منتج شبه مباشر

لننظر أولاً في الضرب شبه المباشر الداخلي. في هذه الحالة، بالنسبة لمجموعة${\displaystyle G}$لنفترض وجود زمرة جزئية طبيعية N وزمرة جزئية أخرى H (ليست بالضرورة طبيعية). ولنفترض أن الشروط المذكورة أعلاه محققة.${\displaystyle \operatorname {Aut} (N)}$لنرمز إلى مجموعة جميع التشاكلات الذاتية لـ N ، وهي مجموعة تحت التركيب. أنشئ تشاكلاً بين المجموعات. ${\displaystyle \varphi :H\to \operatorname {Aut} (N)}$يُعرَّف بالتصريف،

${\displaystyle \varphi _{h}(n)=hnh^{-1}}$، لكل h في H و n في N.

وبهذه الطريقة يمكننا بناء مجموعة${\displaystyle G'=(N,H)}$مع تعريف عملية المجموعة على النحو التالي:

${\displaystyle (n_{1},h_{1})\cdot (n_{2},h_{2})=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),\,h_{1}h_{2})}$بالنسبة لـ n ₁ و n ₂ في N و h ₁ و h ₂ في H.

تحدد المجموعتان الجزئيتان N و H المجموعة G حتى التشاكل، كما سنبين لاحقًا. وبهذه الطريقة، يمكننا بناء المجموعة G من مجموعاتها الجزئية. يُطلق على هذا النوع من البناء اسم الضرب شبه المباشر الداخلي (ويُعرف أيضًا باسم الضرب شبه المباشر الداخلي ^{[ 3 ]} ).

لننظر الآن في الضرب شبه المباشر الخارجي. إذا كان لدينا أي مجموعتين N و H وتشاكل مجموعة φ  : H → Aut( N ) ، فيمكننا إنشاء مجموعة جديدة N ⋊ _φ H ، تسمى الضرب شبه المباشر الخارجي لـ N و H بالنسبة إلى φ ، ومعرف على النحو التالي: ^{[ 4 ]}

يُعرّف هذا زمرةً يكون عنصرها المحايد هو ( e N , e H  ) ، ومعكوس العنصر ( n , h ) هو ( φ  h -1 ( n -1 ), h -1 )) . تُشكّل الأزواج ( n , e H ) زمرةً جزئيةً طبيعيةً متماثلةً مع N ، بينما تُشكّل الأزواج ( e N , h</sub> ) زمرةً جزئيةً متماثلةً مع H. الزمرة الكاملة هي حاصل ضرب شبه مباشر لهاتين الزمرتين الجزئيتين بالمعنى المذكور سابقًا.

على العكس، لنفترض أن لدينا زمرة G ذات زمرة جزئية طبيعية N وزمرة جزئية H ، بحيث يمكن كتابة كل عنصر g من G بشكل فريد على الصورة g = nh حيث n ينتمي إلى N و h ينتمي إلى H. ليكن φ  : H → Aut( N ) هو التشاكل (المكتوب φ ( h ) = φh ) المعطى بالعلاقة التالية _:

${\displaystyle \varphi _{h}(n)=hnh^{-1}}$

لكل n ∈ N ، h ∈ H .

إذن ، G متماثل مع حاصل الضرب شبه المباشر N ⋊ _φ H. ويُعرَّف التماثل λ  : G → N ⋊ _φ H جيدًا بالعلاقة λ ( a ) = λ ( nh ) = ( n, h ) نظرًا لتفرد التفكيك a = nh .

في G ، لدينا

${\displaystyle (n_{1}h_{1})(n_{2}h_{2})=n_{1}h_{1}n_{2}(h_{1}^{-1}h_{1})h_{2}=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}))(h_{1}h_{2})}$

وبالتالي، بالنسبة لـ a = n ₁ h ₁ و b = n ₂ h ₂ نحصل على

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (ab)&=\lambda (n_{1}h_{1}n_{2}h_{2})=\lambda (n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2})h_{1}h_{2})=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),h_{1}h_{2})=(n_{1},h_{1})\bullet (n_{2},h_{2})\\[5pt]&=\lambda (n_{1}h_{1})\bullet \lambda (n_{2}h_{2})=\lambda (a)\bullet \lambda (b),\end{aligned}}}$

وهذا يثبت أن λ تماثل. وبما أن λ تماثل شامل وتماثل أحادي، فهو إذن تماثل حقيقي. وهذا يفسر أيضاً تعريف قاعدة الضرب في N ⋊ _φ H.

الضرب المباشر هو حالة خاصة من الضرب شبه المباشر. ولتوضيح ذلك، لنفترض أن φ هو التشاكل التافه (أي إرسال كل عنصر من H إلى التشاكل الذاتي المحايد لـ N ) ، عندئذٍ يكون N ⋊ _φ H هو الضرب المباشر N × H.

تنص إحدى صيغ نظرية الانقسام للمجموعات على أن المجموعة G متماثلة مع حاصل الضرب شبه المباشر للمجموعتين N و H إذا وفقط إذا وُجدت متتالية تامة قصيرة

${\displaystyle 1\longrightarrow N\,{\overset {\beta }{\longrightarrow }}\,G\,{\overset {\alpha }{\longrightarrow }}\,H\longrightarrow 1}$

وتماثل زمر γ  : H → G بحيث يكون α ∘ γ = id _H ، وهو تطبيق التطابق على H. في هذه الحالة، يُعطى φ  : H → Aut( N ) بالعلاقة φ ( h ) = φh _، حيث

${\displaystyle \varphi _{h}(n)=\beta ^{-1}(\gamma (h)\beta (n)\gamma (h^{-1})).}$

المجموعة ثنائية السطوح D _{_n} التي تحتوي على 2 ⁿ عنصرًا متماثلة مع حاصل ضرب شبه مباشر للمجموعتين الدوريتين C _{_n} و C _₂ ، أي D _{_n} = C_{_n} ⋊ C _₂ . ^{[ 5 ]} هنا، يؤثر العنصر غير المحايد في C_₂ على C _{_n} عن طريق عكس العناصر؛ وهذا تماثل ذاتي لأن C_{_n} مجموعة تبديلية . تمثيل هذه المجموعة هو:

${\displaystyle \langle a,\;b\mid a^{2}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{-1}\rangle .}$

المجموعة المتناظرة S _n حيث${\displaystyle n\geq 2}$هو ناتج شبه مباشر للمجموعة المتناوبة A _n وأي مجموعة فرعية مكونة من عنصرين ناتجة عن عملية تبديل واحدة.

أحد الأمثلة الكلاسيكية على الزمرة التي تُعبَّر عنها كحاصل ضرب شبه مباشر هو الشكل الكامل للزمرة. ويُعرَّف هذا على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {Hol} (G)=G\rtimes \operatorname {Aut} (G)}$

أين${\displaystyle {\text{Aut}}(G)}$هي مجموعة التشاكل الذاتي لمجموعة${\displaystyle G}$وخريطة الهيكل${\displaystyle \varphi }$ينبع ذلك من العمل الصحيح لـ${\displaystyle {\text{Aut}}(G)}$على${\displaystyle G}$من حيث ضرب العناصر، فإن هذا يعطي بنية المجموعة

${\displaystyle (g,\alpha )(h,\beta )=(g(\varphi (\alpha )\cdot h),\alpha \beta ).}$

يمكن تمثيل المجموعة الأساسية لزجاجة كلاين بالشكل التالي:

${\displaystyle \langle a,\;b\mid aba^{-1}=b^{-1}\rangle .}$

وبالتالي فهو ناتج شبه مباشر لمجموعة الأعداد الصحيحة مع الجمع،${\displaystyle \mathbb {Z} }$، مع${\displaystyle \mathbb {Z} }$. التشاكل المقابل${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {Z} \rightarrow \operatorname {Aut} (\mathbb {Z} )} معطى بواسطة${\displaystyle \varphi (h)(n)=(-1)^{h}n}$.

المجموعة${\displaystyle \mathbb {T} _{n}}$للمصفوفات المثلثية العلوية ذات المحدد غير الصفري في حقل عشوائي، أي ذات المدخلات غير الصفرية على القطر الرئيسي ، تحلل إلى الضرب شبه المباشر ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}\cong \mathbb {U} _{n}\rtimes \mathbb {D} _{n}}$^{[ 6 ]} حيث${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$هي مجموعة فرعية من المصفوفات التي تحتوي فقط${\displaystyle 1}$s على القطر، وهو ما يسمى مجموعة المصفوفات المثلثية العلوية ، و${\displaystyle \mathbb {D} _{n}}$هي مجموعة فرعية من المصفوفات القطرية . تأثير المجموعة لـ${\displaystyle \mathbb {D} _{n}}$على${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ينتج عن ضرب المصفوفات. إذا وضعنا

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}x_{1}&0&\cdots &0\\0&x_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}}$

و

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\0&1&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

ثم يكون حاصل ضرب المصفوفات بينهما هو

${\displaystyle AB={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{1}a_{12}&x_{1}a_{13}&\cdots &x_{1}a_{1n}\\0&x_{2}&x_{2}a_{23}&\cdots &x_{2}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}.}$

وهذا يعطي تأثير المجموعة المستحث${\displaystyle m:\mathbb {D} _{n}\times \mathbb {U} _{n}\to \mathbb {U} _{n}}$

${\displaystyle m(A,B)={\begin{bmatrix}1&x_{1}a_{12}&x_{1}a_{13}&\cdots &x_{1}a_{1n}\\0&1&x_{2}a_{23}&\cdots &x_{2}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$

مصفوفة في${\displaystyle \mathbb {T} _{n}}$يمكن تمثيلها بواسطة المصفوفات في${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$و${\displaystyle \mathbb {D} _{n}}$. لذلك${\displaystyle \mathbb {T} _{n}\cong \mathbb {U} _{n}\rtimes \mathbb {D} _{n}}$.

المجموعة الإقليدية لجميع الحركات الصلبة ( التناظرات ) للمستوى (الخرائط)${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$بحيث تكون المسافة الإقليدية بين${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$يساوي المسافة بين${\displaystyle f(x)}$و${\displaystyle f(y)}$للجميع${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) متماثل مع حاصل ضرب شبه مباشر للمجموعة الأبيلية${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$(الذي يصف الترجمات) والمجموعة${\displaystyle \mathrm {O} (2)}$من المتعامد${\displaystyle 2\times 2}$المصفوفات (التي تصف الدورانات والانعكاسات التي تُبقي نقطة الأصل ثابتة). تطبيق إزاحة ثم دوران أو انعكاس له نفس تأثير تطبيق الدوران أو الانعكاس أولًا ثم إزاحة بواسطة متجه الإزاحة المُدار أو المنعكس (أي تطبيق مرافق الإزاحة الأصلية). هذا يُبين أن مجموعة الإزاحات هي مجموعة جزئية طبيعية من المجموعة الإقليدية، وأن المجموعة الإقليدية هي ناتج شبه مباشر لمجموعة الإزاحات.${\displaystyle \mathrm {O} (2)}$وأن التشاكل المقابل${\displaystyle \varphi$ :\mathrm {O} (2)\rightarrow \operatorname {Aut} (\mathbb {R} ^{2})} يتم إعطاؤها بواسطة ضرب المصفوفات :${\displaystyle \varphi (h)(n)=hn}$.

المجموعة المتعامدة O( n ) لجميع المصفوفات الحقيقية المتعامدة من الرتبة n × n (وهي، بشكل بديهي، مجموعة جميع عمليات الدوران والانعكاس للفضاء ذي البعد n مع تثبيت نقطة الأصل) متماثلة مع حاصل ضرب شبه مباشر للمجموعة SO( n ) (التي تتكون من جميع المصفوفات المتعامدة ذات المحدد 1 ، _وهي ، بشكل بديهي، عمليات الدوران للفضاء ذي البعد n ) و C² _. إذا مثّلنا C² كمجموعة الضرب للمصفوفات { I , R } ، حيث R هو انعكاس للفضاء ذي البعد n مع تثبيت نقطة الأصل (أي مصفوفة متعامدة ذات محدد -1 تمثل عملية انعكاس )، فإن _φ ^: C²  → _Aut (SO( n )) تُعطى بالعلاقة φ ( H )( N ) = HNH⁻¹ لجميع H في C² و N في SO( n ) . في الحالة غير التافهة ( H ليس هوية) هذا يعني أن φ ( H ) هو اقتران العمليات عن طريق الانعكاس (في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يتم استبدال محور الدوران واتجاه الدوران بـ "صورة المرآة" الخاصة بهما).

مجموعة التحويلات شبه الخطية على فضاء متجهي V فوق حقل${\displaystyle K}$، والتي يُشار إليها غالبًا بـ ΓL( V ) ، متماثلة مع حاصل ضرب شبه مباشر للمجموعة الخطية GL( V ) (وهي مجموعة فرعية طبيعية من ΓL( V ) )، ومجموعة التشاكل الذاتي لـ${\displaystyle K}$.

المجموعة الحلقية${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}}$ليست مجموعة بسيطة لأنها تحتوي على مجموعة جزئية من الرتبة 2، وهي${\displaystyle \{0,2\}\cong \mathrm {Z} _{2}}$هي مجموعة فرعية، وقسمتها هي${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$لذا يوجد امتداد

${\displaystyle 0\to \mathrm {Z} _{2}\to \mathrm {Z} _{4}\to \mathrm {Z} _{2}\to 0}$

أما إذا تم تقسيم هذا الامتداد ، فإن المجموعة${\displaystyle G}$في

${\displaystyle 0\to \mathrm {Z} _{2}\to G\to \mathrm {Z} _{2}\to 0}$

سيكون متماثلاً مع${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}\times \mathrm {Z} _{2}}$.

مجموعة الأعداد الرباعية الثمانية${\displaystyle \{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}}$أين${\displaystyle ijk=-1}$و${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1}$، مثال آخر على مجموعة ^{[ 7 ]} لها زمر جزئية طبيعية غير تافهة، ومع ذلك فهي غير منقسمة. على سبيل المثال، الزمرة الجزئية المولدة بواسطة${\displaystyle i}$متماثل مع${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}}$وهو أمر طبيعي. كما أنه يحتوي على مجموعة فرعية من الرتبة${\displaystyle 2}$تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle -1}$وهذا يعني${\displaystyle \mathrm {Q} _{8}}$سيكون ذلك بمثابة امتداد منقسم في التسلسل الدقيق الافتراضي التالي للمجموعات:

${\displaystyle 0\to \mathrm {Z} _{4}\to \mathrm {Q} _{8}\to \mathrm {Z} _{2}\to 0}$،

لكن مثل هذا التسلسل الدقيق غير موجود. ويمكن إثبات ذلك بحساب مجموعة التماثل الأولى لـ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$بمعاملات في${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}}$، لذا${\displaystyle H^{1}(\mathrm {Z} _{2},\mathrm {Z} _{4})\cong \mathrm {Z} /2}$مع ملاحظة أن المجموعتين في هذه الامتدادات هما${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}\times \mathrm {Z} _{4}}$ومجموعة الزوايا الثنائية${\displaystyle \mathrm {D} _{8}}$لكن، بما أن أياً من هاتين المجموعتين ليست متماثلة مع${\displaystyle \mathrm {Q} _{8}}$، لا تنقسم مجموعة الكواترنيون. ويمكن التحقق من عدم وجود التشاكلات من خلال ملاحظة أن الامتداد التافه هو امتداد تبديلي بينما${\displaystyle \mathrm {Q} _{8}}$هي غير تبديلية، مع ملاحظة أن المجموعات الفرعية الطبيعية الوحيدة هي${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$و${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}}$، لكن${\displaystyle \mathrm {Q} _{8}}$يحتوي على ثلاث مجموعات فرعية متماثلة مع${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}}$مع هذا التماسك،${\displaystyle \mathrm {Q} _{8}}$لا يمكن التعبير عنها على النحو التالي${\displaystyle N\ltimes H}$مع مجموعة فرعية طبيعية${\displaystyle \mathrm {N} =\mathrm {Z} _{4}=\{\pm 1,\pm i\}}$(أو مجموعتين فرعيتين متماثلتين أخريين) و${\displaystyle \mathrm {H} =\mathrm {Z} _{2}}$.

لنفترض أن G هو حاصل ضرب شبه مباشر للمجموعة الجزئية الطبيعية N والمجموعة الجزئية H. إذا كانت H طبيعية أيضًا في G ، أو بصورة مكافئة، إذا وُجد تشاكل G → N يكون هو المحايد على N بنواة H ، فإن G هو حاصل الضرب المباشر لـ N و H.

يمكن اعتبار الضرب المباشر لمجموعتين N و H بمثابة الضرب شبه المباشر لـ N و H بالنسبة إلى φ ( h ) = id _N لجميع h في H.

لاحظ أنه في الضرب المباشر، لا يهم ترتيب العوامل، لأن N × H متماثل مع H × N. لكن هذا لا ينطبق على الضرب شبه المباشر، حيث يؤدي العاملان أدوارًا مختلفة.

علاوة على ذلك، فإن نتيجة الضرب شبه المباشر (الصحيح) عن طريق التماثل غير التافه لا تكون أبدًا مجموعة تبديلية ، حتى لو كانت مجموعات العوامل تبديلية.

على عكس حالة الضرب المباشر ، فإن الضرب شبه المباشر لمجموعتين ليس فريدًا بشكل عام؛ إذا كانت G و G′ مجموعتين تحتويان على نسخ متماثلة من N كمجموعة فرعية طبيعية و H كمجموعة فرعية، وكلاهما ضرب شبه مباشر لـ N و H ، فلا يترتب على ذلك أن G و G′ متماثلتان لأن الضرب شبه المباشر يعتمد أيضًا على اختيار تأثير H على N.

على سبيل المثال، هناك أربع مجموعات غير متماثلة من الرتبة 16 وهي عبارة عن نواتج شبه مباشرة لـ _{C8 و} C2 ؛ في هذه الحالة، _C8 هي بالضرورة مجموعة جزئية طبيعية لأن دليلها 2. أحد هذه النواتج شبه المباشرة الأربعة هو الناتج المباشر، بينما الثلاثة الأخرى هي مجموعات غير تبديلية:

• المجموعة ثنائية السطوح من الرتبة 16
• المجموعة شبه السطوحية من الرتبة 16
• مجموعة إيواساوا من الرتبة 16

إذا كانت مجموعة معينة عبارة عن جداء شبه مباشر، فلا يوجد ما يضمن أن هذا التفكيك فريد. على سبيل المثال، توجد مجموعة من الرتبة 24 (وهي الوحيدة التي تحتوي على ستة عناصر من الرتبة 4 وستة عناصر من الرتبة 6) يمكن التعبير عنها كجداء شبه مباشر بالطرق التالية: (D ₈ ⋉ C ₃ ) ≅ (C ₂ ⋉ Q ₁₂ ) ≅ (C ₂ ⋉ D ₁₂ ) ≅ (D ₆ ⋉ V ) . ^{[ 8 ]}

بشكل عام، لا توجد سمة معروفة (أي شرط ضروري وكافٍ) لوجود الضرب شبه المباشر في الزمر. مع ذلك، توجد بعض الشروط الكافية التي تضمن وجوده في حالات معينة. بالنسبة للزمر المنتهية، تضمن نظرية شور-زاسنهاوس وجود الضرب شبه المباشر عندما يكون ترتيب الزمرة الجزئية العادية أوليًا نسبيًا مع ترتيب زمرة القسمة .

على سبيل المثال، تنص نظرية شور-زاسنهاوس على وجود جداء شبه مباشر بين الزمر من الرتبة 6؛ ويوجد جداءان من هذا النوع، أحدهما جداء مباشر، والآخر زمرة ثنائية السطوح. في المقابل، لا تتناول نظرية شور-زاسنهاوس الزمر من الرتبة 4 أو الزمر من الرتبة 8، على سبيل المثال.

تعميم آخر يتعلق بالزمر الجزئية. يظهر هذا في علم الطوبولوجيا لأنه إذا أثرت زمرة G على فضاء X، _فإنها تؤثر أيضًا على الزمرة الجزئية الأساسية π₁ ( X ) لهذا الفضاء. وبالتالي، فإن الضرب شبه المباشر π₁ ( X ) ⋊ G ذو صلة بإيجاد الزمرة الجزئية الأساسية لفضاء المدار X/G . لمزيد من التفاصيل _، راجع الفصل 11 من الكتاب المذكور أدناه، بالإضافة إلى بعض التفاصيل في الضرب شبه المباشر ^{[ 10 ]} في برنامج ncatlab .

لا تنشأ نواتج شبه مباشرة غير تافهة في الفئات الأبيلية ، مثل فئة الوحدات . في هذه الحالة، تُظهر مبرهنة التقسيم أن كل ناتج شبه مباشر هو ناتج مباشر. وبالتالي، فإن وجود النواتج شبه المباشرة يعكس عدم كون الفئة أبيلية.