الدافع (الهندسة الجبرية)

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 90 صور
الموسوعة الحرة

في الهندسة الجبرية ، يُعدّ الدافع (أو أحيانًا الموتيف ، وفقًا للاستخدام الفرنسي ) كائنًا مجردًا قدّمه ألكسندر غروتينديك في ستينيات القرن العشرين كجزء من نظرية التماثل الشاملة المقترحة للأصناف الجبرية . وتقوم الفكرة على أن نظريات مثل تماثل بيتي ، وتماثل دي رام ، وتماثل إيتال، وتماثل البلورات ، ينبغي أن تنشأ كتجليات مختلفة لنفس الكائن الأساسي. وبالتالي، يهدف دافع الصنف إلى استيعاب جزء من هندسته المشترك بين نظريات التماثل هذه.

بالنسبة للأصناف الملساء ، يمكن بناء الدوافع النقية من خلال التطابقات الجبرية والإسقاطات المتطابقة . وتُعد دوافع تشاو مثالًا على ذلك. أما بالنسبة للأصناف الأكثر عمومية، فإن نظرية الدوافع المختلطة (التي تقوم جزئيًا على التخمين) توسع هذا التصور لربط الدوافع بعلم التماثل الدوافعي ونظرية K الجبرية . وقد بنى فلاديمير فويفودسكي فئات مثلثية من الدوافع توفر جزءًا كبيرًا من الشكلية المتوقعة من الدوافع المختلطة.

ترتبط نظرية الدوافع بالدورات الجبرية ، ونظرية ويل للتماثل ، ودراسة زمر غالوا التحفيزية . كما أنها توفر إطارًا موحدًا للمسائل المفتوحة مثل حدسية هودج وحدسية تيت .

مقدمة

طُرحت نظرية الدوافع في الأصل كمحاولة لتوحيد مجموعة متنامية بسرعة من نظريات التماثل، بما في ذلك تماثل بيتي ، وتماثل دي رام ، وتماثل l -adic ، وتماثل البلورات . والأمل العام هو أن معادلات مثل

  • [خط إسقاطي] = [خط] + [نقطة]
  • [المستوى الإسقاطي] = [المستوى] + [الخط] + [النقطة]

يمكن وضعها على أسس رياضية متينة ذات معنى عميق. بالطبع، من المعروف أن المعادلات المذكورة أعلاه صحيحة من نواحٍ عديدة، مثل معنى مُركّب CW حيث يُشير الرمز "+" إلى الخلايا المتصلة، ومن نواحٍ أخرى في نظريات التماثل المختلفة، حيث يُشير الرمز "+" إلى المجموع المباشر.

من منظور آخر، تُكمل الدوافع سلسلة التعميمات من الدوال الكسرية على المتنوعات إلى القواسم على المتنوعات وصولاً إلى مجموعات تشاو من المتنوعات. ويحدث هذا التعميم في أكثر من اتجاه، إذ يمكن النظر إلى الدوافع من منظور أنواع تكافؤ أكثر من التكافؤ الكسري. وتُحدد التكافؤات المقبولة بتعريف علاقة التكافؤ الكافية .

تركيبات غروتينديك وديليجن

في صياغة غروتينديك للأصناف الإسقاطية الملساء ، يكون الدافع ثلاثيًا(X،ص،م){\displaystyle (X,p,m)}، أينX{\displaystyle X}هو نوع إسقاطي سلس،ص:X⊢X{\displaystyle p:X\vdash X}هي علاقة تناظرية متطابقة ، و m عدد صحيح ؛ ومع ذلك، فإن مثل هذه الثلاثية لا تحتوي تقريبًا على أي معلومات خارج سياق فئة غروتينديك للدوافع البحتة، حيث يكون التشكل من(X،ص،م){\displaystyle (X,p,m)}ل(Y،q،ن){\displaystyle (Y,q,n)}يتم تحديده من خلال تطابق من الدرجةن-م{\displaystyle nm}. تم اتباع نهج أكثر تركيزًا على الكائن بواسطة Pierre Deligne في Le Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Points . في تلك المقالة، الدافع هو "نظام من الإنجازات" - أي صف

(مب،مدR،مأو،مكريس،ص،كمبيوتردR،ب،كمبيوترأو،ب،كمبيوتركريس⁡ص،دR،دبليو،F∞،F،ϕ،ϕص){\displaystyle \left(M_{B},M_{\mathrm {DR} },M_{\mathbb {A} ^{f}},M_{\operatorname {cris} ,p},\operatorname {comp} _{\mathrm {DR} ,B},\operatorname {comp} _{\mathbb {A} ^{f},B},\operatorname {comp} _{\operatorname {cris} p,\mathrm {DR} },W,F_{\infty },F,\phi ,\phi _{p}\right)}

يتكون من وحدات

مب،مدR،مأو،مكريس،ص{\displaystyle M_{B},M_{\mathrm {DR} },M_{\mathbb {A} ^{f}},M_{\operatorname {cris} ,p}}

فوق الحلقات

سؤال،سؤال،أو،سؤالص،{\displaystyle \mathbb {Q} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {A} ^{f},\mathbb {Q} _{p},}

على التوالي، تماثلات مقارنة متنوعة

كمبيوتردR،ب،كمبيوترأو،ب،كمبيوتركريس⁡ص،دR{\displaystyle \operatorname {comp} _{\mathrm {DR} ,B},\operatorname {comp} _{\mathbb {A} ^{f},B},\operatorname {comp} _{\operatorname {cris} p,\mathrm {DR} }}

من بين التغييرات الأساسية الواضحة لهذه الوحدات، عمليات الترشيحدبليو،F{\displaystyle W,F}، إجراءϕ{\displaystyle \phi }من مجموعة غالوا المطلقةغال⁡(سؤال¯،سؤال){\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {Q} }},\mathbb {Q} )}علىمأو،{\displaystyle M_{\mathbb {A} ^{f}},}وتماثل "فروبينيوس"ϕص{\displaystyle \phi _{p}}لمكريس،ص{\displaystyle M_{\operatorname {cris} ,p}}تُنمذج هذه البيانات على أساس التماثلات المشتركة لنموذج إسقاطي أملسسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }-التنوع والهياكل والتوافقات التي تسمح بها، ويعطي فكرة عن نوع المعلومات التي يحتويها الدافع.

تعريف الدوافع النقية

غالبًا ما تنقسم فئة الدوافع المجردة إلى ثلاث خطوات. فيما يلي وصف لحالة دوافع تشاو .تشاو⁡(ك){\displaystyle \operatorname {Chow} (k)}، حيث k هو أي حقل.

الخطوة الأولى: فئة التطابقات (من الدرجة 0)، Corr( k )

أهدافمراسل⁡(ك){\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}هي ببساطة أصناف إسقاطية ملساء على k . التشكلات هي تطابقات . وهي تعمم تشكلات الأصنافX→Y{\displaystyle X\to Y}والتي يمكن ربطها برسوماتها البيانية فيX×Y{\displaystyle X\times Y}، إلى دورات تشاو ذات الأبعاد الثابتةX×Y{\displaystyle X\times Y}.

سيكون من المفيد وصف التطابقات ذات الدرجة التعسفية، على الرغم من أن التشكلات فيمراسل⁡(ك){\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}هي تناظرات من الدرجة 0. بالتفصيل، لنفترض أن X و Y عبارة عن أصناف إسقاطية ملساء، ولنعتبر تفكيك X إلى مكونات متصلة:

X=∐أناXأنا،دأنا:=خافت⁡Xأنا.{\displaystyle X=\coprod _{i}X_{i},\qquad d_{i}:=\dim X_{i}.}

لور∈Z{\displaystyle r\in \mathbb {Z} }إذن، تكون التطابقات من الدرجة r من X إلى Y هي

مراسلر⁡(ك)(X،Y):=⨁أناأدأنا+ر(Xأنا×Y)،{\displaystyle \operatorname {Corr} ^{r}(k)(X,Y):=\bigoplus _{i}A^{d_{i}+r}(X_{i}\times Y),}

أينأك(X){\displaystyle A^{k}(X)}يرمز إلى دورات تشاو ذات البعد المشترك k . غالبًا ما يُشار إلى التطابقات باستخدام رمز "⊢"، على سبيل المثال،α:X⊢Y{\displaystyle \alpha :X\vdash Y}لأيα∈مراسلر⁡(X،Y){\displaystyle \alpha \in \operatorname {Corr} ^{r}(X,Y)}وβ∈مراسلs⁡(Y،Z)،{\displaystyle \beta \in \operatorname {Corr} ^{s}(Y,Z),}يتم تحديد تركيبها بواسطة

β∘α:=πXZ*(πXY*(α)⋅πYZ*(β))∈مراسلر+s⁡(X،Z)،{\displaystyle \beta \circ \alpha :=\pi _{XZ*}\left(\pi _{XY}^{*}(\alpha )\cdot \pi _{YZ}^{*}(\beta )\right)\in \operatorname {Corr} ^{r+s}(X,Z),}

حيث تشير النقطة إلى المنتج في حلقة تشاو (أي التقاطع).

بالعودة إلى بناء الفئةمراسل⁡(ك)،{\displaystyle \operatorname {Corr} (k),}لاحظ أن تركيب التطابقات من الدرجة 0 هو من الدرجة 0. ومن ثم نُعرّف التشكلات لـمراسل⁡(ك){\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}أن تكون هذه المراسلات من الدرجة صفر.

الرابطة التالية هي دالة (هنا)Γو⊆X×Y{\displaystyle \Gamma _{f}\subseteq X\times Y}يشير إلى الرسم البياني لـو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}):

F:{SmProj⁡(ك)⟶مراسل⁡(ك)X⟼Xو⟼Γو{\displaystyle F:{\begin{cases}\operatorname {SmProj} (k)\longrightarrow \operatorname {Corr} (k)\\X\longmapsto X\\f\longmapsto \Gamma _{f}\end{cases}}}

تمامًا مثلSmProj⁡(ك)،{\displaystyle \operatorname {SmProj} (k),}الفئةمراسل⁡(ك){\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}تحتوي على مجاميع مباشرة ( X ⊕ Y  := X ∐ Y ) وحاصل ضرب موترات ( X ⊗ Y  := X × Y ). وهي فئة ما قبل الجمع . يُعرَّف مجموع التشكلات بواسطة

α+β:=(α،β)∈أ*(X×X)⊕أ*(Y×Y)↪أ*((X∐Y)×(X∐Y)).{\displaystyle \alpha +\beta :=(\alpha ,\beta )\in A^{*}(X\times X)\oplus A^{*}(Y\times Y)\hookrightarrow A^{*}\left(\left(X\coprod Y\right)\times \left(X\coprod Y\right)\right).}

الخطوة الثانية: فئة دوافع تشاو الفعالة البحتة، تشاو الفعال ( ك )

يتم الانتقال إلى الدوافع من خلال أخذ الغلاف شبه الأبلي لـمراسل⁡(ك){\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}:

تشاوفعال⁡(ك):=ينقسم⁡(مراسل⁡(ك)){\displaystyle \operatorname {Chow} ^{\operatorname {eff} }(k):=\operatorname {Split} (\operatorname {Corr} (k))}.

بمعنى آخر، فإن دوافع تشاو الفعالة هي أزواج من الأصناف الإسقاطية الملساء X والتطابقات المتطابقة α: X ⊢ X ، والتشاكلات من نوع معين من التطابق:

ب⁡(تشاوفعال⁡(ك)):={(X،α)|(α:X⊢X)∈مراسل⁡(ك) بحيث α∘α=α}.{\displaystyle \operatorname {Ob} \left(\operatorname {Chow} ^{\operatorname {eff} }(k)\right):=\{(X,\alpha )\mid (\alpha :X\vdash X)\in \operatorname {Corr} (k){\mbox{ such that }}\alpha \circ \alpha =\alpha \}.}
مور⁡((X،α)،(Y،β)):={و:X⊢Y|و∘α=و=β∘و}.{\displaystyle \operatorname {Mor} ((X,\alpha ),(Y,\beta )):=\{f:X\vdash Y|f\circ \alpha =f=\beta \circ f\}.}

التركيب هو التركيب المحدد أعلاه للمراسلات، ويتم تعريف التشكل المتطابق لـ ( X ، α ) على أنه α  : X ⊢ X.

الجمعية،

ح:{SmProj⁡(ك)⟶جحowهـوو⁡(ك)X⟼[X]:=(X،ΔX)و⟼[و]:=Γو⊂X×Y{\displaystyle h:{\begin{cases}\operatorname {SmProj} (k)&\longrightarrow \operatorname {Chow^{eff}} (k)\\X&\longmapsto [X]:=(X,\Delta _{X})\\f&\longmapsto [f]:=\Gamma _{f}\subset X\times Y\end{cases}}}،

حيث يرمز Δ X  := [ id X ] إلى قطر X × X ، وهو دالة. يُطلق على الدافع [ X ] غالبًا اسم الدافع المرتبط بالتنوع X.

كما هو مُراد، فإن Chow eff ( k ) هي فئة شبه تبديلية . يُعطى المجموع المباشر للدوافع الفعّالة بواسطة

([X]،α)⊕([Y]،β):=([X∐Y]،α+β)،{\displaystyle ([X],\alpha )\oplus ([Y],\beta ):=\left(\left[X\coprod Y\right],\alpha +\beta \right),}

يُعرَّف حاصل الضرب الموتري للدوافع الفعالة بواسطة

([X]،α)⊗([Y]،β):=(X×Y،πX*α⋅πY*β)،{\displaystyle ([X],\alpha )\otimes ([Y],\beta ):=(X\times Y,\pi _{X}^{*}\alpha \cdot \pi _{Y}^{*}\beta ),}

أين

πX:(X×Y)×(X×Y)→X×X،وπY:(X×Y)×(X×Y)→Y×Y.{\displaystyle \pi _{X}:(X\times Y)\times (X\times Y)\to X\times X,\quad {\text{and}}\quad \pi _{Y}:(X\times Y)\times (X\times Y)\to Y\times Y.}

يمكن أيضًا تعريف حاصل الضرب الموتري للتشاكلات. ليكن f₁ : ( X₁ , α₁ ) → ( Y₁ , β₁ ) و f₂ : ( X₂ , α₂ ) → ( Y₂ , β₂ ) تشاكلين للدوافع . ثم ليكن γ₁ ∈ A * ( X₁ × Y₁ ) و γ₂ ∈ A * ( X₂ × Y₂ ) ممثلين لـ f₁ و f₂ .  

و1⊗و2:(X1،α1)⊗(X2،α2)⊢(Y1،β1)⊗(Y2،β2)،و1⊗و2:=π1*γ1⋅π2*γ2{\displaystyle f_{1}\otimes f_{2}:(X_{1},\alpha _{1})\otimes (X_{2},\alpha _{2})\vdash (Y_{1},\beta _{1})\otimes (Y_{2},\beta _{2}),\qquad f_{1}\otimes f_{2}:=\pi _{1}^{*}\gamma _{1}\cdot \pi _{2}^{*}\gamma _{2}}،

حيث π i  : X 1 × X 2 × Y 1 × Y 2 → X i × Y i هي الإسقاطات.

الخطوة الثالثة: فئة دوافع تشاو النقية، تشاو( ك )

للانتقال إلى الدوافع، نُلحق بـ Chow eff ( k ) معكوسًا رسميًا (بالنسبة إلى حاصل الضرب الموتري) لدافع يُسمى دافع ليفشيتز . والنتيجة هي أن الدوافع تُصبح ثلاثيات بدلًا من أزواج. دافع ليفشيتز L هو

ل:=(P1،λ)،λ:=صت×P1∈أ1(P1×P1){\displaystyle L:=(\mathbb {P} ^{1},\lambda ),\qquad \lambda :=pt\times \mathbb {P} ^{1}\in A^{1}(\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1})} .

إذا عرّفنا الدافع 1 ، المسمى دافع تيت التافه ، على النحو التالي : 1  := h(Spec( k ))، فإن المعادلة الأنيقة

[P1]=1⊕ل{\displaystyle [\mathbb {P} ^{1}]=\mathbf {1} \oplus L}

يحتفظ، منذ

1≅(P1،P1×نقطة).{\displaystyle \mathbf {1} \cong \left(\mathbb {P} ^{1},\mathbb {P} ^{1}\times \operatorname {pt} \right).}

يُعرف معكوس الموتر لدافع ليفشيتز باسم دافع تيت ، حيث T  := L −1 . ثم نُعرّف فئة دوافع تشاو النقية كما يلي:

تشاو⁡(ك):=تشاوفعال⁡(ك)[تي]{\displaystyle \operatorname {Chow} (k):=\operatorname {Chow} ^{\operatorname {eff} }(k)[T]}.

إذن، الدافع هو ثلاثي

(X∈SmProj⁡(ك)،ص:X⊢X،ن∈Z){\displaystyle (X\in \operatorname {SmProj} (k),p:X\vdash X,n\in \mathbb {Z} )}

بحيث تُعطى التشكلات بواسطة التطابقات

و:(X،ص،م)→(Y،q،ن)،و∈مراسلن-م⁡(X،Y) بحيث و∘ص=و=q∘و،{\displaystyle f:(X,p,m)\to (Y,q,n),\quad f\in \operatorname {Corr} ^{n-m}(X,Y){\mbox{ such that }}f\circ p=f=q\circ f,}

وتكوين التشكلات يأتي من تكوين التطابقات.

كما هو مُخطط له،تشاو⁡(ك){\displaystyle \operatorname {Chow} (k)}هي فئة شبه أبيلية جامدة .

أنواع أخرى من الدوافع

لتعريف حاصل ضرب التقاطع، يجب أن تكون الدورات "قابلة للتحريك" حتى نتمكن من تقاطعها في وضع عام . يضمن اختيار علاقة تكافؤ مناسبة على الدورات أن لكل زوج من الدورات زوجًا مكافئًا في وضع عام يمكننا تقاطعه. تُعرَّف مجموعات تشاو باستخدام التكافؤ العقلاني، ولكن توجد مكافئات أخرى ممكنة، وكل منها يُعرّف نوعًا مختلفًا من الدافع. أمثلة على المكافئات، من الأقوى إلى الأضعف، هي

  • التكافؤ العقلاني
  • التكافؤ الجبري
  • تكافؤ التحطيم والعدمية (يسمى أحيانًا تكافؤ فويفودسكي)
  • التكافؤ المتماثل (بمعنى علم التماثل في نظرية ويل)
  • التكافؤ العددي

تُطلق الأدبيات أحيانًا على كل نوع من أنواع الدافع الخالص اسم دافع تشاو، وفي هذه الحالة يُطلق على الدافع فيما يتعلق بالتكافؤ الجبري اسم دافع تشاو modulo التكافؤ الجبري .

دوافع مختلطة

بالنسبة لحقل أساسي ثابت k ، فإن فئة الدوافع المختلطة هي فئة موترية أبيلية تخمينيةمم(ك){\displaystyle MM(k)}بالإضافة إلى دالة متغايرة

متغير⁡(ك)→مم(ك){\displaystyle \operatorname {Var} (k)\to MM(k)}

أخذ القيم على جميع الأنواع (وليس فقط الأنواع الإسقاطية الملساء كما كان الحال مع الدوافع البحتة). ينبغي أن يكون هذا بحيث يتم تعريف التماثل التحفيزي بواسطة

خارجيمم*⁡(1،؟){\displaystyle \operatorname {Ext} _{MM}^{*}(1,?)}

يتطابق هذا مع ما تنبأت به نظرية K الجبرية، ويحتوي على فئة دوافع تشاو بمعنى مناسب (وخصائص أخرى). وقد افترض ألكسندر بيلينسون وجود مثل هذه الفئة .

بدلاً من إنشاء مثل هذه الفئة، اقترح ديلين أولاً إنشاء فئة DM ذات الخصائص المتوقعة للفئة المشتقة

دب(مم(ك)){\displaystyle D^{b}(MM(k))}.

ثم يتم استعادة MM من DM عن طريق بنية t- تحفيزية ( افتراضية ) .

الوضع الحالي للنظرية هو أن لدينا فئة مناسبة DM . هذه الفئة مفيدة بالفعل في التطبيقات. يستخدم فلاديمير فويفودسكي هذه الدوافع كعنصر أساسي في برهانه الحائز على ميدالية فيلدز لفرضية ميلنور .

توجد تعريفات مختلفة تعود إلى هانامورا وليفين وفويفودسكي. ومن المعروف أنها متكافئة في معظم الحالات، وسنقدم تعريف فويفودسكي أدناه. تحتوي هذه الفئة على دوافع تشاو كفئة فرعية كاملة، وتعطي علم التماثل التحفيزي "الصحيح". ومع ذلك، يُبين فويفودسكي أيضًا أنها (بمعاملات صحيحة) لا تقبل بنية تحفيزية من النوع t.

زخارف هندسية مختلطة

سنحدد حقلاً k ذا خاصيةصفر ودعأ=سؤال،Z{\displaystyle A=\mathbb {Q} ,\mathbb {Z} }لِتُكن حلقة معاملاتنا.

أنواع ناعمة ذات تطابقات

بفرض وجود مجموعة متنوعة ملساء X ومجموعة متنوعة Y ، نسميها مخططًا فرعيًا مغلقًا متكاملًا .دبليو⊂X×Y{\displaystyle W\subset X\times Y}وهي مجموعة منتهية على X وشاملة على أحد مكونات Y ، أي تناظر أولي من X إلى Y. بعد ذلك، يمكننا أخذ مجموعة التناظرات الأولية من X إلى Y وبناء وحدة A حرةجأ(X،Y){\displaystyle C_{A}(X,Y)}تُسمى عناصرها بالتطابقات المحدودة . عندئذٍ، يمكننا تكوين فئة جمعية.Sمجoر{\displaystyle {\mathcal {SmCor}}}موضوعاتها عبارة عن أصناف ملساء، وتُعطى التشكلات بواسطة تناظرات ملساء. الجزء الوحيد غير البديهي في هذا "التعريف" هو حاجتنا إلى وصف التركيبات. تُعطى هذه التركيبات بواسطة صيغة الدفع والسحب من نظرية حلقات تشاو.

تأتي الأمثلة النموذجية للتناظرات الأولية من الرسم البيانيΓو⊂X×Y{\displaystyle \Gamma _{f}\subset X\times Y}من تماثل الأصنافو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}.

تحديد موضع فئة التماثل

ومن هنا يمكننا تشكيل فئة التماثلكب(Sمجoر){\displaystyle K^{b}({\mathcal {SmCor}})}من المجمعات المحدودة ذات التطابقات الملساء. هنا سيتم الإشارة إلى الأصناف الملساء.[X]{\displaystyle [X]}إذا قمنا بتحديد نطاق هذه الفئة بالنسبة لأصغر فئة فرعية سميكة (أي أنها مغلقة تحت الامتدادات) تحتوي على التشكلات

[X×أ1]→[X]{\displaystyle [X\times \mathbb {A} ^{1}]\to [X]}

و

[يو∩V]→جيو′+جV′[يو]⊕[V]→جيو-جV[X]{\displaystyle [U\cap V]{\xrightarrow {j_{U}'+j_{V}'}}[U]\oplus [V]{\xrightarrow {j_{U}-j_{V}}}[X]}

عندها يمكننا تشكيل الفئة المثلثة للدوافع الهندسية الفعالةدمصباح الخيرفعال(ك،أ).{\displaystyle {\mathcal {DM}}_{\text{gm}}^{\text{eff}}(k,A).}لاحظ أن الفئة الأولى من التشكلات هي تشكلات موضعيةأ1{\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}-التماثلات بين الأنواع بينما سيعطي الثاني فئة الدوافع الهندسية المختلطة متتالية ماير-فيتوريس .

لاحظ أيضًا أن هذه الفئة لها بنية موترية تُعطى بضرب الأصناف، لذا[X]⊗[Y]=[X×Y]{\displaystyle [X]\otimes [Y]=[X\times Y]}.

عكس دافع تيت

باستخدام البنية المثلثية، يمكننا إنشاء مثلث.

ل→[P1]→[المواصفات⁡(ك)]→[+1]{\displaystyle \mathbb {L} \to [\mathbb {P} ^{1}]\to [\operatorname {Spec} (k)]{\xrightarrow {[+1]}}}

من الخريطة المتعارف عليهاP1→المواصفات⁡(ك){\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to \operatorname {Spec} (k)}سنحددأ(1)=ل[-2]{\displaystyle A(1)=\mathbb {L} [-2]}ونسميها دافع تيت . يتيح لنا أخذ حاصل الضرب الموتري التكراري بناءأ(ك){\displaystyle A(k)}إذا كان لدينا دافع هندسي فعال M، فإننا نضعم(ك){\displaystyle M(k)}دلم⊗أ(ك).{\displaystyle M\otimes A(k).}علاوة على ذلك، يتصرف هذا بشكل دالي ويشكل دالة مثلثة. وأخيرًا، يمكننا تعريف فئة الدوافع الهندسية المختلطة.دمزم{\displaystyle {\mathcal {DM}}_{gm}}باعتبارها فئة الأزواج(م،ن){\displaystyle (M,n)}بالنسبة لـ M، وهو دافع هندسي مختلط فعال، و n عدد صحيح يمثل الالتواء بواسطة دافع تيت. وتكون مجموعات التماثل هي النهاية المشتركة

هومدم⁡((أ،ن)،(ب،م))=ليمك≥-ن،-مهومدمزمفعال⁡(أ(ك+ن)،ب(ك+م)){\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {DM}}((A,n),(B,m))=\lim _{k\geq -n,-m}\operatorname {Hom} _{{\mathcal {DM}}_{gm}^{\operatorname {eff} }}(A(k+n),B(k+m))}

أمثلة على الدوافع

دوافع تيت

توجد عدة أمثلة أولية للدوافع يسهل الوصول إليها. أحدها دوافع تيت، المشار إليها بـسؤال(ن){\displaystyle \mathbb {Q} (n)}،Z(ن){\displaystyle \mathbb {Z} (n)}، أوأ(ن){\displaystyle A(n)}، وذلك تبعاً للمعاملات المستخدمة في بناء فئة الدوافع. وتُعد هذه المعاملات لبنات أساسية في فئة الدوافع لأنها تُشكل "الجزء الآخر" إلى جانب الأصناف الأبيلية .

دوافع المنحنيات

يمكن فهم دافع المنحنى بشكل واضح وبسهولة نسبية: حلقة تشاو الخاصة بهم هي مجردZ⊕صورة(ج){\displaystyle \mathbb {Z} \oplus {\text{Pic}}(C)}لأي منحنى إسقاطي سلسج{\displaystyle C}وبالتالي، فإن اليعقوبيين يندرجون ضمن فئة الدوافع.

شرح لغير المتخصصين

إحدى التقنيات الشائعة في الرياضيات هي دراسة الكائنات التي تحمل بنية معينة من خلال تعريف فئة تحافظ تشاكلاتها على هذه البنية. عندئذٍ ، يمكن التساؤل متى يكون كائنان متماثلين، والبحث عن ممثل "مثالي" في كل فئة تماثل . يُعدّ تصنيف الأصناف الجبرية، أي تطبيق هذه الفكرة عليها ، أمرًا بالغ الصعوبة نظرًا لبنيتها غير الخطية. وقد أدى التوسع في دراسة الأصناف حتى التماثل الثنائي النسبي إلى ظهور مجال الهندسة الثنائية النسبية . وثمة طريقة أخرى لمعالجة هذه المسألة، وهي إلحاق كائن ذي طبيعة خطية أكثر بصنف معين X ، أي كائن قابل لتقنيات الجبر الخطي ، كالفضاء المتجهي مثلاً . ويُعرف هذا "التبسيط الخطي" عادةً باسم علم التماثل .

توجد عدة نظريات مهمة في علم التماثل، تعكس جوانب بنيوية مختلفة للمتنوعات. تُعدّ نظرية الدوافع (التي تقوم جزئيًا على التخمين) محاولةً لإيجاد طريقة شاملة لخطية المتنوعات الجبرية، أي أن الدوافع يفترض أن توفر نظرية تماثل تُجسّد جميع هذه التماثلات الخاصة. على سبيل المثال، جنس منحنى إسقاطي أملس C ، وهو ثابت مهم لهذا المنحنى، هو عدد صحيح، يمكن استنتاجه من بُعد مجموعة بيتي الأولى للتماثل لـ C. لذا، ينبغي أن يحتوي دافع المنحنى على معلومات الجنس. بالطبع، الجنس ثابت تقريبي، لذا فإن دافع C يتجاوز هذا العدد.

البحث عن علم التماثل العالمي

لكل نوع جبري X دافع مقابل [ X ]، لذا فإن أبسط أمثلة للدوافع هي:

  • [نقطة]
  • [خط إسقاطي] = [نقطة] + [خط]
  • [المستوى الإسقاطي] = [المستوى] + [الخط] + [النقطة]

هذه "المعادلات" صحيحة في العديد من الحالات، وتحديداً بالنسبة لعلم التماثل دي رام وعلم التماثل بيتي ، وعلم التماثل l -adic ، وعدد النقاط على أي حقل منتهٍ ، وفي الترميز الضربي لدوال زيتا المحلية .

الفكرة العامة هي أن الدافع الواحد له نفس البنية في أي نظرية تماثل معقولة ذات خصائص شكلية جيدة؛ وعلى وجه الخصوص، فإن أي نظرية تماثل من نوع ويل ستتمتع بهذه الخصائص. توجد نظريات تماثل مختلفة من نوع ويل، وهي تُطبق في مواقف مختلفة ولها قيم في فئات مختلفة، وتعكس جوانب هيكلية مختلفة للتنوع المعني.

تشترك جميع نظريات التماثل هذه في خصائص مشتركة، مثل وجود متتاليات ماير-فيتوريس ، وثبات التماثل.ح*(X)≅ح*(X×أ1)،{\displaystyle H^{*}(X)\cong H^{*}(X\times \mathbb {A} ^{1}),}(حاصل ضرب X مع الخط الأفيني ) وغيرها. علاوة على ذلك، ترتبط هذه المفاهيم بتشاكلات المقارنة، على سبيل المثال علم التشاكل بيتي.حبيتي*(X،Z/ن){\displaystyle H_{\text{Betti}}^{*}(X,\mathbb {Z} /n)}من نوع ناعم X فوقج{\displaystyle \mathbb {C} }المعاملات المحدودة متماثلة مع علم التماثل l -adic ذي المعاملات المحدودة.

تُعدّ نظرية الدوافع محاولةً لإيجاد نظرية شاملة تُجسّد جميع هذه التماثلات الخاصة وبنياتها، وتُوفّر إطارًا لـ "معادلات" مثل

[خط إسقاطي] = [خط] + [نقطة].

على وجه الخصوص، فإن حساب الدافع لأي نوع X يعطي مباشرة جميع المعلومات حول العديد من نظريات ويل للتجانس H * Betti ( X )، H * DR ( X ) إلخ.

منذ عهد غروتينديك، حاول الناس لسنوات عديدة تحديد هذه النظرية بدقة.

التماثل التحفيزي

لقد تم ابتكار علم التماثل التحفيزي نفسه قبل ابتكار الدوافع المختلطة عن طريق نظرية K الجبرية . توفر الفئة المذكورة أعلاه طريقة أنيقة لإعادة تعريفه من خلال

حن(X،م):=حن(X،Z(م)):=هومدم⁡(X،Z(م)[ن])،{\displaystyle H^{n}(X,m):=H^{n}(X,\mathbb {Z} (m)):=\operatorname {Hom} _{DM}(X,\mathbb {Z} (m)[n]),}

حيث n و m عددان صحيحان وZ(م){\displaystyle \mathbb {Z} (m)}يمثل القوة الموترية رقم m لكائن تيتZ(1)،{\displaystyle \mathbb {Z} (1),}وهو ما يمثل في سياق فويفودسكي المركبP1→نقطة{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to \operatorname {pt} }تم إزاحتها بمقدار -2، و [n] تعني الإزاحة المعتادة في الفئة المثلثة.

صِيغت الفرضيات القياسية لأول مرة من حيث التفاعل بين الدورات الجبرية ونظريات ويل في علم التماثل. وتوفر فئة الدوافع الخالصة إطارًا تصنيفيًا لهذه الفرضيات.

تُعتبر الفرضيات القياسية عمومًا صعبة للغاية ومفتوحة في الحالة العامة. وقد أظهر غروتينديك، بالتعاون مع بومبيري، عمق المنهج التحفيزي من خلال تقديم برهان شرطي (قصير وأنيق للغاية) لفرضيات ويل (التي أثبتها ديلين بوسائل مختلفة )، بافتراض صحة الفرضيات القياسية.

على سبيل المثال، تنص فرضية كونيث القياسية ، التي تنص على وجود دورات جبرية π i ⊂ X × X تحث على المساقط القانونية H * ( X ) → H i ( X ) ↣ H * ( X ) (لأي تماثل ويل H )، على أن كل دافع خالص M يتحلل إلى أجزاء متدرجة الوزن n : M = ⨁ Gr n M. يأتي مصطلح الأوزان من تحلل مماثل، على سبيل المثال، لتماثل دي رام للأصناف الإسقاطية الملساء، انظر نظرية هودج .

تنص الفرضية د ، التي تُبين توافق التكافؤ العددي والتكافؤ الهومولوجي ، على تكافؤ الدوافع الخالصة فيما يتعلق بالتكافؤ الهومولوجي والتكافؤ العددي. (وبالتحديد، فإن فئة الدوافع الأولى لا تعتمد على اختيار نظرية التماثل لـ ويل ). وقد أثبت جانسن (1992) النتيجة غير المشروطة التالية: فئة الدوافع (الخالصة) على حقل ما تكون تبديلية وشبه بسيطة إذا وفقط إذا كانت علاقة التكافؤ المختارة هي تكافؤ عددي.

يمكن إعادة صياغة حدسية هودج بشكل أنيق باستخدام الدوافع: فهي صحيحة إذا وفقط إذا كان تمثيل هودج الذي يربط أي دافع خالص بمعاملات نسبية (على حقل فرعي) صحيحًاك{\displaystyle k}لج{\displaystyle \mathbb {C} }) إلى بنيتها الهودجية هي دالة كاملةح:م(ك)سؤال→حSسؤال{\displaystyle H:M(k)_{\mathbb {Q} }\to HS_{\mathbb {Q} }}( بنى هودج العقلانية ). هنا، تعني الدوافع النقية الدوافع النقية فيما يتعلق بالتكافؤ الهومولوجي.

وبالمثل، فإن حدسية تيت مكافئة لما يلي: ما يسمى بتحقيق تيت، أي علم التماثل ℓ-adic، هو دالة كاملةح:م(ك)سؤالℓ→مندوبℓ⁡(غال⁡(ك)){\displaystyle H:M(k)_{\mathbb {Q} _{\ell }}\to \operatorname {Rep} _{\ell }(\operatorname {Gal} (k))}(الدوافع النقية حتى التكافؤ الهومولوجي، والتمثيلات المستمرة لمجموعة غالوا المطلقة للحقل الأساسي k )، والتي تأخذ قيمًا في التمثيلات شبه البسيطة. (الجزء الأخير تلقائي في حالة نظير هودج).

الشكلية التاناكية ومجموعة غالوا الموتيفية

لتحفيز زمرة غالوا التحفيزية (الافتراضية)، حدد حقلاً k وانظر إلى الدالة

امتدادات K المنفصلة المحدودة لـ k → مجموعات محدودة غير فارغة ذات تأثير متعدٍ (مستمر) لمجموعة غالوا المطلقة لـ k

الذي يُسقط K على المجموعة (المنتهية) من تضمينات K في إغلاق جبري لـ k . في نظرية غالوا، يُثبت أن هذا المؤثر هو تكافؤ بين الفئات . لاحظ أن الحقول ذات بُعد صفري. تُسمى الدوافع من هذا النوع دوافع آرتين .سؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }- بتبسيط الأشياء المذكورة أعلاه، يمكن التعبير عن ذلك بطريقة أخرى وهي القول بأن دوافع آرتين مكافئة للدوافع المحدودةسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }فضاءات متجهة مع تأثير مجموعة غالوا.

يهدف زمرة غالوا التحفيزية إلى توسيع التكافؤ المذكور أعلاه ليشمل أصنافًا ذات أبعاد أعلى. ولتحقيق ذلك، تُستخدم الأدوات التقنية لنظرية فئات تاناكا (التي تعود إلى ثنائية تاناكا-كراين ، ولكنها نظرية جبرية بحتة). والغرض منها هو تسليط الضوء على كل من حدسية هودج وحدسية تيت ، وهما المسألتان البارزتان في نظرية الدورات الجبرية . لنثبت نظرية تماثل ويل H. تُعطي هذه النظرية دالة من M num (الدوافع البحتة باستخدام التكافؤ العددي) إلى أبعاد منتهية.سؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }فضاءات متجهة. يمكن إثبات أن الفئة الأولى هي فئة تاناكية. بافتراض تكافؤ التماثل والتكافؤ العددي، أي التخمين القياسي D المذكور أعلاه ، فإن الدالة H هي دالة موترية دقيقة وصادقة. بتطبيق الصيغة التاناكية، نستنتج أن M num مكافئة لفئة تمثيلات المجموعة الجبرية G ، المعروفة باسم مجموعة غالوا التحفيزية.

تُعدّ زمرة غالوا التحفيزية في نظرية الدوافع بمثابة زمرة مامفورد-تيت في نظرية هودج . وبصورة عامة، تُعتبر حدسيات هودج وتيت نوعين من نظرية الثبات (حيث تُحدد الفضاءات التي تُمثل الدورات الجبرية، من حيث المبدأ، بواسطة الثبات تحت تأثير زمرة ما، إذا ما وُضعت التعريفات الصحيحة). وتحيط بزمرة غالوا التحفيزية نظرية التمثيل. (مع أنها ليست زمرة غالوا بحد ذاتها ؛ إلا أنها، من منظور حدسية تيت وتمثيلات غالوا على علم التماثل الإيتالي ، تتنبأ بصورة زمرة غالوا، أو بتعبير أدق، بجبر لي الخاص بها ).

انظر أيضاً

مراجع

مقالات استطلاعية

الكتب

المراجع العلمية

التوجهات المستقبلية

  • اقتباسات متعلقة بالدافع (الهندسة الجبرية) على موقع ويكي الاقتباسات