التناظر في الرياضيات

يكون تكامل دالة فردية من − A إلى + A مساوياً للصفر، بشرط أن تكون A محدودة وأن تكون الدالة قابلة للتكامل (على سبيل المثال، ليس لها خطوط تقارب رأسية بين − A و A ). ^{[ 3 ]}

تكامل دالة زوجية من −A إلى + A يساوي ضعف التكامل من 0 إلى + A ، بشرط أن تكون A محدودة وأن تكون الدالة قابلة للتكامل (أي ليس لها خطوط تقارب رأسية بين −A و A ) . ^{[ 3 ]} وينطبق هذا أيضًا عندما تكون A غير محدودة، ولكن فقط إذا كان التكامل متقاربًا.

• تتضمن متسلسلة ماكلورين لدالة زوجية قوى زوجية فقط.
• تتضمن متسلسلة ماكلورين لدالة فردية قوى فردية فقط.
• تتضمن متسلسلة فورييه لدالة زوجية دورية حدود جيب التمام فقط .
• تتضمن متسلسلة فورييه لدالة فردية دورية حدود الجيب فقط.

في الجبر الخطي ، المصفوفة المتناظرة هي مصفوفة مربعة تساوي منقولتها ( أي أنها ثابتة تحت منقول المصفوفة). وبصورة رسمية، تكون المصفوفة A متناظرة إذا

${\displaystyle A=A^{T}.}$

بحسب تعريف تساوي المصفوفات، الذي يشترط تساوي جميع العناصر في المواضع المتناظرة، يجب أن يكون للمصفوفات المتساوية نفس الأبعاد (إذ لا يمكن أن تتساوى المصفوفات ذات الأحجام أو الأشكال المختلفة). وبالتالي، فإن المصفوفات المربعة فقط هي التي يمكن أن تكون متناظرة.

تكون عناصر المصفوفة المتناظرة متناظرة بالنسبة للقطر الرئيسي . لذا، إذا كُتبت العناصر على الصورة A = ( a_{_ij} )، فإن a _{_ij} = a_{_ji}، لجميع المؤشرات i و j .

على سبيل المثال، المصفوفة التالية 3×3 متناظرة:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&-5\\3&-5&6\end{bmatrix}}}$

كل مصفوفة قطرية مربعة متناظرة، لأن جميع عناصرها غير القطرية تساوي صفرًا. وبالمثل، يجب أن يكون كل عنصر قطري في مصفوفة متناظرة معكوسة صفرًا، لأن كل عنصر هو معكوس نفسه.

في الجبر الخطي، تمثل المصفوفة المتناظرة الحقيقية مؤثرًا ذاتيًا مترافقًا على فضاء جداء داخلي حقيقي . أما في فضاء الجداء الداخلي المركب ، فيُقابلها مصفوفة هيرميتية ذات عناصر مركبة، وهي تساوي منقولتها المرافقة . لذا، في الجبر الخطي على الأعداد المركبة، يُفترض غالبًا أن المصفوفة المتناظرة هي تلك التي عناصرها حقيقية. تظهر المصفوفات المتناظرة بشكل طبيعي في تطبيقات متنوعة، وتُراعي برامج الجبر الخطي العددي عادةً خصائصها.

الزمرة المتناظرة S_{_n} (على مجموعة منتهية من n رمزًا) هي الزمرة التي عناصرها جميع تباديل الرموز n ، وعملية الزمرة هي تركيب هذه التباديل، والتي تُعامل كدوال تقابلية من مجموعة الرموز إلى نفسها. ^{[ 4 ]} بما أن هناك n ! ( مضروب n ) تبديلًا ممكنًا لمجموعة من n رمزًا، فإن رتبة (أي عدد عناصر) الزمرة المتناظرة S _{_n} هي n !.

متعددة الحدود المتناظرة هي متعددة حدود P ( X₁ _, X₂ _, ... , Xₙ ₎ في n متغيرًا، بحيث إذا تم تبديل أي من المتغيرات، نحصل على نفس متعددة الحدود. وبصورة رسمية، تكون P متعددة حدود متناظرة إذا كان لأي تبديل σ للمؤشرات السفلية 1، 2، ...، n ، يكون P ( Xσ ₍₁₎ , Xσ ₍₂₎ , ..., Xσ _{( n )} )  = P ( X₁ , X₂ _, ... _, Xₙ ₎ . 

تنشأ كثيرات الحدود المتناظرة بشكل طبيعي عند دراسة العلاقة بين جذور كثيرة الحدود في متغير واحد ومعاملاتها، إذ يمكن التعبير عن المعاملات بتعبيرات كثيرة الحدود في الجذور، وتؤدي جميع الجذور دورًا مشابهًا في هذا السياق. من هذا المنطلق، تُعدّ كثيرات الحدود المتناظرة الأولية أكثر أنواع كثيرات الحدود المتناظرة جوهرية. تنصّ نظرية على أنه يمكن التعبير عن أي كثيرة حدود متناظرة بدلالة كثيرات حدود متناظرة أولية، مما يعني أن أي تعبير لكثيرة حدود متناظرة في جذور كثيرة حدود أحادية يمكن التعبير عنه أيضًا بتعبير لكثيرة حدود في معاملات كثيرة الحدود.

في الرياضيات ، الموتر المتناظر هو موتر لا يتغير تحت تبديل وسائطه المتجهة:

${\displaystyle T(v_{1},v_{2},\dots ,v_{r})=T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\dots ,v_{\sigma r})}$

لكل تبديل σ للرموز {1، 2، ...، r }. أو بدلاً من ذلك، فإن موترًا متناظرًا ^{من الرتبة} r ممثلًا في الإحداثيات ككمية ذات r مؤشرات يحقق ما يلي:

${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\dots i_{r}}=T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma r}}.}$

فضاء الموترات المتناظرة من الرتبة r على فضاء متجهي محدود الأبعاد متماثل طبيعيًا مع الفضاء الثنائي لكثيرات الحدود المتجانسة من الدرجة r على V. وعلى حقول ذات خاصية صفرية ، يمكن تعريف الفضاء المتجهي المتدرج لجميع الموترات المتناظرة بشكل طبيعي مع الجبر المتناظر على V. ومن المفاهيم ذات الصلة مفهوم الموتر المضاد للتناظر أو الشكل المتناوب . وتظهر الموترات المتناظرة على نطاق واسع في الهندسة والفيزياء والرياضيات .

^{بالنظر إلى} متعددة حدود، قد تكون بعض جذورها مرتبطة بمعادلات جبرية مختلفة . على سبيل المثال، قد يكون لجذرين، ولنقل A و B ، المعادلة A² + 5B³ = 7. ^تتمحور فكرة نظرية غالوا حول دراسة تباديل (أو إعادة ترتيب) الجذور التي تحقق خاصية بقاء أي معادلة جبرية تحققها الجذور قائمة حتى بعد تبديلها. ومن الشروط الأساسية أن نقتصر على المعادلات الجبرية التي تكون معاملاتها أعدادًا نسبية . وبالتالي، تدرس نظرية غالوا التناظرات الكامنة في المعادلات الجبرية.

في الجبر المجرد ، التشاكل الذاتي هو تماثل بين كائن رياضي ونفسه. وهو، بمعنى ما، تناظر للكائن، وطريقة لرسم الكائن على نفسه مع الحفاظ على بنيته الكاملة. تشكل مجموعة جميع التشاكلات الذاتية لكائن ما زمرة تُسمى زمرة التشاكل الذاتي . وهي، بشكل عام، زمرة التناظر للكائن.

في ميكانيكا الكم، للبوزونات ممثلون متناظرون تحت عوامل التبديل، وللفيرميونات ممثلون مضادون للتناظر.

وهذا يستلزم مبدأ استبعاد باولي للفيرميونات. في الواقع، يُكافئ مبدأ استبعاد باولي مع دالة موجية أحادية القيمة متعددة الجسيمات اشتراط أن تكون الدالة الموجية مضادة للتناظر. تُمثَّل حالة الجسيمين المضادة للتناظر كمجموع حالات يكون فيها أحد الجسيمين في الحالة${\displaystyle \scriptstyle |x\rangle }$والآخر في الولاية${\displaystyle \scriptstyle |y\rangle }$:

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{x,y}A(x,y)|x,y\rangle }$

وتعني خاصية التناظر العكسي تحت التبادل أن A ( x , y ) = −A ( y , x ) . وهذا يستلزم أن A ( x , x ) = 0 ، وهو ما يُعرف باستبعاد باولي. ويصدق هذا في أي أساس، لأن التغييرات الوحدوية للأساس تحافظ على تناظر المصفوفات العكسية، مع أن الكمية A ( x , y ) ليست مصفوفة بالمعنى الدقيق، بل هي موتر من الرتبة الثانية ذو تناظر عكسي .

وعلى العكس من ذلك، إذا كانت الكميات القطرية A ( x , x ) تساوي صفرًا في كل أساس ، فإن مكون دالة الموجة:

${\displaystyle A(x,y)=\langle \psi |x,y\rangle =\langle \psi |(|x\rangle \otimes |y\rangle )}$

هي بالضرورة متناظرة عكسياً. لإثبات ذلك، انظر إلى عنصر المصفوفة:

${\displaystyle \langle \psi |((|x\rangle +|y\rangle )\otimes (|x\rangle +|y\rangle ))\,}$

وهذا يساوي صفرًا، لأن احتمال وجود الجسيمين معًا في حالة التراكب يساوي صفرًا.${\displaystyle \scriptstyle |x\rangle +|y\rangle }$لكن هذا يساوي

${\displaystyle \langle \psi |x,x\rangle +\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle +\langle \psi |y,y\rangle \,}$

الحدّان الأول والأخير في الطرف الأيمن هما عنصران قطريان ويساويان صفرًا، والمجموع الكلي يساوي صفرًا. لذا فإن عناصر مصفوفة الدالة الموجية تخضع لما يلي:

${\displaystyle \langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle =0\,}$.

أو

${\displaystyle A(x,y)=-A(y,x)\,}$

نسمي العلاقة متناظرة إذا كانت العلاقة قائمة من A إلى B في كل مرة تكون فيها قائمة من B إلى A. لاحظ أن التناظر ليس عكس التناظر المضاد تمامًا .

التحويل المتساوي القياس هو تحويل يحافظ على المسافة بين الفضاءات المترية . بفرض وجود فضاء متري، أو مجموعة ونظام لتحديد المسافات بين عناصرها، فإن التحويل المتساوي القياس هو تحويل ينقل العناصر إلى فضاء متري آخر بحيث تكون المسافة بين العناصر في الفضاء المتري الجديد مساوية للمسافة بين العناصر في الفضاء المتري الأصلي. في  الفضاء ثنائي الأبعاد أو ثلاثي الأبعاد،  يكون شكلان هندسيان متطابقين إذا  كانت تربطهما علاقة تحويل متساوي  القياس  :  إما بحركة صلبة ، أو بتركيب حركة صلبة وانعكاس . وبشرط ألا تكون العلاقة بينهما بحركة صلبة ، فإنهما يكونان متساويين إذا كانت العلاقة بينهما تحويلًا متساوي القياس مباشرًا .             

تم استخدام التماثلات لتوحيد التعريف العملي للتناظر في الهندسة وللدوال، وتوزيعات الاحتمالات، والمصفوفات، والسلاسل، والرسوم البيانية، وما إلى ذلك. ^{[ 7 ]}