الدورة الجبرية

في الرياضيات ، تُعرَّف الدورة الجبرية على صنف جبري V بأنها توليفة خطية رسمية من أصناف فرعية من V. وهي تمثل الجزء من الطوبولوجيا الجبرية لـ V الذي يمكن الوصول إليه مباشرةً باستخدام الطرق الجبرية. إن فهم الدورات الجبرية على صنف ما يُتيح فهمًا عميقًا لبنية هذا الصنف.

أبسط الحالات هي الدورات ذات البعد المشترك الصفري، وهي عبارة عن تراكيب خطية للمكونات غير القابلة للاختزال للمتنوعة. أما الحالة الأولى غير البسيطة فهي المتنوعات الفرعية ذات البعد المشترك الواحد، والتي تُسمى القواسم . ركزت الدراسات الأولى حول الدورات الجبرية على حالة القواسم، وخاصة القواسم على المنحنيات الجبرية. القواسم على المنحنيات الجبرية هي تراكيب خطية شكلية لنقاط على المنحنى. ربطت الدراسات الكلاسيكية حول المنحنيات الجبرية هذه القواسم ببيانات جوهرية، مثل التفاضلات المنتظمة على سطح ريمان مضغوط ، وبخصائص خارجية، مثل تضمين المنحنى في الفضاء الإسقاطي .

بينما تستمر القواسم في المتنوعات ذات الأبعاد الأعلى في لعب دور مهم في تحديد بنية المتنوع، توجد أيضًا دورات ذات أبعاد مشتركة أعلى يجب أخذها في الاعتبار في المتنوعات ذات البعدين أو أكثر. يختلف سلوك هذه الدورات اختلافًا ملحوظًا عن سلوك القواسم. على سبيل المثال، لكل منحنى ثابت N بحيث يكون كل قاسم من الدرجة صفر مكافئًا خطيًا لفرق قاسمين فعالين من الدرجة N على الأكثر . أثبت ديفيد مومفورد أنه على سطح جبري عقدي كامل أملس S ذي جنس هندسي موجب ، فإن العبارة المماثلة للمجموعة${\displaystyle \operatorname {CH} ^{2}(S)}$إن فرضية أن فئات التكافؤ العقلاني ذات البعد المشترك لدورات من الدرجة الثانية في S خاطئة. ^{[ 1 ]} إن فرضية أن الجنس الهندسي موجب تعني أساسًا (بحسب نظرية ليفشيتز على فئات (1,1) ) أن مجموعة التماثل${\displaystyle H^{2}(S)}$يحتوي على معلومات متعالية، وفي الواقع تشير نظرية مومفورد إلى أنه على الرغم من${\displaystyle \operatorname {CH} ^{2}(S)}$وباعتبارها تعريفًا جبريًا بحتًا، فإنها تشترك في معلومات متعالية مع${\displaystyle H^{2}(S)}$. وقد تم تعميم نظرية مومفورد بشكل كبير منذ ذلك الحين. ^{[ 2 ]}

يُعدّ سلوك الدورات الجبرية من أهم المسائل المفتوحة في الرياضيات الحديثة. تتنبأ حدسية هودج ، إحدى مسائل جائزة الألفية لمعهد كلاي للرياضيات ، بأن طوبولوجيا التنوع الجبري المعقد تفرض وجود دورات جبرية معينة. وتقدم حدسية تيت تنبؤًا مشابهًا لعلم التماثل الإيتالي . تُنتج حدسيات ألكسندر غروتينديك القياسية حول الدورات الجبرية عددًا كافيًا من الدورات لبناء فئة دوافعه ، مما يعني أن الدورات الجبرية تلعب دورًا حيويًا في أي نظرية تماثل للتنوعات الجبرية. في المقابل، أثبت ألكسندر بيلينسون أن وجود فئة من الدوافع يستلزم صحة الحدسيات القياسية. إضافةً إلى ذلك، ترتبط الدورات بنظرية K الجبرية من خلال صيغة بلوخ، التي تُعبّر عن مجموعات الدورات بتردد التكافؤ العقلاني كتماثل لحزم نظرية K.

ليكن X مخططًا من النوع المحدود على حقل k . الدورة الجبرية r على X هي تركيبة خطية رسمية

${\displaystyle \sum n_{i}[V_{i}]}$

من المخططات الفرعية التكاملية المغلقة ذات البعد r من النوع k من _X. المعامل nᵢ هو تعدد Viᵢ . مجموعة جميع _{الدورات} ذات البعد r هي المجموعة الأبيلية الحرة

${\displaystyle Z_{r}X=\bigoplus _{V\subseteq X}\mathbf {Z} \cdot [V],}$

حيث يكون المجموع على المخططات الفرعية التكاملية المغلقة V من X. تشكل مجموعات الدورات لقيم r المتغيرة معًا مجموعة

${\displaystyle Z_{*}X=\bigoplus _{r}Z_{r}X.}$

تُسمى هذه المجموعة مجموعة الدورات الجبرية ، ويُطلق على أي عنصر فيها اسم دورة جبرية . وتكون الدورة فعّالة أو موجبة إذا كانت جميع معاملاتها غير سالبة.

تتطابق المخططات الفرعية التكاملية المغلقة لـ X تطابقًا تامًا مع النقاط النظرية للمخططات لـ X تحت تأثير الدالة التي، في اتجاه واحد، تأخذ كل مخطط فرعي إلى نقطته العامة ، وفي الاتجاه الآخر، تأخذ كل نقطة إلى المخطط الفرعي المختزل الوحيد المدعوم على إغلاق النقطة. وبالتالي،${\displaystyle Z_{*}X}$ويمكن وصفها أيضًا بأنها المجموعة الأبيلية الحرة على نقاط X.

دورة${\displaystyle \alpha }$يكافئ منطقياً الصفر ، ويكتب${\displaystyle \alpha \sim 0}$، إذا كان هناك عدد محدود من${\displaystyle (r+1)}$- أنواع فرعية متعددة الأبعاد${\displaystyle W_{i}}$ل${\displaystyle X}$والدوال الكسرية غير الصفرية${\displaystyle r_{i}\in k(W_{i})^{\times }}$بحيث${\displaystyle \alpha =\sum [\operatorname {div} _{W_{i}}(r_{i})]}$، أين${\displaystyle \operatorname {div} _{W_{i}}}$يرمز إلى قاسم دالة كسرية على W _i . الدورات المكافئة كسريًا للصفر هي زمرة جزئية${\displaystyle Z_{r}(X)_{\text{rat}}\subseteq Z_{r}(X)}$ومجموعة دورات r بتردد التكافؤ العقلاني هي خارج القسمة

${\displaystyle A_{r}(X)=Z_{r}(X)/Z_{r}(X)_{\text{rat}}.}$

يُشار إلى هذه المجموعة أيضًا بـ${\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X)}$عناصر المجموعة

${\displaystyle A_{*}(X)=\bigoplus _{r}A_{r}(X)}$

تُسمى هذه الفئات فئات الدورة على X. ويُقال إن فئات الدورة فعالة أو إيجابية إذا كان من الممكن تمثيلها بدورة فعالة.

إذا كانت X مجموعة ملساء، إسقاطية، وذات بُعد N خالص ، فإن المجموعات المذكورة أعلاه يُعاد فهرستها أحيانًا بشكل تماثلي كما يلي:

${\displaystyle Z^{Nr}X=Z_{r}X}$

و

${\displaystyle A^{Nr}X=A_{r}X.}$

في هذه الحالة،${\displaystyle A^{*}X}$يُطلق عليها اسم حلقة تشاو لـ X لأنها تحتوي على عملية ضرب معطاة بواسطة حاصل الضرب التقاطعي .

توجد عدة صيغ للتعريف أعلاه. يمكننا استبدال حلقة أخرى للأعداد الصحيحة كحلقة معاملات. حالة المعاملات النسبية شائعة الاستخدام. يتطلب التعامل مع عائلات الدورات على أساس معين، أو استخدام الدورات في العمليات الحسابية، إعدادًا نسبيًا. ليكن${\displaystyle \phi \colon X\to S}$حيث S مخطط نوثري منتظم . الدورة r هي مجموع شكلي لمخططات فرعية تكاملية مغلقة من X يكون بُعدها النسبي r ؛ هنا البُعد النسبي لـ${\displaystyle Y\subseteq X}$هي درجة التجاوز لـ${\displaystyle k(Y)}$زيادة${\displaystyle k({\overline {\phi (Y)}})}$ناقص البعد المشترك لـ${\displaystyle {\overline {\phi (Y)}}}$في جنوب .

يمكن استبدال التكافؤ العقلاني بعدة علاقات تكافؤ أخرى أقل دقة على الدورات الجبرية . تشمل علاقات التكافؤ الأخرى ذات الأهمية التكافؤ الجبري ، والتكافؤ الهومولوجي لنظرية تماثل ثابتة (مثل التماثل المفرد أو التماثل الإيتالي)، والتكافؤ العددي ، بالإضافة إلى جميع ما سبق بشرط الالتواء. لهذه العلاقات تطبيقات (جزئيًا افتراضية) في نظرية الدوافع .

توجد خاصية تباين مشترك وخاصية تباين عكسي لمجموعة الدورات الجبرية. ليكن f  : X → X ' تطبيقًا على المتنوعات.

إذا كانت f مسطحة ذات بُعد نسبي ثابت (أي أن جميع الألياف لها نفس البُعد)، فيمكننا تعريف أي مجموعة فرعية Y '  ⊂ X ' : 

${\displaystyle f^{*}([Y'])=[f^{-1}(Y')]\,\!}$

والتي، بافتراض أن لها نفس البعد المشترك مثل Y ′ .

وعلى العكس من ذلك، إذا كانت f دالة مناسبة ، فإن الدفع الأمامي لـ Y ، وهي مجموعة فرعية من X، يُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle f_{*}([Y])=n[f(Y)]\,\!}$

حيث n هي درجة امتداد حقول الدوال [ k ( Y )  : k ( f ( Y ))] إذا كان تقييد f على Y محدودًا و 0 خلاف ذلك.

وبفضل الخطية، تمتد هذه التعريفات لتشمل تشاكلات المجموعات الأبيلية

${\displaystyle f^{*}\colon Z^{k}(X')\to Z^{k}(X)\quad {\text{and}}\quad f_{*}\colon Z_{k}(X)\to Z_{k}(X')\,\!}$

(والأخيرة بحكم الاتفاقية) هي تشاكلات للمجموعات الأبيلية. انظر حلقة تشاو لمناقشة الخاصية الوظيفية المتعلقة ببنية الحلقة.

• القاسم (الهندسة الجبرية)
• الدورة النسبية

• فولتون، ويليام (1998)، نظرية التقاطع ، دراسة الرياضيات والأبحاث العلمية . السلسلة الثالثة. سلسلة من المسوحات الحديثة في الرياضيات، المجلد.  2, برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-98549-7MR 1644323​ 
• غوردون، ب. برنت؛ لويس، جيمس د.؛ مولر-ستاش، ستيفان؛ سايتو، شوجي؛ يوي، نوريكو، محرران (2000)، الحساب والهندسة للدورات الجبرية: وقائع المدرسة الصيفية لمركز الرياضيات والفيزياء، 7-19 يونيو 1998، بانف، ألبرتا، كندا ، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية، ISBN 978-0-8218-1954-8