علاقة التبادل الكنسي

في ميكانيكا الكم ، تُعدّ علاقة التبادل الأساسية العلاقة الجوهرية بين الكميات المترافقة الأساسية (الكميات المرتبطة بحكم التعريف بحيث تكون إحداها تحويل فورييه للأخرى). على سبيل المثال، $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=i\hbar \mathbb {I} }$$

بين مؤثر الموضع x ومؤثر الزخم p _x في اتجاه x لجسيم نقطي في بُعد واحد، حيث [ x , p _x ] = x p _x − p _x x هو مبدل x و p _x ، و i هي الوحدة التخيلية ، و ℏ هو ثابت بلانك المختزل ( h /2 π )، و${\displaystyle \mathbb {I} }$هو عامل الوحدة. في الأبعاد المحدودة، يكون الموضع والزخم متجهين من المؤثرات، ويمكن التعبير عن علاقة التبادل بين مختلف مكونات الموضع والزخم على النحو التالي: $${\displaystyle [{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij},}$$ أين${\displaystyle \delta _{ij}}$هي دلتا كرونكر .

تُنسب هذه العلاقة إلى فيرنر هايزنبرغ ، وماكس بورن، وباسكوال جوردان (1925)، ^{[ 1 ] [ 2 ]} الذين أطلقوا عليها اسم "الشرط الكمومي" الذي يُعدّ مسلمةً للنظرية؛ وقد لاحظ إي. كينارد (1927) ^{[ 3 ]} أنها تستلزم مبدأ هايزنبرغ للشك . تُقدّم نظرية ستون-فون نيومان نتيجةً للوحدة للمؤثرات التي تُحقق (صيغةً أسيةً من) علاقة التبادل الأساسية.

على النقيض من ذلك، في الفيزياء الكلاسيكية ، تتبادل جميع الكميات القابلة للرصد، ويكون المُبدِّل صفرًا. ومع ذلك، توجد علاقة مماثلة، يتم الحصول عليها باستبدال المُبدِّل بقوس بواسون مضروبًا في${\displaystyle i\hbar }$، $${\displaystyle \{x,p\}=1\,.}$$

دفعت هذه الملاحظة ديراك إلى اقتراح أن النظائر الكمومية${\displaystyle {\hat {f}}}$،${\displaystyle {\hat {g}}}$تحقق الكميات القابلة للرصد الكلاسيكية f و g$${\displaystyle [{\hat {f}},{\hat {g}}]=i\hbar {\widehat {\{f,g\}}}\,.}$$

في عام 1946، أثبت هيب غرونيفولد أن التوافق المنهجي العام بين المبدلات الكمومية وأقواس بواسون لا يمكن أن يكون متسقًا. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

ومع ذلك، فقد أدرك أيضًا وجود تطابق منهجي بين المبدل الكمومي وتشويه قوس بواسون، المعروف اليوم باسم قوس مويال ، وبين المؤثرات الكمومية والكميات والتوزيعات الكلاسيكية في فضاء الطور . وبذلك، أوضح آلية التطابق المتسقة، وهي تحويل ويغنر-ويل ، التي تقوم عليها تمثيل رياضي مكافئ بديل لميكانيكا الكم يُعرف باسم تكميم التشوه . ^{[ 4 ] [ 6 ]}

المجموعة​${\displaystyle H_{3}(\mathbb {R} )}$يتم توليدها عن طريق رفع جبر لي ثلاثي الأبعاد إلى أس ، والذي تحدده علاقة التبادل.${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$تُسمى هذه المجموعة مجموعة هايزنبرغ . ويمكن تمثيل هذه المجموعة على أنها مجموعة من${\displaystyle 3\times 3}$المصفوفات المثلثية العلوية التي تحتوي على عناصر تساوي واحدًا على القطر الرئيسي. ^{[ 7 ]}

وفقًا للصياغة الرياضية القياسية لميكانيكا الكم ، فإن الكميات القابلة للرصد الكمي مثل${\displaystyle {\hat {x}}}$و${\displaystyle {\hat {p}}}$ينبغي تمثيلها كمؤثرات ذاتية الترافق على فضاء هيلبرت ما . من السهل نسبيًا ملاحظة أنه لا يمكن أن يكون مؤثران يحققان علاقات التبادل الأساسية المذكورة أعلاه محدودين في الوقت نفسه . بالتأكيد، إذا${\displaystyle {\hat {x}}}$و${\displaystyle {\hat {p}}}$كانت عوامل فئة التتبع ، العلاقة${\displaystyle \operatorname {Tr} (AB)=\operatorname {Tr} (BA)}$يعطي رقمًا غير صفري على اليمين وصفرًا على اليسار.

أو بدلاً من ذلك، إذا${\displaystyle {\hat {x}}}$و${\displaystyle {\hat {p}}}$لاحظ أن المؤثرات كانت محدودة.${\displaystyle [{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}]=i\hbar n{\hat {x}}^{n-1}}$وبالتالي، فإن معايير المشغل ستفي بالغرض. $${\displaystyle 2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar \left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|,}$$بحيث يكون ذلك، لأي قيمة لـ n ، $${\displaystyle 2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar }$$ مع ذلك، يمكن أن تكون قيمة n كبيرة كيفما شاءت، لذا لا يمكن تقييد أحد المؤثرات على الأقل، ولا يمكن أن يكون بُعد فضاء هيلبرت الأساسي محدودًا. إذا حققت المؤثرات علاقات ويل (وهي صيغة أسية لعلاقات التبادل الأساسية، الموضحة أدناه)، فإنه كنتيجة لنظرية ستون-فون نيومان ، يجب أن يكون كلا المؤثرين غير محدودين.

مع ذلك، يمكن جعل علاقات التبادل الأساسية هذه "أكثر اعتدالًا" إلى حد ما عن طريق كتابتها بدلالة المؤثرات الوحدوية (المحدودة).${\displaystyle \exp(it{\hat {x}})}$و${\displaystyle \exp(is{\hat {p}})}$تُعرف علاقات التضفير الناتجة لهذه المؤثرات باسم علاقات ويل .$${\displaystyle \exp(it{\hat {x}})\exp(is{\hat {p}})=\exp(-ist\hbar )\exp(is{\hat {p}})\exp(it{\hat {x}}).}$$ يمكن اعتبار هذه العلاقات بمثابة نسخة مُضخّمة من علاقات التبادل الأساسية؛ فهي تعكس حقيقة أن الإزاحات في الموضع والإزاحات في الزخم لا تتبادل. ويمكن بسهولة إعادة صياغة علاقات فايل بدلالة تمثيلات زمرة هايزنبرغ .

ثم يتم ضمان تفرد علاقات التبادل الأساسية - في شكل علاقات ويل - بواسطة نظرية ستون-فون نيومان .

لأسباب فنية، فإن علاقات ويل لا تُكافئ تمامًا علاقة التبادل المتعارف عليها${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$. لو${\displaystyle {\hat {x}}}$و${\displaystyle {\hat {p}}}$لو كانت المؤثرات محدودة، لكانت حالة خاصة من صيغة بيكر-كامبل-هاوسدورف تسمح برفع علاقات التبادل الأساسية إلى علاقات فايل. ^{[ 8 ]} وبما أن أي مؤثرات تحقق علاقات التبادل الأساسية، كما ذكرنا، يجب أن تكون غير محدودة، فإن صيغة بيكر-كامبل-هاوسدورف لا تنطبق دون افتراضات إضافية حول المجال. في الواقع، توجد أمثلة مضادة تحقق علاقات التبادل الأساسية ولكنها لا تحقق علاقات فايل. ^{[ 9 ]} (هذه المؤثرات نفسها تُعطي مثالًا مضادًا للصيغة البسيطة لمبدأ عدم اليقين). هذه المسائل التقنية هي السبب في صياغة نظرية ستون-فون نيومان بدلالة علاقات فايل.

صيغة منفصلة لعلاقات ويل، حيث تتراوح قيم المعاملين s و t على${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$، ويمكن تحقيق ذلك على فضاء هيلبرت ذي الأبعاد المحدودة عن طريق مصفوفات الساعة والإزاحة .

يمكن إثبات ذلك $${\displaystyle [F({\vec {x}}),p_{i}]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {x}})}{\partial x_{i}}};\qquad [x_{i},F({\vec {p}})]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {p}})}{\partial p_{i}}}.}$$

استخدام${\displaystyle C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}}$يمكن إثبات ذلك بالاستقراء الرياضي$$\displaystyle \left[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}^{m}\right]=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\frac {-\left(-i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(nk\right)!\left(mk\right)!}}{\hat {x}}^{nk}{\hat {p}}^{mk}}=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\frac {\left(i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(nk\right)!\left(mk\right)!}}{\hat {p}}^{mk}{\hat {x}}^{nk}},}$$ تُعرف عمومًا باسم صيغة مكوي. ^{[ 10 ]}

بالإضافة إلى ذلك، الصيغة البسيطة $${\displaystyle [x,p]=i\hbar \,\mathbb {I} ~,}$$ صالحة لتكميم أبسط نظام كلاسيكي، ويمكن تعميمها على حالة لاغرانجيان عشوائي${\displaystyle {\mathcal {L}}}$[ ^{11 ]} نحدد الإحداثيات الكنسية (مثل x في المثال أعلاه، أو الحقل Φ( x ) في حالة نظرية الحقل الكمومي ) والزخم الكنسي πx ₍ في المثال أعلاه هو p ، أو بشكل أعم، بعض الدوال التي تتضمن ^مشتقات الإحداثيات الكنسية بالنسبة للزمن): $${\displaystyle \pi _{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial x_{i}/\partial t)}}.}$$

يضمن هذا التعريف للزخم الكنسي أن تكون إحدى معادلات أويلر-لاغرانج على الشكل التالي: $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\pi _{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}.}$$

وتتلخص علاقات التبادل الأساسية فيما يلي: $${\displaystyle [x_{i},\pi _{j}]=i\hbar \delta _{ij}\,}$$ حيث δ _ij هي دلتا كرونكر .

يُطبَّق التكميم الكنسي، بحكم التعريف، على الإحداثيات الكنسية . ومع ذلك، في وجود مجال كهرومغناطيسي ، فإن الزخم الكنسي p ليس ثابتًا بالنسبة للمقياس . الزخم الصحيح الثابت بالنسبة للمقياس (أو "الزخم الحركي") هو

${\displaystyle p_{\text{kin}}=p-qA\,\!}$ ( وحدات النظام الدولي للوحدات )    ${\displaystyle p_{\text{kin}}=p-{\frac {qA}{c}}\,\!}$ ( وحدات نظام السنتيمتر-غرام-ثانية )،

حيث q هي الشحنة الكهربائية للجسيم ، وA هو الكمون الشعاعي ، و c هي سرعة الضوء . على الرغم من أن الكمية p_{_kin} هي "الزخم الفيزيائي"، بمعنى أنها الكمية التي تُعرَّف بالزخم في التجارب المخبرية، إلا أنها لا تُحقق علاقات التبادل المتعارف عليها؛ فالزخم المتعارف عليه وحده هو الذي يُحققها. ويمكن توضيح ذلك على النحو التالي.

الهاميلتوني غير النسبي لجسيم مشحون كمي كتلته m في مجال كهرومغناطيسي كلاسيكي هو (بوحدات cgs) $${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {qA}{c}}\right)^{2}+q\phi }$$ حيث A هو الجهد ثلاثي المتجهات و φ هو الجهد القياسي . هذا الشكل من الهاميلتوني، بالإضافة إلى معادلة شرودنغر Hψ = iħ∂ψ/∂t ، ومعادلات ماكسويل ، وقانون قوة لورنتز، تبقى ثابتة تحت تحويل القياس. $${\displaystyle A\to A'=A+\nabla \Lambda }$$$${\displaystyle \phi \to \phi '=\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Lambda }{\partial t}}}$$$${\displaystyle \psi \to \psi '=U\psi }$$$${\displaystyle H\to H'=UHU^{\dagger },}$$ أين$${\displaystyle U=\exp \left({\frac {iq\Lambda }{\hbar c}}\right)}$$و Λ = Λ( x , t ) هي دالة القياس.

مؤثر الزخم الزاوي هو $${\displaystyle L=r\times p\,\!}$$ ويخضع لعلاقات التكميم المتعارف عليها $${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ijk}}L_{k}}$$ تعريف جبر لي لـ so(3) ، حيث${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$هو رمز ليفي-تشيفيتا . في ظل تحويلات القياس، يتحول الزخم الزاوي كما يلي: $${\displaystyle \langle \psi \vert L\vert \psi \rangle \to \langle \psi ^{\prime }\vert L^{\prime }\vert \psi ^{\prime }\rangle =\langle \psi \vert L\vert \psi \rangle +{\frac {q}{\hbar c}}\langle \psi \vert r\times \nabla \Lambda \vert \psi \rangle \,.}$$

الزخم الزاوي الثابت بالنسبة للمقياس (أو "الزخم الزاوي الحركي") يُعطى بالعلاقة التالية $${\displaystyle K=r\times \left(p-{\frac {qA}{c}}\right),}$$ والتي لها علاقات التبادل $${\displaystyle [K_{i},K_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ij}}^{\,k}\left(K_{k}+{\frac {q\hbar }{c}}x_{k}\left(x\cdot B\right)\right)}$$ أين$${\displaystyle B=\nabla \times A}$$هو المجال المغناطيسي . يظهر عدم تكافؤ هاتين الصيغتين في تأثير زيمان وتأثير أهارونوف-بوم .

تؤدي جميع علاقات التبادل غير التافهة هذه لأزواج المؤثرات إلى علاقات عدم يقين مقابلة ، ^{[ 12 ]} تتضمن مساهمات توقعية شبه موجبة من المبدلات والمضادات التبادلية الخاصة بها. بشكل عام، بالنسبة لمؤثرين هيرميتيين A و B ، لنفترض القيم المتوقعة في نظام في الحالة ψ ، حيث تكون التباينات حول القيم المتوقعة المقابلة هي ( ΔA ) ^² ≡ ⟨ ( A − ⟨A⟩ ) ^²⟩ ، وهكذا .

ثم $${\displaystyle \Delta A\,\Delta B\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\left|\left\langle \left[{A},{B}\right]\right\rangle \right|^{2}+\left|\left\langle \left\{A-\langle A\rangle ,B-\langle B\rangle \right\}\right\rangle \right|^{2}}},}$$ حيث [ A , B ] ≡ A B − B A هو مبدل A و B ، و { A , B } ≡ A B + B A هو مضاد التبديل .

ويتحقق ذلك باستخدام متراجحة كوشي-شفارتز ، حيث أن | ⟨ A ² ⟩ | | ⟨ B ² ⟩ | ≥ | ⟨ AB ⟩ | ² ، و AB = ([ A , B ] + { A , B })/2 ؛ وبالمثل بالنسبة للمؤثرات المُزاحة A − ⟨ A ⟩ و B − ⟨ B ⟩ . (انظر اشتقاقات مبدأ عدم اليقين ).

وباستبدال A و B (مع توخي الحذر في التحليل) نحصل على علاقة عدم اليقين المألوفة لهايزنبرغ لـ x و p ، كالمعتاد.

بالنسبة لمؤثرات الزخم الزاوي L _x = y p _z − z p _y ، إلخ، يكون لدينا ما يلي: $${\displaystyle [{L_{x}},{L_{y}}]=i\hbar \epsilon _{xyz}{L_{z}},}$$ أين${\displaystyle \epsilon _{xyz}}$هو رمز ليفي-تشيفيتا ، وهو ببساطة يعكس إشارة الإجابة عند تبديل المؤشرات بشكل ثنائي. وتسري علاقة مماثلة على عوامل الدوران .

هنا، بالنسبة لـ L _x و L _y ، ^{[ 12 ]} في مضاعفات الزخم الزاوي ψ = | ℓ , m ⟩ ، يكون لدينا، بالنسبة للمركبات المستعرضة لثابت كازيمير L x ₂ ⁺ L y ₂ ⁺ L z ₂ ^، العلاقات المتناظرة حول المحور z

⟨ L _x ² ⟩ = ⟨ L _y ² ⟩ = ( ℓ ( ℓ + 1) − م ² ) ℏ ² /2 ,

وكذلك ⟨ L _x ⟩ = ⟨ L _y ⟩ = 0 .

وبالتالي، فإن المتباينة المذكورة أعلاه، عند تطبيقها على علاقة التبادل هذه، تحدد $${\displaystyle \Delta L_{x}\,\Delta L_{y}\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\hbar ^{2}|\langle L_{z}\rangle |^{2}}}~,}$$ لذلك $${\displaystyle {\sqrt {|\langle L_{x}^{2}\rangle \langle L_{y}^{2}\rangle |}}\geq {\frac {\hbar ^{2}}{2}}\vert m\vert }$$ وبالتالي $${\displaystyle \ell (\ell +1)-m^{2}\geq |m|~,}$$ إذن، ينتج عنه قيود مفيدة مثل الحد الأدنى على ثابت كازيمير : ℓ ( ℓ + 1) ≥ | m | ( | m | + 1) ، وبالتالي ℓ ≥ | m | ، من بين أمور أخرى.

• التكميم الكنسي
• جبر CCR وجبر CAR
• الزمكانات المطابقة الساكنة
• مشتقات لي
• قوس مويال
• نظرية ستون-فون نيومان

• هول، برايان سي. (2013)، نظرية الكم للرياضيين ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  267، سبرينغر.
• هول، برايان سي. (2015)، زمر لي، وجبر لي، والتمثيلات: مقدمة تمهيدية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  222 (  الطبعة الثانية)، سبرينغر.