التخمينات القياسية حول الدورات الجبرية

في الرياضيات ، تُعدّ الفرضيات القياسية حول الدورات الجبرية عدة فرضيات تصف العلاقة بين الدورات الجبرية ونظريات ويل في علم التماثل . كان أحد التطبيقات الأصلية لهذه الفرضيات، التي وضعها ألكسندر غروتينديك ، إثبات أن بناءه للدوافع البحتة يُنتج فئة تبديلية شبه بسيطة . علاوة على ذلك، وكما أشار، فإن الفرضيات القياسية تستلزم أيضًا الجزء الأصعب من فرضيات ويل ، ألا وهو فرضية ريمان لويل (أي نظير لفرضية ريمان المعروفة في الحقول المنتهية )، والتي ظلت مفتوحة في نهاية الستينيات، وأثبتها لاحقًا بيير ديلين . لمزيد من التفاصيل حول العلاقة بين فرضيات ويل والفرضيات القياسية، انظر كلايمان (1968) . تبقى الفرضيات القياسية مسائل مفتوحة، لذا فإن تطبيقها لا يُعطي سوى براهين مشروطة للنتائج. في عدد لا بأس به من الحالات، بما في ذلك حالة تخمينات ويل، تم العثور على طرق أخرى لإثبات هذه النتائج بشكل غير مشروط.

تتضمن الصيغ الكلاسيكية للتخمينات القياسية نظرية تماثل ثابتة لفايل H. وتتعامل جميع التخمينات مع فئات التماثل "الجبرية"، أي التشكل على تماثل صنف إسقاطي أملس.

H ^∗ ( X ) → H ^∗ ( X )

يتم تحفيزها بواسطة دورة جبرية ذات معاملات نسبية على المنتج X × X عبر خريطة فئة الدورة ، والتي تعد جزءًا من بنية نظرية ويل للتجانس.

التخمين أ يعادل التخمين ب (انظر غروتينديك (1969) ، ص  196)، وبالتالي لم يتم إدراجه.

تختلف الحالات تمامًا في حقل الأعداد المركبة عنها في الحقول المنتهية. ففرضية هودج القياسية صحيحة في حقل الأعداد المركبة، لكنها غير معروفة إلى حد كبير في الحقول المنتهية. من جهة أخرى، فإن الفرضية القياسية C معروفة في الحقول المنتهية، لكنها غير معروفة إلى حد كبير في حقل الأعداد المركبة.

إحدى بديهيات نظرية ويل هي ما يسمى بنظرية ليفشيتز الصعبة (أو البديهية):

ابدأ بمقطع مستوي فائق ثابت أملس

W = H ∩ X ,

حيث X عبارة عن تنوع إسقاطي أملس معطى في الفضاء الإسقاطي المحيط P ^N و H عبارة عن مستوى فائق. عندئذٍ، بالنسبة لـ i ≤ n = dim( X ) ، يكون مؤثر ليفشيتز

L  : H ⁱ ( X ) → H ^{i +2} ( X ) ,

والذي يُعرَّف بتقاطع فئات التماثل مع W ، يُعطي تماثلاً

L ^{n − i}  : H ⁱ ( X ) → H ^{2 n − i} ( X ) .

الآن، بالنسبة لـ i ≤ n، عرّف ما يلي:

Λ = ( L ^{n − i +2} ) ⁻¹ ∘ L ∘ ( L ^{n − i} )  : H ⁱ ( X ) → H ^{i −2} ( X )

Λ = ( L ^{n − i} ) ∘ L ∘ ( L ^{n − i +2} ) ⁻¹  : H ^{2 n − i +2} ( X ) → H ^{2 n − i} ( X )

تنص الفرضية على أن عامل ليفشيتز ( Λ ) يتم استحثاثه بواسطة دورة جبرية.

يُعتقد أن أجهزة العرض

H ^∗ ( X ) ↠ Hi ⁽ X ) ↣ H ^∗ ( X )

هي جبرية، أي مستحثة بواسطة دورة π ⁱ ⊂ X × X بمعاملات نسبية. وهذا يعني أن الدافع لأي تنوع إسقاطي أملس (وبشكل أعم، كل دافع خالص ) يتحلل إلى

${\displaystyle h(X)=\bigoplus _{i=0}^{2dim(X)}h^{i}(X).}$

الدوافع${\displaystyle h^{0}(X)}$و${\displaystyle h^{2dim(X)}}$يمكن دائمًا فصلها كمجموعات مباشرة. وبالتالي، فإن الفرضية صحيحة مباشرةً بالنسبة للمنحنيات. وقد أثبتها مور (1990) بالنسبة للأسطح . واستخدم كاتز وميسينغ (1974) فرضيات ويل لإثبات صحة الفرضية بالنسبة للأصناف الجبرية المعرفة على الحقول المنتهية، في أي بُعد.

أثبت شيرمنيف (1974) تحليل كونيث للأصناف الأبيلية A. وقد حسّن دينينجر ومور (1991) هذه النتيجة من خلال عرض تحليل كونيث دالي لدافع تشاو لـ A بحيث يعمل الضرب من الرتبة n على الصنف الأبيلي كـ${\displaystyle n^{i}}$في العدد i${\displaystyle h^{i}(A)}$. أثبت دي كاتالدو وميغليوريني (2002) تحليل كونيث لمخطط هيلبرت للنقاط في سطح أملس.

تنص الفرضية د على توافق التكافؤ العددي والتكافؤ الهومولوجي . (وهي تعني تحديدًا أن التكافؤ الهومولوجي لا يعتمد على اختيار نظرية ويل للتجانس). وتستلزم هذه الفرضية فرضية ليفشيتز. إذا صحت فرضية هودج القياسية، فإن فرضية ليفشيتز والفرضية د متكافئتان.

في مجال الأعداد المركبة، تم إثبات هذه الفرضية بواسطة ليبرمان للأصناف ذات البعد 4 على الأكثر، وللأصناف الأبيلية . ^{[ 1 ]}

في الحقول المنتهية، أثبت كلوزيل هذه الفرضية للأصناف الأبيلية ذات التماثل الإيتالي-ل-أدي، وذلك لمجموعة لانهائية من الأعداد الأولية l (والتي يمكن صياغتها بدلالة نظرية كثافة سيبوتاريف). وتتمثل إحدى الأفكار المحورية في برهان كلوزيل في محاولة الاختزال إلى إطار مشابه لما هو عليه الحال بالنسبة للأصناف الأبيلية على حقل الأعداد المركبة: بناء "تحليل هودج" للتماثل، باستخدام نوع حقل CM لمجموعة التشكلات الداخلية.

تستند فرضية هودج القياسية إلى نظرية مؤشر هودج . وتنص على تحديد (إيجابية أو سلبية، وفقًا للبعد) اقتران حاصل الضرب الكأسي على فئات التماثل الجبري الأولي. إذا تحققت هذه الفرضية، فإن فرضية ليفشيتز تستلزم الفرضية د. في الخاصية الصفرية، تتحقق فرضية هودج القياسية، كونها نتيجة لنظرية هودج . في الخاصية الموجبة، تُعرف فرضية هودج القياسية للأسطح ( غروتينديك (1958) ) وللأصناف الأبيلية ذات البعد 4 ( أنكونا (2020) ).

لا ينبغي الخلط بين حدسية هودج القياسية وحدسية هودج التي تنص على أنه بالنسبة للأصناف الإسقاطية الملساء على C ، فإن كل فئة عقلانية ( p , p ) هي فئة جبرية. تستلزم حدسية هودج حدسيتي ليفشيتز وكونيث والحدسية D للأصناف على الحقول ذات الخاصية الصفرية. تستلزم حدسية تيت حدسيتي ليفشيتز وكونيث والحدسية D للتجانس ℓ-adic على جميع الحقول.

بالنسبة لمتنوعتين جبريتين X و Y ، قدم أرابورا (2006) شرطًا مفاده أن Y مُحفَّز بواسطة X. ويتمثل هذا الشرط تحديدًا في أن يكون دافع Y (في فئة دوافع أندريه) قابلاً للتعبير عنه انطلاقًا من دافع X باستخدام المجاميع، والحدود، والضرب. على سبيل المثال، يكون Y مُحفَّزًا إذا وُجد تشاكل شامل.${\displaystyle X^{n}\to Y}$[ ^{٢ ]} إذا لم يُعثر على Y في الفئة، فإنه يكون غير مُبرَّر في ذلك السياق. بالنسبة للأصناف الجبرية الإسقاطية المركبة الملساء X و Y ، بحيث يكون Y مُبرَّرًا بواسطة X ، ^فإن التخمينات القياسية D (التكافؤ الهومولوجي يساوي العددي)، وB (ليفشيتز)، وتخمين هودج ، وكذلك تخمين هودج المُعمَّم، تنطبق على ^{Y إذا كانت تنطبق على جميع قوى X. [٣]} يمكن تطبيق هذه الحقيقة ^{لإثبات ،} على سبيل المثال، تخمين ليفشيتز لمخطط هيلبرت للنقاط على سطح جبري .

أظهر بيلينسون (2012) أن الوجود (التخميني) لما يسمى بالبنية التحفيزية على الفئة المثلثة للدوافع يستلزم التخمينات القياسية B و C لليفشيتز وكونيث.

• أنكونا، جوزيبي (2020)، "تخمينات قياسية للأبعاد الرباعية الأبيلية"، Invent. Math. ، 223 : 149-212 ، arXiv : 1806.03216 ، doi : 10.1007/s00222-020-00990-7 ، S2CID 119579196 

• أرابورا، دون (2006)، "دوافع دورات هودج"، التقدم في الرياضيات ، 207 (2): 762-781 ، arXiv : math/0501348 ، doi : 10.1016/j.aim.2006.01.005 ، MR 2271985 ، S2CID 13897239  

• بيلينسون، أ. (2012)، "ملاحظات حول تخمينات غروتينديك القياسية"، مجلة المنظمين ، الرياضيات المعاصرة، المجلد  571، الجمعية الأمريكية للرياضيات، بروفيدنس، رود آيلاند، الصفحات 25-32 ، arXiv : 1006.1116 ، doi : 10.1090/conm/571/11319 ، ISBN  9780821853221، MR 2953406 ، S2CID 119687821  

• دي كاتالدو، مارك أندريا أ .؛ ميغليوريني، لوكا (2002)، "مجموعات تشاو ودافع مخطط هيلبرت للنقاط على سطح"، مجلة الجبر ، 251 (2): 824-848 ، arXiv : math/0005249 ، doi : 10.1006/jabr.2001.9105 ، MR 1919155 ، S2CID 16431761  

• دينينجر، كريستوفر؛ مور، جاكوب (1991)، "التحليل التحفيزي للمخططات الأبيلية وتحويل فورييه"، مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقية ، 422 : 201-219 ، MR 1133323 

• غروتينديك، أ. (1969)، "التخمينات القياسية حول الدورات الجبرية"، الهندسة الجبرية (ندوة دولية، معهد تاتا للبحوث الأساسية، بومباي، 1968) (ملف PDF) ، مطبعة جامعة أكسفورد، الصفحات 193-199 ، MR 0268189  {{citation}}: CS1 maint: url-status ( link ) .

• Grothendieck، A. (1958)، “Sur une note de Mattuck-Tate”، J. Reine Angew. الرياضيات. ، 1958 (200): 208–215 ، دوى : 10.1515/crll.1958.200.208 ، السيد 0136607 ، S2CID 115548848  

• كاتز، نيكولاس م .؛ ميسينغ، ويليام (1974)، "بعض نتائج فرضية ريمان للأصناف فوق الحقول المنتهية"، Inventiones Mathematicae ، 23 : 73-77 ، Bibcode : 1974InMat..23...73K ، doi : 10.1007/BF01405203 ، MR 0332791 ، S2CID 121989640  
• Kleiman، Stephen L. (1968)، “Algebraic Cycles and the Weil Conjectures”، Dix exposés sur la cohomologie des schémas ، أمستردام: شمال هولندا، الصفحات من 359 إلى 386، MR 0292838  .

• مور، جيه بي (1990)، "حول دافع السطح الجبري"، مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقية ، 1990 (409): 190-204 ، doi : 10.1515/crll.1990.409.190 ، MR 1061525 ، S2CID 117483201  

• كلايمان، ستيفن ل. (1994)، "التخمينات القياسية"، دوافع (سياتل، واشنطن، 1991) ، وقائع الندوات في الرياضيات البحتة، المجلد  55، الجمعية الرياضية الأمريكية، الصفحات 3-20 ، MR 1265519  .

• Šermenev، AM (1974)، “Motif of abelian Variety”، Funckcional. شرجي. بريلوزن , 8 (1): 55-61 , م.ر 0335523 

• التقدم المحرز في التخمينات القياسية المتعلقة بالدورات الجبرية
• نظائرها Kähleriens من بعض تخمينات Weil. J.-P Serre (extrait d'une lettere a. Weil، 9 نوفمبر 1959) مسح ضوئي