العنصر العكسي

تكون العملية الجزئية تجميعية إذا

${\displaystyle x*(y*z)=(x*y)*z}$

لكل x و y و z في X التي يكون أحد طرفي المساواة معرفًا لها؛ المساواة تعني أنه يجب تعريف الطرف الآخر من المساواة أيضًا.

من أمثلة العمليات غير التجميعية الكاملة ضرب المصفوفات ذات الحجم العشوائي، وتركيب الدوال .

يترك${\displaystyle *}$قد تكون عملية تجميعية جزئية على مجموعة X.

العنصر المحايد ، أو ببساطة العنصر المحايد، هو عنصر e بحيث

${\displaystyle x*e=x\quad {\text{and}}\quad e*y=y}$

لكل x و y التي تكون فيها الأطراف اليسرى للمعادلات محددة.

إذا كان e و f عنصرين محايدين بحيث${\displaystyle e*f}$إذا تم تعريفها، فإن${\displaystyle e=f.}$(ينتج هذا مباشرة من التعريف، بواسطة${\displaystyle e=e*f=f.}$)

ويترتب على ذلك أن العملية الكلية تحتوي على عنصر محايد واحد على الأكثر، وإذا كان العنصران e و f عنصرين محايدين مختلفين، فإن${\displaystyle e*f}$غير مُعرّف.

على سبيل المثال، في حالة ضرب المصفوفات ، توجد مصفوفة وحدة واحدة من الرتبة n × n لكل عدد صحيح موجب n ، ولا يمكن ضرب مصفوفتي وحدة مختلفتي الحجم معًا.

وبالمثل، فإن دوال الهوية هي عناصر هوية لتركيب الدوال ، وتركيب دوال الهوية لمجموعتين مختلفتين غير محدد.

لو${\displaystyle x*y=e,}$ حيث e هو عنصر محايد، نقول أن x هو معكوس يساري لـ y ، و y هو معكوس يميني لـ x .

لا توجد دائمًا معكوسات يسرى ويمنى، حتى عندما تكون العملية كلية وتجميعية. على سبيل المثال، الجمع عملية تجميعية كلية على الأعداد الصحيحة غير السالبة ، حيث يكون الصفر هو العنصر المحايد الجمعي ، وهو العنصر الوحيد الذي له معكوس جمعي . هذا النقص في المعكوسات هو الدافع الرئيسي لتوسيع نطاق الأعداد الطبيعية ليشمل الأعداد الصحيحة.

يمكن أن يكون للعنصر عدة معكوسات يسارية وعدة معكوسات يمينية، حتى عندما تكون العملية كلية وتجميعية. على سبيل المثال، لننظر إلى الدوال من الأعداد الصحيحة إلى الأعداد الصحيحة. دالة المضاعفة${\displaystyle x\mapsto 2x}$للدالة n عدد لا نهائي من المعكوسات اليسرى في تركيب الدوال ، وهي الدوال التي تقسم الأعداد الزوجية على اثنين، وتعطي أي قيمة للأعداد الفردية. وبالمثل، فإن كل دالة تربط n بأي من n و n على اليسار ، لها عدد لا نهائي من المعكوسات اليسرى في تركيب الدوال.${\displaystyle 2n}$أو${\displaystyle 2n+1}$هي معكوس يميني للدالة${\textstyle n\mapsto \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor ,}$دالة الجزء الصحيح التي تربط n بـ${\textstyle {\frac {n}{2}}}$أو${\textstyle {\frac {n-1}{2}},}$وذلك بحسب ما إذا كان n زوجيًا أم فرديًا.

وبشكل عام، يكون للدالة معكوس أيسر لتركيب الدوال إذا وفقط إذا كانت أحادية ، ويكون لها معكوس أيمن إذا وفقط إذا كانت شاملة .

في نظرية الفئات ، تسمى المعكوسات اليمنى أيضًا بالأقسام ، وتسمى المعكوسات اليسرى بالتراجعات .

يكون العنصر قابلاً للعكس تحت عملية معينة إذا كان له معكوس أيسر ومعكوس أيمن.

في الحالة الشائعة حيث تكون العملية تجميعية، يكون المعكوس الأيسر والمعكوس الأيمن لعنصر ما متساويين وفريدين. في الواقع، إذا كان l و r على التوالي المعكوس الأيسر والمعكوس الأيمن لـ x ، فإن

${\displaystyle l=l*(x*r)=(l*x)*r=r.}$

معكوس العنصر القابل للعكس هو معكوسه الأيسر أو الأيمن الفريد.

إذا تم التعبير عن العملية كعملية جمع، فإن معكوس العنصر x ، أو المعكوس الجمعي ، يُشار إليه بـ${\displaystyle -x.}$بخلاف ذلك، يُشار عمومًا إلى معكوس x بـ${\displaystyle x^{-1},}$أو، في حالة الضرب التبادلي${\textstyle {\frac {1}{x}}.}$ عندما يكون هناك احتمال للخلط بين عدة عمليات حسابية، يمكن إضافة رمز العملية قبل الأس، كما في${\displaystyle x^{*-1}.}$الترميز${\displaystyle f^{\circ -1}}$لا يُستخدم عادةً في تركيب الدوال ، لأن${\textstyle {\frac {1}{f}}}$يمكن استخدامها للمعكوس الضربي .

إذا كانت x و y قابلتين للعكس، و${\displaystyle x*y}$إذا تم تعريفها، فإن${\displaystyle x*y}$هي قابلة للعكس، ومعكوسها هو${\displaystyle y^{-1}x^{-1}.}$

يُطلق على التشاكل القابل للعكس اسم التشاكل . وفي نظرية الفئات ، يُطلق على التشكل القابل للعكس أيضًا اسم التشاكل .

يترك${\displaystyle S}$أن تكون صهارة أحادية ، أي مجموعة ذات عملية ثنائية${\displaystyle *}$وعنصر هوية${\displaystyle e\in S}$إذا، من أجل${\displaystyle a,b\in S}$لدينا${\displaystyle a*b=e}$، ثم${\displaystyle a}$يُطلق عليه اسم المعكوس الأيسر لـ${\displaystyle b}$و${\displaystyle b}$يُطلق عليه اسم المعكوس الأيمن لـ${\displaystyle a}$إذا كان العنصر${\displaystyle x}$هو معكوس يساري ومعكوس يميني لـ${\displaystyle y}$، ثم${\displaystyle x}$يُطلق عليه اسم معكوس ثنائي الجانب ، أو ببساطة معكوس ، لـ${\displaystyle y}$عنصر له معكوس ثنائي الجانب في${\displaystyle S}$يُطلق عليه اسم قابل للعكس في${\displaystyle S}$العنصر الذي له عنصر معكوس على جانب واحد فقط يكون قابلاً للعكس من اليسار أو قابلاً للعكس من اليمين .

عناصر الصهارة الموحدة${\displaystyle (S,*)}$قد يكون لها معكوسات متعددة على اليسار أو اليمين أو على كلا الجانبين. على سبيل المثال، في الصهارة التي يحددها جدول كايلي

لكل من العنصرين 2 و 3 معكوسان ثنائيان.

لا يشترط أن تكون الصهارة الموحدة التي تكون فيها جميع العناصر قابلة للانعكاس حلقة . على سبيل المثال، في الصهارة${\displaystyle (S,*)}$مُعطى بواسطة جدول كايلي

لكل عنصر معكوس فريد ذو وجهين (وهو نفسه)، ولكن${\displaystyle (S,*)}$ليست حلقة لأن جدول كايلي ليس مربعًا لاتينيًا .

وبالمثل، لا يشترط أن يكون للحلقة معكوسات ثنائية الجانب. على سبيل المثال، في الحلقة الموضحة في جدول كايلي

العنصر الوحيد الذي له معكوس ذو وجهين هو عنصر الوحدة 1.

إذا كانت العملية${\displaystyle *}$إذا كانت المجموعة تجميعية، فإذا كان للعنصر معكوس أيسر ومعكوس أيمن، فإنهما متساويان. بعبارة أخرى، في المجموعة الأحادية (وهي مجموعة أحادية تجميعية)، يكون لكل عنصر معكوس واحد على الأكثر (كما هو مُعرَّف في هذا القسم). في المجموعة الأحادية، تُسمى مجموعة العناصر القابلة للعكس زمرة ، وتُسمى زمرة الوحدات .${\displaystyle S}$، ويرمز إليه بـ${\displaystyle U(S)}$أو H ₁ .

يُعمّم التعريف الوارد في القسم السابق مفهوم المعكوس في الزمرة بالنسبة لمفهوم العنصر المحايد. ومن الممكن أيضاً، وإن كان أقل وضوحاً، تعميم مفهوم المعكوس بحذف العنصر المحايد مع الحفاظ على خاصية التجميع؛ أي في شبه زمرة .

في شبه زمرة S، يُسمى العنصر x منتظمًا (فون نيومان) إذا وُجد عنصر z في S بحيث يكون xzx = x ؛ ويُسمى z أحيانًا بالمعكوس الزائف . يُسمى العنصر y (ببساطة) معكوسًا لـ x إذا كان xyx = x و y = yxy . لكل عنصر منتظم معكوس واحد على الأقل: إذا كان x = xzx، فمن السهل التحقق من أن y = zxz هو معكوس لـ x كما هو مُعرّف في هذا القسم. حقيقة أخرى يسهل إثباتها: إذا كان y معكوسًا لـ x، فإن e = xy و f = yx عنصران متساويان في القوة ، أي ee = e و ff = f . بالتالي، ينتج عن كل زوج من العناصر المعكوسة (المتبادلة) عنصران متساويان في القوة، و ex = xf = x و ye = fy = y ، ويعمل e كعنصر محايد أيسر على x ، بينما يعمل f كعنصر محايد أيمن، وتنعكس الأدوار اليسرى/اليمنى بالنسبة لـ y . يمكن تعميم هذه الملاحظة البسيطة باستخدام علاقات غرين : كل عنصر متساوي القوة e في شبه زمرة اختيارية هو عنصر محايد يساري لـ _Re وعنصر محايد يميني لـ _Le . [ ^{2 ] الوصف} البديهي لهذه الحقيقة هو أن كل زوج من العناصر المعكوسة المتبادلة ينتج عنصر محايد يساري محلي، وعلى التوالي، عنصر محايد يميني محلي.

في المونويد، يكون مفهوم المعكوس كما هو مُعرَّف في القسم السابق أضيق نطاقًا من التعريف الوارد في هذا القسم. فقط العناصر الموجودة في فئة غرين H1 لها معكوس من منظور الصهارة الموحدة، بينما بالنسبة لأي عنصر متساوي القوة e ، _فإن عناصر H1 لها معكوس كما _هو مُعرَّف في هذا القسم. وفقًا لهذا التعريف الأكثر عمومية، لا يشترط أن تكون المعكوسات فريدة (أو موجودة) في أي شبه زمرة أو مونويد. إذا كانت جميع العناصر منتظمة، فإن شبه الزمرة (أو المونويد) تُسمى منتظمة، ولكل عنصر معكوس واحد على الأقل. إذا كان لكل عنصر معكوس واحد فقط كما هو مُعرَّف في هذا القسم، فإن شبه الزمرة تُسمى شبه زمرة معكوسة . أخيرًا، شبه الزمرة المعكوسة التي تحتوي على عنصر متساوي القوة واحد فقط هي زمرة. قد تحتوي شبه الزمرة المعكوسة على عنصر ماص 0 لأن 000 = 0، بينما قد لا تحتوي الزمرة على ذلك.

خارج نطاق نظرية شبه الزمر، يُطلق أحيانًا على المعكوس الفريد كما هو مُعرّف في هذا القسم اسم شبه المعكوس . وهذا مُبرر عمومًا لأن خاصية التجميع مُتحققة في معظم التطبيقات (على سبيل المثال، جميع الأمثلة في هذه المقالة)، مما يجعل هذا المفهوم تعميمًا للمعكوس الأيسر/الأيمن بالنسبة إلى عنصر محايد (انظر المعكوس المُعمم ).

يُعدّ تعريف عملية أحادية (اختيارية) ° بحيث يكون ( a ° )° = a لكل a في S تعميمًا طبيعيًا لشبه المجموعة العكسية ؛ وهذا يُكسب S جبرًا من النوع ⟨2,1⟩ . تُسمى شبه المجموعة المزودة بهذه العملية شبه مجموعة U. على الرغم من أنه قد يبدو أن a ° ستكون معكوس a ، إلا أن هذا ليس بالضرورة صحيحًا. للحصول على مفهوم (مفاهيم) مثيرة للاهتمام، يجب أن تتفاعل العملية الأحادية بطريقة ما مع عملية شبه المجموعة. دُرست فئتان من شبه مجموعات U : ^{[ 3 ]}

• أنصاف المجموعات من النوع I ، حيث تكون بديهية التفاعل هي aa ° a = a
• أنصاف الزمر من النوع * ، حيث تكون بديهية التفاعل هي ( ab )° = b ° a ° . يُرمز عادةً إلى هذه العملية بالرمز * .

من الواضح أن المجموعة هي شبه زمرة من النوع I وشبه زمرة من النوع *. ومن بين أنصاف الزمر المهمة في نظرية أنصاف الزمر، أنصاف الزمر المنتظمة تمامًا ؛ وهي أنصاف زمر من النوع I تتميز بوجود aa ° = a ° a ؛ أي أن لكل عنصر معكوسًا زائفًا تبادليًا a ° . مع ذلك، توجد أمثلة قليلة ملموسة على هذه الأنصاف؛ فمعظمها أنصاف زمر بسيطة تمامًا . في المقابل، تُنتج فئة فرعية من أنصاف الزمر من النوع *، وهي أنصاف الزمر المنتظمة من النوع * (بمعنى درازين)، أحد أشهر الأمثلة على المعكوس الزائف (الفريد)، وهو معكوس مور-بنروز . في هذه الحالة، لا يُعدّ الانعكاس a * هو المعكوس الزائف. بل إن المعكوس الزائف لـ x هو العنصر الوحيد y الذي يحقق xyx = x و yxy = y و ( xy )* = xy و ( yx )* = yx . بما أن المجموعات النصفية المنتظمة * تعمم المجموعات النصفية العكسية، فإن العنصر الفريد المعرف بهذه الطريقة في مجموعة نصفية منتظمة * يسمى العكس المعمم أو عكس مور-بينروز .

جميع الأمثلة في هذا القسم تتضمن عوامل تجميعية.