اختبار أبيل

في الرياضيات ، يُعد اختبار آبل (المعروف أيضًا بمعيار آبل ) طريقةً لاختبار تقارب المتسلسلة اللانهائية . سُمّي الاختبار نسبةً إلى عالم الرياضيات نيلز هنريك آبل ، الذي أثبته عام 1826. ^{[ 1 ]} يوجد نوعان مختلفان قليلاً من اختبار آبل - أحدهما يُستخدم مع متسلسلات الأعداد الحقيقية، والآخر يُستخدم مع متسلسلات القوى في التحليل المركب . يُعد اختبار آبل للتقارب المنتظم معيارًا للتقارب المنتظم لمتسلسلة من الدوال التي تعتمد على المعاملات .

لنفترض أن العبارات التالية صحيحة:

1. ${\textstyle \sum a_{n}}$هي متسلسلة متقاربة،
2. ${\displaystyle b_{n}}$هي متتالية رتيبة، و
3. ${\displaystyle b_{n}}$محدود.

ثم${\textstyle \sum a_{n}b_{n}}$وهي متقاربة أيضاً.

يُعد هذا الاختبار ذا صلة وفائدة بشكل أساسي في سياق المتسلسلات غير المتقاربة تقاربًا مطلقًا.${\textstyle \sum a_{n}}$ ويمكن إثبات ذلك مباشرة باستخدام طريقة الجمع بالتجزئة .

يُستخدم اختبار تقارب وثيق الصلة، يُعرف أيضًا باسم اختبار أبيل ، غالبًا لإثبات تقارب متسلسلة قوى على حدود دائرة تقاربها . وبالتحديد، ينص اختبار أبيل على أنه إذا كانت متتالية${\displaystyle (a_{n})}$تتناقص أعداد الأعداد الحقيقية الموجبة بشكل رتيب مع$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0,}$$ ثم سلسلة القوى $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$$ يتقارب في كل مكان على دائرة الوحدة المغلقة ، باستثناء ربما عند z = 1. لا يمكن تطبيق اختبار أبيل عندما z = 1، لذلك يجب التحقق من التقارب عند تلك النقطة بشكل منفصل.

يشير اختبار أبيل تحديداً إلى أن نصف قطر التقارب لا يقل عن 1. ويمكن تطبيقه أيضاً على متسلسلة قوى بنصف قطر تقارب R ≠ 1 عن طريق تغيير بسيط للمتغيرات.${\displaystyle \zeta =z/R}$[ ^{2 ]} اختبار أبيل هو تعميم لاختبار السلسلة المتناوبة ، وهو الحالة الخاصة z = −1 ^.

برهان اختبار أبيل: لنفترض أن z نقطة على دائرة الوحدة، z ≠ 1. لكل${\displaystyle n\geq 1}$، نحن نحدد

${\displaystyle f_{n}(z):=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}.}$

بضرب هذه الدالة في (1 − z )، نحصل على

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)f_{n}(z)&=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(1-z)z^{k}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}-\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k+1}=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}z^{k}-\sum _{k=1}^{n+1}a_{k-1}z^{k}\\&=a_{0}-a_{n}z^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k-1})z^{k}.\end{aligned}}}$

الحد الأول ثابت، أما الحد الثاني فيتقارب بانتظام إلى الصفر (لأن المتتالية، بحسب الفرضية،${\displaystyle (a_{n})}$(تتقارب إلى الصفر). لم يتبق سوى إثبات أن المتسلسلة متقاربة. سنثبت ذلك بإثبات أنها متقاربة تقاربًا مطلقًا. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left|(a_{k}-a_{k-1})z^{k}\right|=\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}-a_{k-1}|\cdot |z|^{k}\leq \sum _{k=1}^{\infty }(a_{k-1}-a_{k})}$ حيث يكون المجموع الأخير مجموعًا متقاربًا متداخلًا. اختفت القيمة المطلقة لأن المتتالية${\displaystyle (a_{n})}$يتناقص بافتراض ذلك.

وبالتالي، فإن التسلسل${\displaystyle (1-z)f_{n}(z)}$يتقارب (حتى بشكل منتظم) على القرص المغلق ذي الوحدة. إذا${\displaystyle z\not =1}$، يمكننا القسمة على (1 − z ) والحصول على النتيجة.

هناك طريقة أخرى للحصول على النتيجة وهي تطبيق اختبار ديريشليه . في الواقع، بالنسبة لـ${\displaystyle z\neq 1,\ |z|=1}$البشر${\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{n}z^{k}\right|=\left|{\frac {z^{n+1}-1}{z-1}}\right|\leq {\frac {2}{|z-1|}}}$وبالتالي، فإن افتراضات اختبار ديريشليه مستوفاة.

كما أن تعزيز الاختبار التالي صحيح أيضًا: يمكن استبدال الشرط الذي${\displaystyle (a_{n})}$تتناقص الدالة بشرط أن تتناقص لقيم n الكبيرة بما فيه الكفاية ، أي أنه يوجد عدد طبيعي m يحقق الشرط التالي:${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$عندما يكون n > m .

يُعد اختبار أبيل للتقارب المنتظم معيارًا للتقارب المنتظم لسلسلة من الدوال أو التكامل غير الصحيح للدوال التي تعتمد على المعاملات . وهو مرتبط باختبار أبيل لتقارب سلسلة عادية من الأعداد الحقيقية، ويعتمد برهانه على نفس أسلوب الجمع بالتجزئة .

الاختبار هو كما يلي. ليكن${\displaystyle \{g_{n}\}}$لتكن متتالية محدودة بشكل منتظم من الدوال الحقيقية المتصلة على مجموعة${\displaystyle E}$بحيث${\displaystyle g_{n+1}(x)\leq g_{n}(x)}$للجميع${\displaystyle x\in E}$والأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle n}$ودع${\displaystyle \{f_{n}\}}$لتكن متتالية من الدوال ذات القيم الحقيقية بحيث تكون المتسلسلة${\displaystyle \sum f_{n}(x)}$يتقارب بانتظام على${\displaystyle E}$. ثم${\displaystyle \sum f_{n}(x)g_{n}(x)}$يتقارب بانتظام على${\displaystyle E}$.

• جينو موريتي، دوال المتغير المركب ، برنتيس هول، 1964
• أبوستول، توم م. (1974)، التحليل الرياضي (الطبعة الثانية  )، أديسون-ويسلي ، رقم ISBN 978-0-201-00288-1
• وايسشتاين، إريك دبليو. "اختبار التقارب المنتظم لأبيل" . ماث وورلد .

• البرهان (للسلسلة الحقيقية) على موقع PlanetMath.org