2- يونيدا ليما

في الرياضيات، وخاصة في نظرية الفئات ، تُعدّ مبرهنة يونيدا-2 تعميمًا لمبرهنة يونيدا على الفئات الثنائية . تحديدًا، بالنظر إلى دالة زائفة متغايرة،${\displaystyle F}$فيما يتعلق بالفئة C ، ينص على ما يلي: ^{[ 1 ]} لكل عنصر${\displaystyle x}$في لغة C ، الدالة الطبيعية (التقييم عند عنصر الهوية)

${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(h_{x},F)\to F(x)}$

هو تكافؤ بين الفئات ، حيث${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(-,-)}$يشير (تقريبًا) إلى فئة التحويلات الطبيعية بين الدوال الزائفة على C و${\displaystyle h_{x}=\operatorname {Hom} (-,x)}$.

في ظل مشروع بناء غروتينديك ،${\displaystyle h_{x}}$يتوافق مع فئة الفاصلة${\displaystyle C\downarrow x}$لذلك، تُذكر اللمة أيضًا بشكل متكرر على النحو التالي: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle F(x)\simeq {\underline {\operatorname {Hom} }}(C\downarrow x,F),}$

أين${\displaystyle F}$يُصنف ضمن فئة الألياف المرتبطة بـ${\displaystyle F}$.

كتطبيق لهذه اللمة، فإن نظرية التماسك للفئات الثنائية صحيحة.

أولاً، نُعرّف الدالة في الاتجاه المعاكس

${\displaystyle \mu :F(x)\to {\underline {\operatorname {Hom} }}(h_{x},F)}$

كما يلي. بالنظر إلى كائن${\displaystyle {\overline {x}}}$في${\displaystyle F(x)}$، تعريف التحول الطبيعي

${\displaystyle \mu ({\overline {x}}):h_{x}\to F,}$

إنه،${\displaystyle \mu ({\overline {x}})_{y}:\operatorname {Hom} (y,x)\to F(y),}$بواسطة

${\displaystyle \mu ({\overline {x}})_{y}(f)=(Ff){\overline {x}}.}$

(فيما يلي، سنحذف غالبًا الرمز السفلي للتحويل الطبيعي .) بعد ذلك، بالنظر إلى تشاكل${\displaystyle \varphi$ :{\overline {x}}\to x'} in${\displaystyle F(x)}$، ل${\displaystyle f:y\to x}$، نحن نترك${\displaystyle \mu (\varphi )(f)}$يكون

${\displaystyle (Ff)\varphi$ :(Ff){\overline {x}}\to (Ff)x'.}

ثم${\displaystyle \mu (\varphi ):\mu ({\overline {x}})\to \mu (x')}$هو تشاكل (تشاكل ثنائي تحديدًا أو تعديل في مصطلحات بينابو). ويتمثل باقي البرهان في إثبات

1. ما سبق${\displaystyle \mu }$هو دالة،
2. ${\displaystyle e\circ \mu \simeq \operatorname {id} }$، أين${\displaystyle e}$التقييم عند الهوية؛ أي${\displaystyle e(\lambda )=\lambda (\operatorname {id} _{x}),}$${\displaystyle e(\alpha$ :\lambda \to \rho )=\alpha (\operatorname {id} _{x}):\lambda (\operatorname {id} _{x})\to \rho (\operatorname {id} _{x}),}
3. ${\displaystyle \mu \circ e\simeq \operatorname {id} .}$

الادعاء الأول واضح. أما الادعاء الثاني،

${\displaystyle e(\mu ({\overline {x}}))=\mu ({\overline {x}})(\operatorname {id} _{x})=F(\operatorname {id} _{x}){\overline {x}}\simeq \operatorname {id} _{F(x)}{\overline {x}}={\overline {x}}}$

حيث يأتي التماثل هنا من حقيقة أن${\displaystyle F}$هو دالة زائفة. وبالمثل،${\displaystyle e(\mu (\varphi ))\simeq \varphi .}$ بالنسبة للمطالبة رقم 3، لدينا:

${\displaystyle \mu (e(\lambda ))(f)=(Ff\circ \lambda )(\operatorname {id} _{x})\simeq (\lambda \circ h_{x}f)(\operatorname {id} _{x})=\lambda (f).}$

وبالمثل بالنسبة للتشاكل${\displaystyle \alpha$ λ → ρ .} ${\displaystyle \square }$

بفرض وجود فئة ∞- C ، ليكن${\displaystyle {\widehat {C}}={\underline {\operatorname {Hom} }}(C^{op},{\textbf {Kan}})}$لتكن الفئة اللانهائية للحزم المسبقة عليها بقيم في Kan = الفئة اللانهائية لمركبات Kan . عندئذٍ، النسخة اللانهائية من تضمين Yoneda${\displaystyle C\hookrightarrow {\widehat {C}}}$يتضمن ذلك خياراً (غير ضار) على النحو التالي.

أولاً، لدينا دالة التجانس

${\displaystyle \operatorname {Hom} :C^{op}\times C\to {\textbf {Kan}}}$

التي تتميز بخاصية عالمية معينة (مثل التليف الأيسر العالمي ) وتكون فريدة حتى تماثل فريد في فئة التماثل${\displaystyle \operatorname {ho} {\underline {\operatorname {Hom} }}(C\times C^{op},{\textbf {Kan}}).}$^{[ 3 ] [ 4 ]} ثبت أحد هذه الدوال. ثم نحصل على دالة تضمين يونيدا بالطريقة المعتادة:

${\displaystyle y:C\to {\widehat {C}},\,a\mapsto \operatorname {Hom} (-,a),}$

والذي تبين أنه متطابق تمامًا (أي، تكافؤ على مستوى Hom). ^{[ 5 ]} علاوة على ذلك، وبشكل أقوى، لكل كائن${\displaystyle F}$في${\displaystyle {\widehat {C}}}$وشيء${\displaystyle a}$في${\displaystyle C}$التقييم${\displaystyle e}$عند الهوية (انظر أدناه)

${\displaystyle \operatorname {Hom} (y(a),F)\to F(a)}$

قابلة للعكس في فئة ∞ من مجمعات كان الكبيرة (أي مجمعات كان الموجودة في كون أكبر من الكون المعطى). ^{[ 6 ]} هنا، خريطة التقييم${\displaystyle e}$يشير إلى التركيب

${\displaystyle \operatorname {Hom} (y(a),F){\overset {-(a)}{\to }}\operatorname {Hom} (y(a)(a),F(a))=\operatorname {Hom} (\operatorname {Hom} (a,a),F(a))\to F(a)}$

حيث تمثل الخريطة الأخيرة قيدًا على الهوية${\displaystyle \operatorname {id} _{a}}$[ ^{7 ]​}

ترتبط نظرية يونيدا اللانهائية ارتباطًا وثيقًا بمسألة التقويم وعدم التقويم.

• فيستولي، أنجيلو (2 سبتمبر 2008). "ملاحظات حول طوبولوجيات غروتينديك، والفئات الليفية، ونظرية النزول" (PDF) .
• كيلي، غريغوري ماكسويل (1982)، المفاهيم الأساسية لنظرية الفئات المُثرية (ملف PDF) ، سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية بلندن، المجلد  64، مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج-نيويورك، رقم ISBN 0-521-28702-2، MR 0651714 
• سيسينسكي، دينيس-تشارلز (2023). التصنيفات العليا والجبر المتماثل (ملف PDF) . مطبعة جامعة كامبريدج . رقم ISBN 978-1108473200.

• ستريت، روس (1974). "التليفات ومبرهنة يونيدا في فئة ثنائية" . ندوة الفئات . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد  420. الصفحات 104-133 . doi : 10.1007/BFb0063102 . ISBN  978-3-540-06966-9.
• شارع روس (1980). "التليفات في الفئات الثنائية" . Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Categoriques . 21 (2): 111 – 160.
• جونسون، نايلز (2008). "نظرية موريتا للفئات المشتقة: منظور ثنائي الفئات". arXiv : 0805.3673 [ math.AT ].
• جونسون، نايلز؛ ياو، دونالد (2021). التصنيفات ثنائية الأبعاد . مطبعة جامعة أكسفورد. arXiv : 2002.06055 . doi : 10.1093/oso/9780198871378.001.0001 . ISBN 978-0-19-887137-8.
• لوري، جاكوب (2009). "5.1.3 ليمّة يونيدا". نظرية الطوبولوجيا العليا . مطبعة جامعة برينستون. arXiv : math/0608040 . ISBN 978-0-691-14048-3.
• كوداسوف، نيكولاي؛ ريهل، إميلي؛ واينبرغر، جوناثان (2024). "صياغة رسمية لفرضية يونيدا اللانهائية". وقائع المؤتمر الدولي الثالث عشر لجمعية ACM SIGPLAN حول البرامج والبراهين المعتمدة . الصفحات 274-290 . arXiv : 2309.08340 . doi : 10.1145/3636501.3636945 . ISBN  979-8-4007-0488-8.
• https://math.stackexchange.com/questions/1293920/yoneda-lemma-for-2-categories-lax-version
• "Yoneda lemma للفئات الثنائية في nLab" . ncatlab.org .
• "94.5 مبرهنة يونيدا 2 - مشروع ستاكس" . stacks.math.columbia.edu .
• "الفرضية 4.41.2 (فرضية يونيدا 2) - مشروع ستاكس" . stacks.math.columbia.edu .
• "2.2 نظرية التصنيفات الثنائية" . كيرودون .