عنصر الهوية
في الرياضيات ، العنصر المتطابق أو العنصر المحايد لعملية ثنائية هو العنصر الذي يترك كل عنصر دون تغيير عند تطبيق العملية. [1] [2] على سبيل المثال ، 0 هو عنصر متطابق لإضافة الأعداد الحقيقية . يستخدم هذا المفهوم في الهياكل الجبرية مثل المجموعات والحلقات . غالبًا ما يتم اختصار مصطلح عنصر المتطابق إلى متطابقة (كما في حالة المتطابقة الإضافية والمتطابقة الضربية) [3] عندما لا يكون هناك احتمال للارتباك، ولكن المتطابقة تعتمد ضمناً على العملية الثنائية المرتبطة بها.
التعاريف
ليكن ( S , ∗) مجموعة S مزودة بعملية ثنائية ∗. عندئذٍ يُطلق على العنصر e من S اسمالهوية اليسرى إذا كانتe∗s=sلجميع sفي S، ومتطابقة يمينية إذا كانتs∗e=sلجميعs فيS. [4]إذاeمتطابقة يسارية ومتطابقة يمينية، فإنها تسمىهوية ذات وجهين ، أو ببساطة هويةالهوية .[5][6][7][8][9]
الهوية فيما يتعلق بالإضافة تسمىالهوية الإضافية (غالبًا ما يشار إليها بـ 0) والهوية فيما يتعلق بالضرب تسمىالهوية الضربية (غالبًا ما يشار إليها بالرقم 1).[3]لا يلزم أن تكون هذه عمليات جمع وضرب عادية - حيث يمكن أن تكون العملية الأساسية تعسفية إلى حد ما. في حالةالمجموعةعلى سبيل المثال، يُشار أحيانًا إلى عنصر الهوية ببساطة بالرمز. يُستخدم التمييز بين الهوية الجمعية والضربية في أغلب الأحيان للمجموعات التي تدعم كلًا من العمليات الثنائية، مثلالحلقات والمجالات المتكاملة والحقول.غالبًاماتسمىالهوية الضربيةالوحدة في السياق الأخير (حلقة بوحدة).[10][11][12]لا ينبغي الخلط بين هذا والوحدةفينظرية الحلقة، والتي هي أي عنصر له معكوسمضاعف. وفقًا لتعريفها الخاص، فإن الوحدة نفسها هي بالضرورة وحدة.[13][14]
أمثلة
ملكيات
في المثال S = { e,f } مع المساواة المعطاة، S هي شبه مجموعة . وهذا يوضح إمكانية أن يكون لـ ( S , ∗) عدة هويات يسارية. في الواقع، يمكن أن يكون كل عنصر هوية يسارية. وعلى نحو مماثل، يمكن أن يكون هناك عدة هويات يمينية. ولكن إذا كان هناك هوية يمينية وهوية يسارية، فيجب أن تكونا متساويتين، مما ينتج عنه هوية ثنائية الجانب.
ولرؤية ذلك، لاحظ أنه إذا كانت l هوية يسارية و r هوية يمينية، فإن l = l ∗ r = r . وعلى وجه الخصوص، لا يمكن أن يكون هناك أكثر من هوية ذات وجهين: إذا كان هناك وجهان، لنقل e و f ، فإن e ∗ f يجب أن يكونا مساويين لكل من e و f .
من الممكن أيضًا أن لا يحتوي (S، ∗) على عنصر محايد، [15] مثل حالة الأعداد الصحيحة الزوجية تحت عملية الضرب. [3] مثال شائع آخر هو حاصل الضرب المتجهي للمتجهات ، حيث يرتبط غياب عنصر المحايد بحقيقة أن اتجاه أي حاصل ضرب متجهي غير صفري يكون دائمًا متعامدًا مع أي عنصر مضروب. أي أنه من غير الممكن الحصول على متجه غير صفري في نفس اتجاه الأصل. يتضمن مثال آخر للهيكل بدون عنصر محايد شبه المجموعة المضافة للأعداد الطبيعية الموجبة .
انظر أيضا
- عنصر الامتصاص
- المعكوس الجمعي
- معكوس معمم
- الهوية (المعادلة)
- وظيفة الهوية
- العنصر العكسي
- أحادي
- حلقة وهمية
- شبه المجموعة
- يونيتال (توضيح)
الملاحظات والمراجع
- ^ Weisstein, Eric W. "Identity Element". mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 2019-12-01 .
- ^ "تعريف عنصر الهوية". www.merriam-webster.com . تم الاسترجاع في 2019-12-01 .
- ^ abc "Identity Element". www.encyclopedia.com . تم الاسترجاع في 2019-12-01 .
- ^ فرالي (1976، ص 21)
- ^ بيوريجارد وفرالي (1973، ص. 96)
- ^ فرالي (1976، ص 18)
- ^ هيرشتاين (1964، ص 26)
- ^ ماكوي (1973، ص 17)
- ^ "عنصر الهوية | ويكي الرياضيات والعلوم الرائعة". shiny.org . تم الاسترجاع في 2019-12-01 .
- ^ بيوريجارد وفرالي (1973، ص 135)
- ^ فرالي (1976، ص 198)
- ^ ماكوي (1973، ص 22)
- ^ فرالي (1976، ص 198، 266)
- ^ هيرشتاين (1964، ص 106)
- ^ ماكوي (1973، ص 22)
فهرس
- بيوريجارد، رايموند أ.؛ فرالي، جون ب. (1973)، دورة أولى في الجبر الخطي: مع مقدمة اختيارية للمجموعات والحلقات والحقول ، بوسطن: شركة هوتون ميفلين ، رقم ISBN 0-395-14017-X
- فرالي، جون ب. (1976)، دورة أولى في الجبر المجرد (الطبعة الثانية)، القراءة: أديسون ويسلي ، رقم ISBN 0-201-01984-1
- هيرستين، إن (1964)، مواضيع في الجبر ، والتهام: شركة بلايسديل للنشر، رقم ISBN 978-1114541016
- مكوي، نيل هـ. (1973)، مقدمة إلى الجبر الحديث، الطبعة المنقحة ، بوسطن: ألين وبيكون ، LCCN 68015225
قراءة إضافية
- م. كيلب، يو. كناور، إيه في ميخاليف، المونويدات، الأفعال والفئات مع التطبيقات على حاصل ضرب الإكليل والرسوم البيانية ، دي جرويتر إكسبوشنز في الرياضيات المجلد 29، والتر دي جرويتر، 2000، ISBN 3-11-015248-7 ، ص 14-15
