ترتيب طبيعي

إذا بدأنا بنوع واحد فقط من البوزونات، فسيكون هناك عاملان مهمان:

• ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$: عامل إنشاء البوزون.
• ${\displaystyle {\hat {b}}}$: عامل إفناء البوزون.

هذه تحقق علاقة التبديل

${\displaystyle \left[{\hat {b}}^{\dagger },{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=1}$

أين${\displaystyle \left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA}$يرمز إلى المُبدِّل . يمكننا إعادة كتابة الأخير على النحو التالي:${\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1.}$

إذا نظرنا الآن${\displaystyle N}$توجد بوزونات مختلفة${\displaystyle 2N}$المشغلون:

• ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dagger }}$: ال${\displaystyle i^{th}}$عامل إنشاء البوزون.
• ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}}$: ال${\displaystyle i^{th}}$عامل إفناء البوزون.

هنا${\displaystyle i=1,\ldots ,N}$.

هذه تحقق علاقات التبادل:

${\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i}^{\dagger },{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=\delta _{ij}}$

أين${\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}$و${\displaystyle \delta _{ij}}$يشير إلى دلتا كرونكر .

يمكن إعادة كتابة هذه على النحو التالي:

${\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{j}^{\dagger }={\hat {b}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{i}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\hat {b}}_{i}\,{\hat {b}}_{j}={\hat {b}}_{j}\,{\hat {b}}_{i}}$

${\displaystyle {\hat {b}}_{i}\,{\hat {b}}_{j}^{\dagger }={\hat {b}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{i}+\delta _{ij}.}$

الترتيب الطبيعي لوظائف المؤثرات البوزونية${\displaystyle f({\hat {n}})}$، مع عامل رقم المهنة${\displaystyle {\hat {n}}={\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{\dagger }{\hat {b}}}$يمكن تحقيق ذلك باستخدام قوى مضروبية (متناقصة).${\displaystyle {\hat {n}}^{\underline {k}}={\hat {n}}({\hat {n}}-1)\cdots ({\hat {n}}-k+1)}$واستخدام متسلسلة نيوتن بدلاً من متسلسلة تايلور : من السهل إثبات ^{[ 1 ]} أن القوى العاملية${\displaystyle {\hat {n}}^{\underline {k}}}$تساوي القوى المرتبة ترتيبًا طبيعيًا (الخام)${\displaystyle {\hat {n}}^{k}}$وبالتالي فهي مرتبة بشكل طبيعي حسب التصميم،

${\displaystyle {\hat {n}}^{\underline {k}}={\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{\dagger k}{\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{k}={:\,}{\hat {n}}^{k}{\,:},}$

بحيث يكون توسيع متسلسلة نيوتن

${\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})=\sum _{k=0}^{\infty }\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0)\,{\frac {{\hat {n}}^{\underline {k}}}{k!}}}$

دالة عامل${\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})}$، مع${\displaystyle k}$الفرق الأمامي رقم -th${\displaystyle \Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0)}$في${\displaystyle n=0}$، يكون دائمًا مرتبًا ترتيبًا طبيعيًا. هنا، معادلة القيم الذاتية${\displaystyle {\hat {n}}|n\rangle =n|n\rangle }$يتعلق${\displaystyle {\hat {n}}}$و${\displaystyle n}$.

ونتيجة لذلك، فإن متسلسلة تايلور المرتبة ترتيبًا طبيعيًا لدالة اختيارية${\displaystyle f({\hat {n}})}$يساوي متسلسلة نيوتن لدالة مرتبطة بها${\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})}$، تحقيق

${\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})={:\,}f({\hat {n}}){\,:},}$

إذا كانت معاملات متسلسلة تايلور لـ${\displaystyle f(x)}$، مع استمرار${\displaystyle x}$، طابق معاملات متسلسلة نيوتن لـ${\displaystyle {\tilde {f}}(n)}$، مع عدد صحيح${\displaystyle n}$،

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}\,{\frac {x^{k}}{k!}},\\{\tilde {f}}(n)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}\,{\frac {n^{\underline {k}}}{k!}},\\F_{k}&=\partial _{x}^{k}f(0)=\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0),\end{aligned}}}$

مع${\displaystyle k}$المشتقة الجزئية رقم -th${\displaystyle \partial _{x}^{k}f(0)}$في${\displaystyle x=0}$الوظائف${\displaystyle f}$و${\displaystyle {\tilde {f}}}$ترتبط هذه العناصر من خلال ما يسمى بتحويل الترتيب الطبيعي${\displaystyle {\mathcal {N}}[f]}$وفق

$// x\,e^{x}\,f(x)\,(-x)^{-(n+1)}\\&={\frac {1}{\Gamma (-n)}}{\mathcal {M}}_{-x[e^{x}f(x)](-n)،\end{محاذاة}}}$

والتي يمكن التعبير عنها بدلالة تحويل ميلين${\displaystyle {\mathcal {M}}}$انظر ^{[ 1 ]} لمزيد من التفاصيل.

بالنسبة لفيرميون واحد، هناك عاملان مهمان:

• ${\displaystyle {\hat {f}}^{\dagger }}$: عامل إنشاء الفرميون.
• ${\displaystyle {\hat {f}}}$: عامل إفناء الفرميون.

هذه تحقق علاقات مضاد التبديل

${\displaystyle \left[{\hat {f}}^{\dagger },{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {f}},{\hat {f}}\right]_{+}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {f}},{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=1}$

أين${\displaystyle \left[A,B\right]_{+}\equiv AB+BA}$يرمز إلى مضاد التبديل . ويمكن إعادة كتابة هذه على النحو التالي:

${\displaystyle {\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }=0}$

${\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}=0}$

${\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }=1-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}.}$

لتحديد الترتيب الطبيعي لحاصل ضرب مؤثرات الإنشاء والإفناء الفرميونية، يجب مراعاة عدد التبادلات بين المؤثرات المتجاورة. نحصل على إشارة سالبة لكل تبادل من هذا القبيل.

ل${\displaystyle N}$توجد أنواع مختلفة من الفيرميونات${\displaystyle 2N}$المشغلون:

• ${\displaystyle {\hat {f}}_{i}^{\dagger }}$: ال${\displaystyle i^{th}}$عامل إنشاء الفيرميون.
• ${\displaystyle {\hat {f}}_{i}}$: ال${\displaystyle i^{th}}$عامل إفناء الفيرميون.

هنا${\displaystyle i=1,\ldots ,N}$.

هذه تحقق علاقات عدم التبادل:

${\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i}^{\dagger },{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}\right]_{+}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=\delta _{ij}}$

أين${\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}$و${\displaystyle \delta _{ij}}$يشير إلى دلتا كرونكر .

يمكن إعادة كتابة هذه على النحو التالي:

${\displaystyle {\hat {f}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{j}^{\dagger }=-{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{i}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{i}\,{\hat {f}}_{j}=-{\hat {f}}_{j}\,{\hat {f}}_{i}}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{i}\,{\hat {f}}_{j}^{\dagger }=\delta _{ij}-{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{i}.}$

عند حساب الترتيب الطبيعي لحاصل ضرب مؤثرات الفرميون، يجب مراعاة عدد عمليات تبادل المؤثرات المتجاورة اللازمة لإعادة ترتيب التعبير. الأمر أشبه بافتراض أن مؤثرات الإنشاء والإفناء مضادة للتبادل، ثم نعيد ترتيب التعبير لضمان وجود مؤثرات الإنشاء على اليسار ومؤثرات الإفناء على اليمين، مع مراعاة علاقات التبادل المضاد طوال الوقت.

بوجود حقلين حرين φ و χ،

${\displaystyle$ :\phi (x)\chi (y):\,\,=\phi (x)\chi (y)-\langle 0|\phi (x)\chi (y)|0\rangle }

أين${\displaystyle |0\rangle }$وهي حالة الفراغ مرة أخرى. عادةً ما يتضاعف كل من الحدين على الجانب الأيمن عندما تقترب y من x، لكن الفرق بينهما له حدٌّ محدد. وهذا يسمح لنا بتعريف :φ(x)χ(x):.

تنص نظرية ويك على العلاقة بين حاصل الضرب المرتب زمنيًا لـ${\displaystyle n}$الحقول ومجموع المنتجات المرتبة ترتيبًا عاديًا. يمكن التعبير عن ذلك لـ${\displaystyle n}$حتى مع

${\displaystyle {\begin{aligned}T\left[\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right]=&:\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n}):+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle$ :\phi (x_{3})\cdots \phi (x_{n}):\\&+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \langle 0|T\left[\phi (x_{3})\phi (x_ {4})\right]|0\rangle  :\phi (x_{5})\cdots \phi (x_{n}):\\\vdots \\&+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \cdots \langle 0|T\left[\phi (x_{n-1})\phi (x_{n})\right]|0\rangle \end{aligned}}}

حيث يشمل الجمع جميع الطرق المختلفة التي يمكن بها إقران الحقول. والنتيجة لـ${\displaystyle n}$يبدو الأمر غريبًا، فهو يبدو متشابهًا باستثناء السطر الأخير الذي يقول

${\displaystyle \sum _{\text{perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \cdots \langle 0|T\left[\phi (x_{n-2})\phi (x_{n-1})\right]|0\rangle \phi (x_{n}).}$

توفر هذه النظرية طريقة بسيطة لحساب القيم المتوقعة للفراغ لمنتجات المؤثرات المرتبة زمنيًا وكانت الدافع وراء إدخال الترتيب الطبيعي.