نظرية المجال المتوسط

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 54 صور
الموسوعة الحرة

في الفيزياء ونظرية الاحتمالات ، تدرس نظرية المجال المتوسط ​​( MFT ) أو نظرية المجال المتسق ذاتيًا سلوك النماذج العشوائية ( الاحتمالية ) عالية الأبعاد من خلال دراسة نموذج أبسط يُقارب النموذج الأصلي عن طريق حساب المتوسط ​​على درجات الحرية (عدد القيم في الحساب النهائي للإحصائية التي يمكن أن تتغير بحرية). وتأخذ هذه النماذج في الاعتبار العديد من المكونات الفردية التي تتفاعل مع بعضها البعض.

تتمثل الفكرة الرئيسية لنظرية المجال الجزيئي (MFT) في استبدال جميع التفاعلات مع أي جسم بتفاعل متوسط ​​أو فعال، يُسمى أحيانًا المجال الجزيئي . [ 1 ] وهذا يُختزل أي مسألة متعددة الأجسام إلى مسألة فعالة لجسم واحد . إن سهولة حل مسائل MFT تعني إمكانية الحصول على بعض الفهم لسلوك النظام بتكلفة حسابية أقل.

وقد تم تطبيق نظرية MFT منذ ذلك الحين على نطاق واسع من المجالات خارج الفيزياء، بما في ذلك الاستدلال الإحصائي ، والنماذج الرسومية ، وعلم الأعصاب ، [ 2 ] والذكاء الاصطناعي ، ونماذج الأوبئة ، [ 3 ] ونظرية الطوابير ، [ 4 ] وأداء شبكات الكمبيوتر ونظرية الألعاب ، [ 5 ] كما هو الحال في توازن الاستجابة الكمي .

الأصول

ظهرت الفكرة لأول مرة في الفيزياء ( الميكانيكا الإحصائية ) في أعمال بيير كوري [ 6 ] وبيير فايس لوصف التحولات الطورية . [ 7 ] وقد تم استخدام نظرية المجال المغناطيسي في تقريب براغ-ويليامز، ونماذج على شبكة بيث ، ونظرية لانداو ، وقانون كوري-فايس للحساسية المغناطيسية ، ونظرية حل فلوري-هوغينز ، ونظرية شوتجينز-فلير .

تُعدّ الأنظمة ذات درجات الحرية الكثيرة (وأحيانًا اللانهائية) صعبة الحل بدقة أو الحساب بصيغة تحليلية مغلقة، باستثناء بعض الحالات البسيطة (مثل بعض نظريات الحقول العشوائية الغاوسية، ونموذج إيزينغ أحادي البعد ). غالبًا ما تنشأ مسائل توافقية تُصعّب حساب دالة التقسيم للنظام. تُعدّ نظرية الحقول المتعددة (MFT) طريقة تقريبية تجعل المسألة الأصلية قابلة للحل والحساب، وفي بعض الحالات قد تُعطي تقريبات دقيقة للغاية.

في نظرية المجال ، يمكن توسيع الهاميلتوني بدلالة مقدار التقلبات حول متوسط ​​المجال. في هذا السياق، يمكن اعتبار نظرية المجال المتوسط ​​(MFT) بمثابة توسيع "من الرتبة الصفرية" للهاميلتوني بدلالة التقلبات. فيزيائيًا، يعني هذا أن نظام MFT لا يحتوي على تقلبات، لكن هذا يتوافق مع فكرة استبدال جميع التفاعلات بـ"مجال متوسط".

في كثير من الأحيان، توفر نظرية المجال المتوسط ​​نقطة انطلاق ملائمة لدراسة التقلبات ذات الرتب الأعلى. على سبيل المثال، عند حساب دالة التوزيع ، فإن دراسة توافقات حدود التفاعل في الهاميلتوني قد تُنتج في أفضل الأحوال نتائج اضطراب أو مخططات فاينمان تُصحح تقريب المجال المتوسط.

صحة

بشكل عام، يلعب البُعد دورًا فعالًا في تحديد مدى ملاءمة منهج المجال المتوسط ​​لأي مشكلة معينة. يوجد أحيانًا بُعد حرج يكون عنده هذا المنهج صالحًا، وعنده لا يكون كذلك.

بشكل استدلالي، تُستبدل العديد من التفاعلات في نظرية المجال المتوسط ​​(MFT) بتفاعل فعّال واحد. لذا، إذا أظهر المجال أو الجسيم تفاعلات عشوائية متعددة في النظام الأصلي، فإنها تميل إلى إلغاء بعضها البعض، وبالتالي يكون متوسط ​​التفاعل الفعّال ونظرية المجال المتوسط ​​أكثر دقة. ينطبق هذا في حالات الأبعاد العالية، عندما يتضمن الهاميلتوني قوى بعيدة المدى، أو عندما تكون الجسيمات ممتدة (مثل البوليمرات ). يُعد معيار جينزبورغ التعبير الرسمي عن كيفية جعل التقلبات نظرية المجال المتوسط ​​تقريبًا ضعيفًا، وغالبًا ما يعتمد ذلك على عدد الأبعاد المكانية في النظام قيد الدراسة.

المنهج الرسمي (الهاميلتوني)

الأساس الرسمي لنظرية المجال المتوسط ​​هو متباينة بوغوليوبوف . تنص هذه المتباينة على أن الطاقة الحرة لنظام ذي هاميلتوني

ح=ح0+Δح{\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{0}+\Delta {\mathcal {H}}}

له الحد الأعلى التالي:

F≤F0 =دهـو ⟨ح⟩0-تيS0،{\displaystyle F\leq F_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle {\mathcal {H}}\rangle _{0}-TS_{0},}

أينS0{\displaystyle S_{0}}هي الإنتروبيا ، وF{\displaystyle F}وF0{\displaystyle F_{0}}هي طاقات هلمهولتز الحرة . يتم حساب المتوسط ​​على مجموعة التوازن للنظام المرجعي ذي الهاميلتونيح0{\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}في الحالة الخاصة التي يكون فيها الهاميلتوني المرجعي هو نظام غير متفاعل، وبالتالي يمكن كتابته على النحو التالي

ح0=∑أنا=1شمالحأنا(ξأنا)،{\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}h_{i}(\xi _{i}),}

أينξأنا{\displaystyle \xi _{i}}إذا كانت درجات حرية المكونات الفردية لنظامنا الإحصائي (الذرات، واللف المغزلي، وما إلى ذلك) هي قيمًا محددة، فيمكن تحسين الحد الأعلى بتقليل الطرف الأيمن من المتباينة. ويُعدّ النظام المرجعي المُصغّر حينها "أفضل" تقريب للنظام الحقيقي باستخدام درجات حرية غير مترابطة، ويُعرف بتقريب المجال المتوسط .

في الحالة الأكثر شيوعًا، وهي أن الهاميلتوني المستهدف يحتوي فقط على تفاعلات ثنائية، أي

ح=∑(أنا،ج)∈PVأنا،ج(ξأنا،ξج)،{\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j}),}

أينP{\displaystyle {\mathcal {P}}}إذا كانت مجموعة الأزواج التي تتفاعل، فيمكن تنفيذ عملية التصغير بشكل رسمي. عرّفTrأنا⁡و(ξأنا){\displaystyle \operatorname {Tr} _{i}f(\xi _{i})}باعتباره المجموع المعمم للملاحظةو{\displaystyle f}على درجات حرية المكون الواحد (مجموع للمتغيرات المنفصلة، ​​وتكاملات للمتغيرات المستمرة). تُعطى الطاقة الحرة التقريبية بواسطة

F0=Tr1،2،...،شمال⁡ح(ξ1،ξ2،...،ξشمال)P0(شمال)(ξ1،ξ2،...،ξشمال)+كتيTr1،2،...،شمال⁡P0(شمال)(ξ1،ξ2،...،ξشمال)سجل⁡P0(شمال)(ξ1،ξ2،...،ξشمال)،{\displaystyle {\begin{aligned}F_{0}&=\operatorname {Tr} _{1,2,\ldots ,N}{\mathcal {H}}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})\\&+kT\,\operatorname {Tr} _{1,2,\ldots ,N}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})\log P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N}),\end{aligned}}}

أينP0(شمال)(ξ1،ξ2،...،ξشمال){\displaystyle P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})}هي احتمالية إيجاد النظام المرجعي في الحالة المحددة بواسطة المتغيرات(ξ1،ξ2،...،ξشمال){\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})}يتم تحديد هذا الاحتمال بواسطة عامل بولتزمان المعياري

P0(شمال)(ξ1،ξ2،...،ξشمال)=1Z0(شمال)هـ-βح0(ξ1،ξ2،...،ξشمال)=∏أنا=1شمال1Z0هـ-βحأنا(ξأنا) =دهـو ∏أنا=1شمالP0(أنا)(ξأنا)،// _ {N})}\\&=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}(\xi _{i})}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{i=1}^{N}P_{0}^ {(i)}(\xi _{i})،\end{محاذاة}}}

أينZ0{\displaystyle Z_{0}}هي دالة التقسيم . وبالتالي

F0=∑(أنا،ج)∈PTrأنا،ج⁡Vأنا،ج(ξأنا،ξج)P0(أنا)(ξأنا)P0(ج)(ξج)+كتي∑أنا=1شمالTrأنا⁡P0(أنا)(ξأنا)سجل⁡P0(أنا)(ξأنا).{\displaystyle {\begin{aligned}F_{0}&=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}\operatorname {Tr} _{i,j}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(i)}(\xi _{i})P_{0}^{(j)}(\xi _{j})\\&+kT\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Tr} _{i}P_{0}^{(i)}(\xi _{i})\log P_{0}^{(i)}(\xi _{i}).\end{aligned}}}

لتقليل الخطأ، نأخذ المشتقة بالنسبة لاحتمالات درجة الحرية الواحدةP0(أنا){\displaystyle P_{0}^{(i)}}باستخدام مُضاعِف لاغرانج لضمان التطبيع الصحيح. والنتيجة النهائية هي مجموعة معادلات الاتساق الذاتي.

P0(أنا)(ξأنا)=1Z0هـ-βحأنامF(ξأنا)،أنا=1،2،...،شمال،{\displaystyle P_{0}^{(i)}(\xi _{i})={\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}^{MF}(\xi _{i})},\quad i=1,2,\ldots ,N,}

حيث يُعطى المجال المتوسط ​​بواسطة

حأناMF(ξأنا)=∑{ج|(أنا،ج)∈P}Trج⁡Vأنا،ج(ξأنا،ξج)P0(ج)(ξج).{\displaystyle h_{i}^{\text{MF}}(\xi _{i})=\sum _{\{j\mid (i,j)\in {\mathcal {P}}\}}\operatorname {Tr} _{j}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(j)}(\xi _{j}).}

التطبيقات

يمكن تطبيق نظرية المجال المتوسط ​​على عدد من الأنظمة الفيزيائية لدراسة ظواهر مثل التحولات الطورية . [ 8 ]

نموذج إيزينغ

الاشتقاق الرسمي

يمكن استخدام متباينة بوغوليوبوف، الموضحة أعلاه، لإيجاد ديناميكيات نموذج المجال المتوسط ​​لشبكة إيزينغ ثنائية الأبعاد . ويمكن حساب دالة المغنطة من الطاقة الحرة التقريبية الناتجة . [ 9 ] تتمثل الخطوة الأولى في اختيار تقريب أسهل للهاميلتوني الحقيقي. باستخدام هاميلتوني مجال غير متفاعل أو فعال،

-م∑أناsأنا{\displaystyle -m\sum _{i}s_{i}}،

الطاقة الحرة المتغيرة هي

FV=F0+⟨(-ج∑sأناsج-ح∑sأنا)-(-م∑sأنا)⟩0.{\displaystyle F_{V}=F_{0}+\left\langle \left(-J\sum s_{i}s_{j}-h\sum s_{i}\right)-\left(-m\sum s_{i}\right)\right\rangle _{0}.}

باستخدام متباينة بوغوليوبوف، فإن تبسيط هذه الكمية وحساب دالة المغنطة التي تُقلل الطاقة الحرة المتغيرة يُعطي أفضل تقريب للمغنطة الفعلية. القيمة المُقللة هي

م=ج∑⟨sج⟩0+ح،{\displaystyle m=J\sum \langle s_{j}\rangle _{0}+h,}

وهو المتوسط ​​الإحصائي للدوران. وهذا يتبسط إلى

م=tanh(zجβم+ح{\displaystyle m={\text{tanh}}(zJ\beta m+h}).

إن مساواة المجال الفعال الذي تشعر به جميع اللفات بقيمة اللف المتوسطة يربط النهج التبايني بكبح التقلبات. وبالتالي، فإن التفسير الفيزيائي لدالة المغنطة هو مجال من القيم المتوسطة لللفات الفردية.

تقريب اللف المغزلي غير المتفاعل

ضع في اعتبارك نموذج إيزينغ علىد{\displaystyle d}شبكة ذات أبعاد n. يُعطى الهاميلتوني بواسطة

ح=-ج∑⟨أنا،ج⟩sأناsج-ح∑أناsأنا،{\displaystyle H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-h\sum _{i}s_{i},}

حيث∑⟨أنا،ج⟩{\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }}يشير إلى عملية الجمع على زوج من أقرب الجيران⟨أنا،ج⟩{\displaystyle \langle i,j\rangle }، وsأنا،sج=±1{\displaystyle s_{i},s_{j}=\pm 1}هي دورات إيزينغ متجاورة.

لنقم بتحويل متغير الدوران الخاص بنا عن طريق إدخال التذبذب عن قيمته المتوسطةمأنا≡⟨sأنا⟩{\displaystyle m_{i}\equiv \langle s_{i}\rangle }يمكننا إعادة كتابة الهاميلتوني على النحو التالي:

ح=-ج∑⟨أنا،ج⟩(مأنا+دلتاsأنا)(مج+دلتاsج)-ح∑أناsأنا،{\displaystyle H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}+\delta s_{i})(m_{j}+\delta s_{j})-h\sum _{i}s_{i},}

حيث نحدددلتاsأنا≡sأنا-مأنا{\displaystyle \delta s_{i}\equiv s_{i}-m_{i}}هذا هو تذبذب الدوران.

إذا قمنا بتوسيع الطرف الأيمن، نحصل على حد يعتمد كليًا على متوسط ​​قيم اللف المغزلي ولا يعتمد على تكوينات اللف المغزلي. هذا هو الحد البسيط الذي لا يؤثر على الخصائص الإحصائية للنظام. أما الحد التالي فهو الذي يتضمن حاصل ضرب متوسط ​​قيمة اللف المغزلي وقيمة التذبذب. وأخيرًا، يتضمن الحد الأخير حاصل ضرب قيمتي تذبذب.

يتكون تقريب المجال المتوسط ​​من إهمال حد التذبذب من الدرجة الثانية هذا:

ح≈حMF≡-ج∑⟨أنا،ج⟩(مأنامج+مأنادلتاsج+مجدلتاsأنا)-ح∑أناsأنا.{\displaystyle H\approx H^{\text{MF}}\equiv -J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}m_{j}+m_{i}\delta s_{j}+m_{j}\delta s_{i})-h\sum _{i}s_{i}.}

تتفاقم هذه التقلبات عند الأبعاد المنخفضة، مما يجعل MFT تقريبًا أفضل للأبعاد العالية.

مرة أخرى، يمكن إعادة توسيع الحد. بالإضافة إلى ذلك، نتوقع أن تكون القيمة المتوسطة لكل دوران مستقلة عن الموقع، لأن سلسلة إيزينغ ثابتة إزاحيًا. وهذا ينتج عنه

حMF=-ج∑⟨أنا،ج⟩(م2+2م(sأنا-م))-ح∑أناsأنا.{\displaystyle H^{\text{MF}}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }{\big (}m^{2}+2m(s_{i}-m){\big )}-h\sum _{i}s_{i}.}

يمكن إعادة كتابة عملية الجمع على اللفات المتجاورة على النحو التالي:∑⟨أنا،ج⟩=12∑أنا∑ج∈نن(أنا){\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn(i)}}، أيننن(أنا){\displaystyle nn(i)}ويعني "أقرب جار لـأنا{\displaystyle i}و1/2{\displaystyle 1/2}يُجنّبنا استخدام المعامل المسبق التكرار في الحساب، لأن كل رابطة تشارك في دورتين مغزليتين. ويؤدي التبسيط إلى التعبير النهائي.

حMF=جم2شمالz2-(ح+مجz)⏟حفعال.∑أناsأنا،{\displaystyle H^{\text{MF}}={\frac {Jm^{2}Nz}{2}}-\underbrace {(h+mJz)} _{h^{\text{eff.}}}\sum _{i}s_{i},}

أينz{\displaystyle z}يمثل عدد التنسيق . عند هذه النقطة، تم فصل هاميلتوني إيزينغ إلى مجموع هاميلتونيانات أحادية الجسم مع مجال متوسط ​​فعالحفعال.=ح+جzم{\displaystyle h^{\text{eff.}}=h+Jzm}وهو مجموع المجال الخارجيح{\displaystyle h}والمجال المتوسط ​​الناتج عن اللفات المجاورة. ومن الجدير بالذكر أن هذا المجال المتوسط ​​يعتمد بشكل مباشر على عدد الجيران الأقرب، وبالتالي على بُعد النظام (على سبيل المثال، بالنسبة لشبكة مكعبة فائقة ذات بُعدد{\displaystyle d}،z=2د{\displaystyle z=2d}).

بإدخال هذه الدالة الهاميلتونية في دالة التقسيم وحل المسألة الفعالة أحادية البعد، نحصل على

Z=هـ-βجم2شمالz2[2ضرب بالعصا⁡(ح+مجzكبتي)]شمال،{\displaystyle Z=e^{-{\frac {\beta Jm^{2}Nz}{2}}}\left[2\cosh \left({\frac {h+mJz}{k_{\text{B}}T}}\right)\right]^{N},}

أينشمال{\displaystyle N}يمثل عدد مواقع الشبكة. هذا تعبير مغلق ودقيق لدالة التوزيع للنظام. يمكننا الحصول على الطاقة الحرة للنظام وحساب الأسس الحرجة . على وجه الخصوص، يمكننا الحصول على المغنطةم{\displaystyle m}كدالة لـحفعال.{\displaystyle h^{\text{eff.}}}.

وبالتالي لدينا معادلتان بينم{\displaystyle m}وحفعال.{\displaystyle h^{\text{eff.}}}مما يسمح لنا بتحديدم{\displaystyle m}كدالة لدرجة الحرارة. وهذا يؤدي إلى الملاحظة التالية:

  • لدرجات حرارة أعلى من قيمة معينةتيج{\displaystyle T_{\text{c}}}الحل الوحيد هوم=0{\displaystyle m=0}النظام بارامغناطيسي .
  • لتي<تيج{\displaystyle T<T_{\text{c}}}يوجد حلان غير صفريين:م=±م0{\displaystyle m=\pm m_{0}}النظام مغناطيسي حديدي .

تيج{\displaystyle T_{\text{c}}}يتم تحديد ذلك من خلال العلاقة التالية:تيج=جzكب{\displaystyle T_{\text{c}}={\frac {Jz}{k_{B}}}}.

وهذا يدل على أن نظرية المجال المغناطيسي يمكن أن تفسر الانتقال الطوري المغناطيسي الحديدي.

تطبيق على أنظمة أخرى

وبالمثل، يمكن تطبيق نظرية المجال المتوسط ​​على أنواع أخرى من الهاميلتوني كما في الحالات التالية:

يمكن أيضًا استخدام تقليل التباين مثل نظرية المجال المتوسط ​​في الاستدلال الإحصائي.

امتداد إلى المجالات المتوسطة المعتمدة على الزمن

في نظرية المجال المتوسط، يكون المجال المتوسط ​​الظاهر في مسألة الموقع الواحد كمية قياسية أو متجهة مستقلة عن الزمن. مع ذلك، لا يكون هذا هو الحال دائمًا: ففي أحد أنواع نظرية المجال المتوسط، المعروفة بنظرية المجال المتوسط ​​الديناميكي (DMFT)، يصبح المجال المتوسط ​​كمية تعتمد على الزمن. على سبيل المثال، يمكن تطبيق DMFT على نموذج هوبارد لدراسة الانتقال من المعدن إلى عازل موت.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ تشايكين، بي إم؛ لوبينسكي، تي سي (2007). مبادئ فيزياء المادة المكثفة (الطبعة الرابعة  ). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-79450-3.
  2. ↑ بار، توماس؛ ساجد، نور؛ فريستون، كارل (2020). " الوحدات النمطية أم الحقول المتوسطة؟" (ملف PDF) . إنتروبي . 22 (552): 552. Bibcode : 2020Entrp..22..552P . doi : 10.3390/e22050552 . PMC 7517075. PMID 33286324. تاريخ الاسترجاع: 22 مايو 2020 .  
  3. ↑ بوديك، جيه واي إل؛ ماكدونالد، دي؛ مونديجر، جيه (2007). "نتيجة تقارب عامة للمجال المتوسط ​​لأنظمة الكائنات المتفاعلة". المؤتمر الدولي الرابع للتقييم الكمي للأنظمة (QEST 2007) (ملف PDF) . ص 3. CiteSeerX 10.1.1.110.2612 . doi : 10.1109/QEST.2007.8 . ISBN   978-0-7695-2883-0. S2CID 15007784 . 
  4. ↑ باتشيلي، ف.؛ كاربيليفيتش، ف.إ.؛ كيلبرت، م.ي.؛ بوهالسكي، أ.أ.؛ ريبكو، أ.ن.؛ سوهوف، ي.م. (1992). "حد المجال المتوسط ​​لفئة من شبكات الانتظار". مجلة الفيزياء الإحصائية . 66 ( 3-4 ): 803. Bibcode : 1992JSP....66..803B . doi : 10.1007/BF01055703 . S2CID 120840517 . 
  5. ↑ لاسري، ج.م.؛ ليونز، ب.ل. (2007). "ألعاب المجال المتوسط" (ملف PDF) . المجلة اليابانية للرياضيات . 2 : 229-260 . doi : 10.1007/s11537-007-0657-8 . S2CID 1963678 . 
  6. ↑ كادانوف، إل بي (2009). "المزيد هو نفسه؛ التحولات الطورية ونظريات المجال المتوسط". مجلة الفيزياء الإحصائية . 137 ( 5-6 ): 777-797 . arXiv : 0906.0653 . Bibcode : 2009JSP...137..777K . doi : 10.1007/s10955-009-9814-1 . S2CID 9074428 . 
  7. ^ فايس، بيير (1907). "فرضية البطل الجزيئي والملكية المغناطيسية الحديدية" . جي فيز. النظرية. تطبيق . 6 (1): 661–690 . دوى : 10.1051/jphystap:019070060066100 .
  8. ↑ ستانلي، هـ. إي. (1971). "نظرية المجال المتوسط ​​للانتقالات الطورية المغناطيسية". مقدمة في الانتقالات الطورية والظواهر الحرجة . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0-19-505316-8.
  9. ↑ ساكتيفاديفيل، دالتون إيه آر (يناير 2022). "المغنطة ونظرية المجال المتوسط ​​في نموذج إيزينغ" . سلسلة محاضرات ساي بوست في الفيزياء . 35 : 1-16 . arXiv : 2102.00960 . doi : 10.21468/SciPostPhysLectNotes.35 . S2CID 237623181 .