فئة العناصر

في نظرية الفئات ، وهي فرع من فروع الرياضيات، تُعرف فئة عناصر الحزمة المسبقة بأنها فئة مرتبطة بتلك الحزمة المسبقة، وتكون عناصرها هي عناصر المجموعات في تلك الحزمة. وتُعرف هذه الفئة وتعميمها أيضًا باسم بناء غروتينديك (نسبةً إلى ألكسندر غروتينديك )، لا سيما في نظرية النزول ، ونظرية الرصات ، ونظرية الفئات الليفية . ^{[ 1 ]}

يُعد بناء غروتينديك مثالاً على التقويم (أو بالأحرى عدم التقويم).

في المنطق الفئوي ، يتم استخدام هذا البناء لنمذجة العلاقة بين نظرية النوع والمنطق فوق نظرية النوع تلك، ويسمح بترجمة المفاهيم من نظرية الفئة المفهرسة إلى نظرية الفئة الليفية، مثل مفهوم لوفير عن المذهب الفائق .

تُعدّ فئة عناصر المجموعة التبسيطية أساسية في نظرية التماثل التبسيطي ، وهي فرع من الطوبولوجيا الجبرية . وبشكل أعم، تلعب فئة العناصر دورًا محوريًا في إثبات إمكانية التعبير عن كل نهاية مشتركة موزونة كنهاية مشتركة عادية، وهو أمر ضروري بدوره للنتائج الأساسية في نظرية امتدادات كان اليسرى النقطية، وتوصيف فئة الحزمة المسبقة باعتبارها الإكمال المشترك الحر لفئة ما. انظر أيضًا نظرية الكثافة (نظرية الفئات) للاطلاع على مثال توضيحي.

لو${\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i\in I}}$إذا كانت عائلة من المجموعات المفهرسة بمجموعة أخرى، فيمكن تكوين الاتحاد المنفصل أو الضرب المشترك.

${\displaystyle \coprod _{i\in I}A_{i}}$،

وهي مجموعة جميع الأزواج المرتبة${\displaystyle (i,a)}$بحيث${\displaystyle a\in A_{i}}$مجموعة الاتحاد المنفصلة مزودة بشكل طبيعي بخريطة "إسقاط".

${\displaystyle \pi$ :\coprod _{i\in I}A_{i}\to I,\,\pi (i,a)=i.}

من الإسقاط${\displaystyle \pi }$من الممكن إعادة بناء المجموعة الأصلية من المجموعات${\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i\in I}}$حتى التناظر المتعارف عليه، كما هو الحال بالنسبة لكل${\displaystyle i\in I,A_{i}\cong \pi ^{-1}(\{i\})}$عن طريق التناظر${\displaystyle a\mapsto (i,a)}$في هذا السياق، لـ${\displaystyle i\in I}$، الصورة الأصلية${\displaystyle \pi ^{-1}(\{i\})}$من مجموعة العناصر المفردة${\displaystyle \{i\}}$يُطلق عليه اسم "الألياف"${\displaystyle \pi }$زيادة${\displaystyle i}$وأي مجموعة${\displaystyle B}$مزودة بخيارات متعددة للوظائف${\displaystyle f:B\to I}$يقال إنه مغطى بالألياف${\displaystyle I}$وبهذه الطريقة، يوفر بناء الاتحاد المنفصل طريقة لعرض أي عائلة من المجموعات المفهرسة بواسطة${\displaystyle I}$كمجموعة "مغطاة بالألياف"${\displaystyle I}$، وعلى العكس من ذلك، لأي مجموعة${\displaystyle f:B\to I}$مغطى بالألياف${\displaystyle I}$يمكننا أن ننظر إليه على أنه اتحاد منفصل لألياف${\displaystyle f}$وقد أشار جاكوبس إلى هذين المنظورين باسم "فهرسة العرض" و"الفهرسة النقطية". ^{[ 2 ]}

يعمم بناء غروتينديك هذا المفهوم ليشمل الفئات. لكل فئة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$وكل فئة من الفئات${\displaystyle \{F(c)\}_{c\in {\mathcal {C}}}}$مفهرسة بواسطة كائنات${\displaystyle {\mathcal {C}}}$بطريقة وظيفية، يعيد تصميم غروتينديك فئة جديدة${\displaystyle {\mathcal {E}}}$مغطى بالألياف${\displaystyle {\mathcal {C}}}$بواسطة دالة${\displaystyle \pi }$التي تُمثل أليافها الفئات${\displaystyle \{F(c)\}_{c\in {\mathcal {C}}}}$.

يترك${\displaystyle C}$كن فئة ودع${\displaystyle F:C^{\rm {op}}\to \mathbf {Sets} }$ليكن دالة متعددة القيم . فئة عناصر F (المشار إليها أيضًا بـ ∫ C _F ) هي الفئة التي:

• الأشياء عبارة عن أزواج${\displaystyle (A,a)}$أين${\displaystyle A\in \mathop {\rm {Ob}} (C)}$و${\displaystyle a\in FA}$.
• المورفيزمات${\displaystyle (A,a)\to (B,b)}$هي أسهم${\displaystyle f:A\to B}$ل${\displaystyle C}$بحيث${\displaystyle (Ff)b=a}$.

التعريف المكافئ هو أن فئة عناصر${\displaystyle F}$هي فئة الفاصلة${\displaystyle (\ast \downarrow F)^{\rm {op}}}$، حيث ∗ عبارة عن عنصر واحد (مجموعة تحتوي على عنصر واحد).

إن فئة عناصر F مجهزة بشكل طبيعي بدالة إسقاط Π : ∫ _C F → C التي ترسل كائنًا ( A , a ) إلى A ، وسهمًا ( A , a )→( B , b ) إلى السهم الأساسي له في C.

بالنسبة للفئات الصغيرة C ، يمكن توسيع هذا البناء إلى دالة ∫ _C من Ĉ إلى Cat ، وهي فئة الفئات الصغيرة . باستخدام مبرهنة يونيدا، يمكن إثبات أن ∫ _C P ≅ y ↓ P ، حيث y : C → Ĉ هو تضمين يونيدا. هذا التشاكل طبيعي في P ، وبالتالي فإن الدالة ∫ _C متماثلة طبيعيًا مع y ↓ – : Ĉ → Cat .

بالنسبة لبعض التطبيقات، من المهم تعميم البناء حتى على دالة زائفة متغايرة.${\displaystyle F}$(الحالة المتغيرة متشابهة). أي، بالنظر إلى${\displaystyle F}$، حدد الفئة${\displaystyle C_{F}}$، أين

• الكائن عبارة عن زوج${\displaystyle (x,a)}$يتكون من كائن${\displaystyle x}$في${\displaystyle C}$وشيء${\displaystyle a}$في${\displaystyle F(x)}$،
• التشكل​${\displaystyle {\overline {f}}:(x,a)\to (y,b)}$يتكون من${\displaystyle f:x\to y}$في${\displaystyle C}$و${\displaystyle \varphi$ :(Ff)b\to a} في${\displaystyle F(x)}$،
• تكوين${\displaystyle {\overline {f}}}$أعلاه و${\displaystyle {\overline {g}}=(g,\psi ):(y,b)\to (z,c)}$يتكون من${\displaystyle g\circ f}$و${\displaystyle \varphi \circ (Ff)\psi }$؛ أي،

${\displaystyle F(g\circ f)c\simeq (Ff\circ Fg)c{\overset {(Ff)\psi }{\to }}(Ff)b{\overset {\varphi }{\to }}a.}$^{[ 3 ]}

لعل من المفيد نفسياً التفكير في${\displaystyle Ff}$مع التراجع على طول${\displaystyle f}$(أي،${\displaystyle Ff=f^{*}}$) وثم${\displaystyle (Ff)b}$هو التراجع${\displaystyle b}$على امتداد${\displaystyle f}$.

لاحظ هنا أن خاصية التجميع في التركيب هي نتيجة لحقيقة أن التشاكلات${\displaystyle F(g\circ f)\simeq Ff\circ Fg}$متماسكة .​

يترك${\displaystyle \pi :C_{F}\to C}$ليكن المؤثر النسياني والفئة المرتبطة بالمؤثر الزائف المتغير عكسيًا${\displaystyle F}$على${\displaystyle C}$من تصميم شركة غروتينديك. ومن أهم خصائصها أن${\displaystyle \pi }$هو تليف ديكارتي (أو ذلك${\displaystyle C_{F}}$هي فئة متداخلة${\displaystyle C}$), بمعنى كل مورفيزم${\displaystyle f:x\to y}$في${\displaystyle C}$مع الهدف${\displaystyle y=\pi ((y,b))}$يرفع إلى شكل ديكارتي${\displaystyle {\overline {f}}}$مع الهدف${\displaystyle {\overline {y}}=(y,b)}$[ ^{3 ] في الواقع ،} نحن ببساطة ندع${\displaystyle {\overline {x}}=(x,a),\,a=(Ff)(b)}$و${\displaystyle {\overline {f}}=(f,\operatorname {id} _{a}).}$وبالتالي، فإن خاصية الرفع المطلوبة تتحقق بشكل بديهي.

ثم، إذا${\displaystyle \mu :F\to G}$إذا كان تحويلاً طبيعياً (بين الدوال الزائفة المتغايرة)، فإن${\displaystyle \mu }$يحفز دالة

${\displaystyle \mu :C_{F}\to C_{G}}$

وهذا يُرسل التشكلات الديكارتية إلى التشكلات الديكارتية. في الواقع، بالنسبة للكائنات، نُعرّف${\displaystyle \mu ((x,a))=(x,\mu (a))}$خلال${\displaystyle \mu :F(x)\to G(x)}$أما بالنسبة للتشاكل${\displaystyle {\overline {f}}=(f,(Ff)b\,{\overset {\varphi }{\to }}\,a):{\overline {x}}\to {\overline {y}}}$، نحن نترك${\displaystyle \mu ({\overline {f}})=(f,\mu (\varphi ))}$أين${\displaystyle \mu (\varphi ):\mu (Ff)b=(Gf)\mu (b)\to \mu (a)}$الآن، إذا${\displaystyle f':x'\to {\overline {y}}}$إذا كان تشاكلاً ديكارتياً عشوائياً، فبما أن${\displaystyle x',{\overline {x}}}$إذا كانت متماثلة، نرى أن${\displaystyle \varphi _{f'}}$قابلة للعكس وبالتالي${\displaystyle \mu (\varphi _{f'})}$قابلة للعكس. ويترتب على ذلك أن${\displaystyle \mu (f')}$يمتلك خاصية الرفع المطلوبة ليكون تشاكلاً ديكارتياً، مما يكمل إثبات الادعاء.

باستخدام لغة الفئات اللانهائية ، يمكن صياغة بناء غروتينديك بإيجاز على النحو التالي: أي أنه ينص على وجود تكافؤ بين الفئات اللانهائية:

${\displaystyle {\textrm {Fct}}(C^{op},{\textrm {Cat}})\to {\textrm {Cart}}(C)}$

بين فئة الدوال وفئة (2، 1) للتليفات الديكارتية (أو الفئات الليفية) على${\displaystyle C}$^{[ 7 ]} علاوة على ذلك ، يتم إثبات التكافؤ عن طريق إرسال الدالة الزائفة${\displaystyle F:C^{op}\to {\textrm {Cat}}}$إلى الفئة${\displaystyle C_{F}}$أزواج لـ${\displaystyle F}$(انظر أعلاه) والاتجاه المعاكس عن طريق أخذ الألياف؛ أي،${\displaystyle \pi }$يتم ربطها بالدالة الزائفة${\displaystyle X\mapsto \pi ^{-1}(X)}$.

بمزيد من التفصيل، بالنظر إلى التليف الديكارتي${\displaystyle \pi }$، تعريف الدالة الزائفة المتغيرة${\displaystyle F}$كما يلي. ^{[ 8 ]} بالنسبة للكائن${\displaystyle x}$،${\displaystyle F(x)=\pi ^{-1}(x)}$. بعد ذلك، بما أن${\displaystyle \pi }$هو تليف ديكارتي، لكل تشاكل${\displaystyle f:x\to y}$وكل كائن${\displaystyle {\overline {y}}}$في${\displaystyle \pi ^{-1}(y)}$يوجد شيء${\displaystyle {\overline {x}}}$في${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$بالإضافة إلى التشكل الديكارتي${\displaystyle {\overline {f}}:{\overline {x}}\to {\overline {y}}}$في${\displaystyle \pi ^{-1}(f)}$بحسب بديهية الاختيار ، لكل${\displaystyle {\overline {y}}}$لذلك نختار${\displaystyle (Ff){\overline {y}}}$في${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$بالإضافة إلى التشكل الديكارتي${\displaystyle {\overline {f}}_{\overline {y}}:(Ff){\overline {y}}\to {\overline {y}}}$لتبسيط الترميز، سنفترض${\displaystyle f^{*}=Ff}$نحن الآن نصنع

${\displaystyle f^{*}:\pi ^{-1}(y)\to \pi ^{-1}(x)}$

دالة؛ أي أنها ترسل أيضًا التشكلات. إذا${\displaystyle \alpha$ :{\overline {y}}_{1}\to {\overline {y}}_{2}} هو تشاكل في${\displaystyle \pi ^{-1}(y)}$، منذ${\displaystyle {\overline {f}}:f^{*}{\overline {y}}_{2}\to {\overline {y}}_{2}}$إذا كان نظامًا ديكارتيًا، فهناك تشاكل فريد${\displaystyle f^{*}{\overline {y}}_{1}\to f^{*}{\overline {y}}_{2}}$، والتي نرمز إليها بـ${\displaystyle f^{*}\alpha }$بحيث${\displaystyle \alpha \circ {\overline {f}}_{{\overline {y}}_{1}}={\overline {f}}_{{\overline {y}}_{2}}\circ f^{*}\alpha }$بفضل تفرد الخيارات، لدينا${\displaystyle f^{*}(\alpha \circ \beta )=f^{*}\alpha \circ f^{*}\beta }$. هكذا،${\displaystyle Ff=f^{*}}$هو دالة. لذا،${\displaystyle F:C^{op}\to {\textbf {Cat}}}$يتم تعريفها. وأخيرًا، نوضح${\displaystyle F}$هو دالة زائفة متغايرة. باختصار، يعود ذلك إلى أنه على الرغم من أننا اخترنا باستخدام بديهية الاختيار، فإن الاختيارات المختلفة تختلف بتشاكلات فريدة. وبالتالي، فإن التشاكلات${\displaystyle F(g\circ f)\simeq (Fg)(Ff)}$سيكون متماسكاً .

• ماك لين، سوندرز (1998). تصنيفات للرياضي العامل . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات 5 (  الطبعة الثانية). سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-98403-8.
• ماك لين، سوندرز؛ مورديك، إيكي (1992). الحزم في الهندسة والمنطق . يونيفرسيتكست (  طبعة منقحة). سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-97710-4.
• بيتر جونستون ، رسومات تخطيطية لفيل (2002)
• وارنر، غارث (13 ديسمبر 2012). "التليفات والحزم" (ملف PDF) . hdl : 1773/20977 – عبر nlab.
• خان، عادل أ. (2023)، محاضرات في الحزم الجبرية (ملف PDF) ، arXiv : 2310.12456
• فيستولي، أنجيلو (2 سبتمبر 2008). "ملاحظات حول طوبولوجيات غروتينديك، والفئات الليفية، ونظرية النزول" (PDF) .
• جورس، بول ج.؛ جاردين، جون ف. (2009). "الدوال التبسيطية وتماسك التماثل" . نظرية التماثل التبسيطي . ص 431-462 . doi : 10.1007/978-3-0346-0189-4_9 . ISBN  978-3-0346-0188-7.
• هارباز، يوناتان؛ براسما، ماتان (2015). "بناء غروتينديك لفئات النماذج" . التقدم في الرياضيات . 281 : 1306-1363 . arXiv : 1404.1852 . doi : 10.1016/j.aim.2015.03.031 .

• فئة العناصر في مختبر ن
• شركة غروتينديك للإنشاءات في مختبر n
• https://mathoverflow.net/questions/322763/why-is-the-straightening-functor-the-analogue-of-the-grothendieck-construction
• داي تاماكي. بناء غروتينديك وتصنيفاته للفئات المُثرية. arXiv: 0907.0061.
• http://pantodon.jp/index.rb?body=Grothendieck_construction#cite.0_0907.0061 (باللغة اليابانية)
• https://mathoverflow.net/questions/153941/thomason-s-homotopy-colimit-theorem-for-pseudo-functor