathbf {p} }^{\dagger }+{\hat {a}}_{\mathbf {p} }{\hat {a}}_{-\mathbf {p} }),}$

أين${\textstyle n=N/{\mathcal {V}}}$لم يعد هذا الهاميلتوني يتمتع بتناظر U(1) الخاص بالهاميلتوني الأصلي، وتكسر الحالة الأرضية هذا التناظر، ولم يعد العدد الإجمالي للجسيمات محفوظًا. يمكن تحويل الهاميلتوني الفعال إلى شكل قطري باستخدام تحويل بوغوليوبوف ، بحيث ^{[ 5 ]}

${\displaystyle H=E_{0}+\sum _{\mathbf {p} }E_{\mathbf {p} }{\hat {\alpha }}_{\mathbf {p} }^{\dagger }{\hat {\alpha }}_{\mathbf {p} },}$

أين

${\displaystyle E_{0}={\frac {gn^{2}{\mathcal {V}}}{2}}-{\frac {1}{2}}\sum _{\mathbf {p} \neq 0}\left({\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+gn-E_{\mathbf {p} }\right),}$

هي طاقة الحالة الأرضية ^{[ 8 ]} و${\displaystyle {\hat {\alpha }}_{\mathbf {p} }}$هي المؤثرات القطرية ذات الطاقات، ^{[ 5 ]}

${\displaystyle E_{\mathbf {p} }={\sqrt {{\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}\left({\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+2ng\right)}},}$

في ظل هذه المؤثرات الجديدة، يمكن تدريس النظام على أنه مكثف (غاز) من الجسيمات شبه الحقيقية ، والتي تسمى أحيانًا بالبوغولونات . ^{[ 4 ]} البوغولونات هي بوزونات غولدستون بسبب كسر تناظر الهاميلتوني، ووفقًا لنظرية غولدستون، فهي عديمة الفجوة وخطية عند الزخم المنخفض. ^{[ 5 ]}

${\displaystyle E_{\mathbf {p} }\approx c_{\mathrm {s} }|\mathbf {p} |}$

أين${\textstyle c_{\mathrm {s} }={\sqrt {ng/m}}}$يرتبط هذا الصوت بسرعة الصوت في مكثف الجسيمات شبه الحقيقية، ويُسمى الصوت الثاني . ووفقًا لمعيار لانداو، لا يمكن للنظام أن يُظهر خاصية الميوعة الفائقة إلا عند سرعة أقل من 10000.${\textstyle c_{\mathrm {s} }}$وفوق هذا الحد، يمكن أن يحدث تبديد. ^{[ 9 ]}

بالنسبة للزخم الكبير، يكون التشتت تربيعيًا ويتصرف النظام كغاز بوز مثالي . ^{[ 5 ]} يُعطى الانتقال بين النظام الباليستي والنظام التربيعي عندما${\textstyle \hbar ^{2}/(2m\xi ^{2})=2ng}$، أين${\textstyle |\mathbf {p} |=\hbar /\xi }$و${\textstyle \xi }$ويُشار إليه بطول الشفاء. ^{[ 5 ]}

لا تتنبأ نظرية بوغوليوبوف للغاز ذي التفاعل الضعيف بالتشتت عند الزخم المتوسط ​​بسبب الروتونات . ^{[ 4 ]}

طاقة الحالة الأرضية${\textstyle E_{0}}$إن القيمة المحسوبة أعلاه متباعدة في الواقع، ويمكن جعلها محدودة بحساب تصحيحات من رتبة أعلى. ^{[ 8 ]} يعطي تصحيح الرتبة التالية

${\displaystyle E_{0}={\frac {gn^{2}{\mathcal {V}}}{2}}\left(1+{\frac {128}{15}}{\sqrt {\frac {na_{\mathrm {s} }^{3}}{\pi }}}\right),}$

مما يوفر ضغطًا ^{[ 8 ]}

${\displaystyle P_{0}=-{\frac {\partial E_{0}}{\partial {\mathcal {V}}}}={\frac {gn^{2}}{2}}\left(1+{\frac {64}{5}}{\sqrt {\frac {na_{\mathrm {s} }^{3}}{\pi }}}\right)}$

وجهد كيميائي ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \mu ={\frac {\partial E_{0}}{N}}=gn\left(1+{\frac {32}{3}}{\sqrt {\frac {na_{\mathrm {s} }^{3}}{\pi }}}\right).}$

باستخدام صيغة سرعة الصوت${\displaystyle mc_{\mathrm {s} }^{2}=(\partial P_{0}/\partial n)}$يمكن للمرء أن يؤكد ذلك${\textstyle c_{\mathrm {s} }={\sqrt {ng/m}}}$في أدنى مستوى من التقريب. ^{[ 8 ]}