معادلة آبل

معادلة آبل ، التي سميت على اسم نيلز هنريك آبل ، هي نوع من المعادلات الوظيفية من الشكل

${\displaystyle f(h(x))=h(x+1)}$

أو

${\displaystyle \alpha (f(x))=\alpha (x)+1}$.

تكون الأشكال متكافئة عندما يكون α قابلاً للعكس . h أو α يتحكمان في تكرار f .

يمكن كتابة المعادلة الثانية

${\displaystyle \alpha ^{-1}(\alpha (f(x)))=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+1)\,.}$

بأخذ x = α ⁻¹ ( y ) ، يمكن كتابة المعادلة

${\displaystyle f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,.}$

بالنسبة للدالة المعروفة f ( x ) ، فإن المشكلة هي حل المعادلة الوظيفية للدالة α ⁻¹ ≡ h ، مع إمكانية تلبية المتطلبات الإضافية، مثل α ⁻¹ (0) = 1 .

يؤدي تغيير المتغيرات s ^{α ( x )} = Ψ( x ) ، للمعامل الحقيقي s ، إلى إدخال معادلة آبل في معادلة شرودر الشهيرة ، Ψ( f ( x )) = s  Ψ( x ) .

التغيير الإضافي F ( x ) = exp( s ^{α ( x )} ) في معادلة بوتشر ، F ( f ( x )) = F ( x ) ^s .

معادلة آبل هي حالة خاصة من معادلة الترجمة (وتعمم بسهولة على) [ ^1]

${\displaystyle \omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)~,}$

على سبيل المثال، بالنسبة لـ ، ${\displaystyle \omega(x,1)=f(x)}$

${\displaystyle \omega (x,u)=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+u)}$(لاحظ ω ( x ,0) = x .)

توفر دالة آبل α ( x ) أيضًا الإحداثيات القياسية لتدفقات لي الحملية ( مجموعات لي ذات معلمة واحدة ).

في البداية، تم الإبلاغ عن المعادلة في الشكل الأكثر عمومية ^{[2] [3]} . حتى في حالة متغير واحد، فإن المعادلة ليست تافهة، وتسمح بتحليل خاص. ^{[4] [5] [6]}

في حالة دالة النقل الخطية، يكون الحل قابلاً للتعبير عنه بشكل مضغوط. ^[7]

معادلة التتريت هي حالة خاصة لمعادلة آبل، حيث f = exp .

في حالة وجود وسيطة عدد صحيح، تقوم المعادلة بتشفير إجراء متكرر، على سبيل المثال،

${\displaystyle \alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2~,}$

وهكذا دواليك،

${\displaystyle \alpha (f_{n}(x))=\alpha (x)+n~.}$

تحتوي معادلة آبل على حل واحد على الأقل إذا وفقط إذا لجميع وجميع ، ، حيث ، هي الدالة التي تم تكرارها n مرة. ^[8]${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle f^{n}(x)\neq x}$${\displaystyle f^{n}=f\circ f\circ ...\circ f}$

يمكن تقريب الحلول التحليلية (إحداثيات فاتو) عن طريق التوسع المقارب لدالة محددة بواسطة سلسلة قوى في القطاعات حول نقطة ثابتة مكافئة . ^[9] الحل التحليلي فريد حتى ثابت. ^[10]

• المعادلة الوظيفية
  • معادلة شرودر
  • معادلة بوتشر
• تركيبات لا نهائية من الدوال التحليلية
• دالة متكررة
• عامل التحويل
• وظيفة فائقة