ألترا برودكت

الضرب الفائق هو بناء رياضي يظهر بشكل رئيسي في الجبر المجرد والمنطق الرياضي ، وخاصة في نظرية النماذج ونظرية المجموعات . الضرب الفائق هو مجموعة القسمة للضرب المباشر لمجموعة من البنى . يجب أن يكون لجميع العوامل نفس الإشارة . القوة الفائقة هي حالة خاصة من هذا البناء حيث تكون جميع العوامل متساوية.

على سبيل المثال، يمكن استخدام القوى الفائقة لإنشاء حقول جديدة من حقول معطاة. ومن الحالات الخاصة لذلك القوة الفائقة للأعداد الحقيقية ، والتي تحقق شروط الأعداد فائقة الواقعية .

تتضمن بعض التطبيقات اللافتة للنظر للمنتجات الفائقة براهين أنيقة للغاية لنظرية التراص ونظرية الاكتمال ، ونظرية القوة الفائقة لكيسلر ، والتي تعطي توصيفًا جبريًا للمفهوم الدلالي للتكافؤ الأولي، وعرض روبنسون-زاكون لاستخدام البنى الفائقة وتشكلاتها الأحادية لبناء نماذج غير قياسية للتحليل، مما أدى إلى نمو مجال التحليل غير القياسي ، والذي كان رائدًا فيه (كتطبيق لنظرية التراص) أبراهام روبنسون .

تعتمد الطريقة العامة للحصول على المنتجات الفائقة على مجموعة من المؤشرات${\displaystyle I,}$هيكل​${\displaystyle M_{i}}$(بافتراض أنها غير فارغة في هذه المقالة) لكل عنصر${\displaystyle i\in I}$(جميعها تحمل نفس التوقيع )، وفلتر فائق الدقة${\displaystyle {\mathcal {U}}}$على${\displaystyle I.}$

لأي عنصرين${\displaystyle a_{\bullet }=\left(a_{i}\right)_{i\in I}}$و${\displaystyle b_{\bullet }=\left(b_{i}\right)_{i\in I}}$من حاصل الضرب الديكارتي${\textstyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i},}$ أعلنهم أن${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-مكافئ ، مكتوب${\displaystyle a_{\bullet }\sim b_{\bullet }}$أو${\displaystyle a_{\bullet }=_{\mathcal {U}}b_{\bullet },}$إذا وفقط إذا كانت مجموعة المؤشرات${\displaystyle \left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}}$إن ما يتفقون عليه هو عنصر من${\displaystyle {\mathcal {U}};}$بالرموز، $${\displaystyle a_{\bullet }\sim b_{\bullet }\;\iff \;\left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}\in {\mathcal {U}},}$$ والتي تقارن المكونات فقط بالنسبة إلى المرشح الفائق${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$ هذه العلاقات الثنائية${\displaystyle \,\sim \,}$هي علاقة تكافؤ ^{[ البرهان 1 ]} على الضرب الديكارتي${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}.}$

المنتج الفائق لـ${\displaystyle M_{\bullet }=\left(M_{i}\right)_{i\in I}}$modulo${\displaystyle {\mathcal {U}}}$هي مجموعة القسمة لـ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}}$بالنسبة إلى${\displaystyle \sim }$ولذلك يُشار إليه أحيانًا بـ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}}$أو${\displaystyle {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }.}$

بصراحة، إذا${\displaystyle {\mathcal {U}}}$- فئة التكافؤ لعنصر ما${\displaystyle a\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}}$يُرمز إليه بـ $${\displaystyle a_{\mathcal {U}}:={\big \{}x\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\;:\;x\sim a{\big \}}}$$ إذن، فإن المنتج الفائق هو مجموعة كل${\displaystyle {\mathcal {U}}}$- فئات التكافؤ $${\displaystyle {\prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }\;=\;\prod _{i\in I}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}\;:=\;\left\{a_{\mathcal {U}}\;:\;a\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\right\}.}$$

بالرغم من${\displaystyle {\mathcal {U}}}$كان يُفترض أنه مرشح فائق، ويمكن تنفيذ التصميم المذكور أعلاه بشكل عام كلما${\displaystyle {\mathcal {U}}}$هو مجرد مرشح على${\displaystyle I,}$وفي هذه الحالة، تكون مجموعة القسمة الناتجة${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}/\,{\mathcal {U}}}$يُطلق عليه اسممنتج مخفض .

متى${\displaystyle {\mathcal {U}}}$هو مرشح فائق رئيسي (يحدث ذلك إذا وفقط إذا${\displaystyle {\mathcal {U}}}$يحتوي على نواته${\displaystyle \cap \,{\mathcal {U}}}$ثم يكون الناتج الفائق متماثلاً مع أحد العوامل. وهكذا عادةً،${\displaystyle {\mathcal {U}}}$لا يُعد مرشحًا فائقًا رئيسيًا ، وهو ما يحدث فقط إذا وفقط إذا${\displaystyle {\mathcal {U}}}$مجاني (بمعنى${\displaystyle \cap \,{\mathcal {U}}=\varnothing }$أو بصورة مكافئة، إذا كانت كل مجموعة جزئية منتهية من${\displaystyle I}$هو عنصر من${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$ بما أن كل مرشح فائق على مجموعة منتهية هو مرشح رئيسي، فإن مجموعة المؤشرات${\displaystyle I}$وبالتالي، يكون عادةً لانهائيًا أيضًا.

يعمل الضرب الفائق كفضاء ضرب مرشح، حيث تتساوى العناصر إذا كانت متساوية فقط عند المكونات المرشحة (يتم تجاهل المكونات غير المرشحة في حالة التكافؤ). يمكن تعريف مقياس جمعي محدود.${\displaystyle m}$على مجموعة الفهرس${\displaystyle I}$بقول${\displaystyle m(A)=1}$لو${\displaystyle A\in {\mathcal {U}}}$و${\displaystyle m(A)=0}$وإلا، فإن عنصرين من عناصر الضرب الديكارتي يكونان متكافئين تحديدًا إذا كانا متساويين تقريبًا في كل مكان على مجموعة الفهرس. والضرب الفائق هو مجموعة فئات التكافؤ الناتجة عن ذلك.

العمليات النهائية على الضرب الديكارتي${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}}$يتم تعريفها بشكل نقطي (على سبيل المثال، إذا${\displaystyle +}$إذا كانت دالة ثنائية${\displaystyle a_{i}+b_{i}=(a+b)_{i}}$). ويمكن توسيع العلاقات الأخرى بنفس الطريقة: $${\displaystyle R\left(a_{\mathcal {U}}^{1},\dots ,a_{\mathcal {U}}^{n}\right)~\iff ~\left\{i\in I:R^{M_{i}}\left(a_{i}^{1},\dots ,a_{i}^{n}\right)\right\}\in {\mathcal {U}},}$$ أين${\displaystyle a_{\mathcal {U}}}$يشير إلى${\displaystyle {\mathcal {U}}}$فئة التكافؤ لـ${\displaystyle a}$بالنسبة إلى${\displaystyle \sim .}$ وعلى وجه الخصوص، إذا كان كل${\displaystyle M_{i}}$إذا كان حقلاً مرتباً، فإن المنتج الفائق يكون كذلك أيضاً.

الأعداد الفائقة الحقيقية هي حاصل ضرب فائق لنسخة واحدة من الأعداد الحقيقية لكل عدد طبيعي، وذلك بالنسبة لمرشح فائق على الأعداد الطبيعية يحتوي على جميع المجموعات المنتهية. وترتيبها هو امتداد لترتيب الأعداد الحقيقية. على سبيل المثال، المتتالية${\displaystyle \omega }$مقدم من${\displaystyle \omega _{i}=i}$يُعرّف فئة تكافؤ تمثل عددًا فائقًا أكبر من أي عدد حقيقي.

وبالمثل، يمكن تعريف الأعداد الصحيحة غير القياسية ، والأعداد المركبة غير القياسية ، وما إلى ذلك، عن طريق أخذ الناتج الفائق لنسخ الهياكل المقابلة.

كمثال على نقل العلاقات إلى المنتج الفائق، انظر إلى المتتالية${\displaystyle \psi }$محدد بواسطة${\displaystyle \psi _{i}=2i.}$لأن${\displaystyle \psi _{i}>\omega _{i}=i}$للجميع${\displaystyle i,}$ويترتب على ذلك أن فئة التكافؤ لـ${\displaystyle \psi _{i}=2i}$أكبر من فئة التكافؤ لـ${\displaystyle \omega _{i}=i,}$بحيث يمكن تفسيره على أنه عدد لا نهائي أكبر من العدد الذي تم إنشاؤه في الأصل. ومع ذلك، لنفترض${\displaystyle \chi _{i}=i}$ل${\displaystyle i}$لا يساوي${\displaystyle 7,}$لكن${\displaystyle \chi _{7}=8.}$مجموعة المؤشرات التي${\displaystyle \omega }$و${\displaystyle \chi }$يوافق على أنه عضو في أي مرشح فائق (لأن${\displaystyle \omega }$و${\displaystyle \chi }$(يتفق على الطرق في كل مكان)، لذلك${\displaystyle \omega }$و${\displaystyle \chi }$ينتميان إلى نفس فئة التكافؤ.

في نظرية الأعداد الكبيرة ، يتمثل أحد الأساليب القياسية في أخذ حاصل الضرب الفائق للكون الكامل لنظرية المجموعات بالنسبة إلى مرشح فائق مختار بعناية.${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$خصائص هذا المرشح الفائق${\displaystyle {\mathcal {U}}}$لها تأثير قوي على خصائص (الرتبة الأعلى) للمنتج الفائق؛ على سبيل المثال، إذا${\displaystyle {\mathcal {U}}}$يكون${\displaystyle \sigma }$إذا اكتملت العملية، فسيكون المنتج الفائق ذا أساس متين مرة أخرى. (انظر العدد الأساسي القابل للقياس للحصول على مثال نموذجي).

تُنسب نظرية Łoś، التي تُسمى أيضًا النظرية الأساسية للمنتجات الفائقة ، إلى جيرزي Łoś (يُنطق اسم العائلة [ ˈwɔɕ ] ، أي ما يُقارب "wash"، أو [ ˈɫɔɕ ] ). وتنص على أن أي صيغة من الدرجة الأولى تكون صحيحة في المنتج الفائق إذا وفقط إذا كانت مجموعة المؤشرات${\displaystyle i}$بحيث تكون الصيغة صحيحة في${\displaystyle M_{i}}$هو عضو في${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$وبشكل أدق:

يترك${\displaystyle \sigma }$أن يكون توقيعًا،${\displaystyle {\mathcal {U}}}$كن مرشحًا فائقًا على مجموعة${\displaystyle I,}$ولكل${\displaystyle i\in I}$يترك${\displaystyle M_{i}}$كن${\displaystyle \sigma }$-البنية. دع${\displaystyle {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }}$أو${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}/{\mathcal {U}}}$كن المنتج الفائق لـ${\displaystyle M_{i}}$بالنسبة إلى${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$ ثم، لكل${\displaystyle a^{1},\ldots ,a^{n}\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i},}$أين${\displaystyle a^{k}=\left(a_{i}^{k}\right)_{i\in I},}$ولكل${\displaystyle \sigma }$-صيغة${\displaystyle \phi ,}$$${\displaystyle {\prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }\models \phi \left[a_{\mathcal {U}}^{1},\ldots ,a_{\mathcal {U}}^{n}\right]~\iff ~\{i\in I:M_{i}\models \phi [a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n}]\}\in {\mathcal {U}}.}$$

تُثبت النظرية بالاستقراء على تعقيد الصيغة${\displaystyle \phi .}$حقيقة أن${\displaystyle {\mathcal {U}}}$يُستخدم مُرشِّح فائق (وليس مُرشِّحًا عاديًا) في عبارة النفي، وتُعدّ بديهية الاختيار ضرورية في خطوة المُكمِّم الوجودي. كتطبيق، يُمكن الحصول على نظرية النقل للحقول فائقة الواقعية .

في نظرية النماذج ونظرية المجموعات ، يُنظر غالبًا في النهاية المباشرة لمتتالية من القوى الفائقة. في نظرية النماذج ، يُشار إلى هذا البناء باسم النهاية الفائقة أو القوة الفائقة الحدية .

بدءاً من الهيكل،${\displaystyle A_{0}}$وفلتر فائق الدقة،${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0},}$تشكيل قوة عظمى،${\displaystyle A_{1}.}$ثم كرر العملية لتشكيل${\displaystyle A_{2},}$وهكذا دواليك. لكل${\displaystyle n}$يوجد تضمين قطري متعارف عليه${\displaystyle A_{n}\to A_{n+1}.}$في المراحل الحدية، مثل${\displaystyle A_{\omega },}$تشكل هذه الحدود المباشرة للمراحل السابقة. ويمكن للمرء أن يستمر في تجاوز اللانهائي.

موناد المرشح الفائق هو موناد الكثافة المشتركة لإدراج فئة المجموعات المنتهية في فئة جميع المجموعات . ^{[ 1 ]}

وبالمثل، فإنالموناد ذو المنتج الفائق هو موناد الكثافة المشتركة لتضمين الفئة${\displaystyle \mathbf {FinFam} }$من عائلات المجموعات ذات الفهرسة المحدودة إلى الفئة${\displaystyle \mathbf {Fam} }$من بين جميع عائلات المجموعات المفهرسة . لذا، بهذا المعنى، فإن المنتجات الفائقة حتمية بشكل قاطع. ^{[ 1 ]} بشكل صريح، كائن من${\displaystyle \mathbf {Fam} }$يتكون من مجموعة فهارس غير فارغة${\displaystyle I}$وعائلة مفهرسة${\displaystyle \left(M_{i}\right)_{i\in I}}$من المجموعات. تشاكل${\displaystyle \left(M_{i}\right)_{i\in I}\to \left(N_{i}\right)_{j\in J}}$تتكون العلاقة بين كائنين من دالة${\displaystyle \phi :J\to I}$بين مجموعات الفهرس و أ${\displaystyle J}$عائلة مفهرسة${\displaystyle \left(\phi _{j}\right)_{j\in J}}$وظيفة${\displaystyle \phi _{j}:M_{\phi (j)}\to N_{j}.}$ الفئة${\displaystyle \mathbf {FinFam} }$هي فئة فرعية كاملة من هذه الفئة من${\displaystyle \mathbf {Fam} }$يتكون من جميع الكائنات${\displaystyle \left(M_{i}\right)_{i\in I}}$مجموعة الفهرس الخاصة به${\displaystyle I}$هي محدودة. موناد الكثافة المشتركة لخريطة التضمين${\displaystyle \mathbf {FinFam} \hookrightarrow \mathbf {Fam} }$وبالتالي، يُعطى ذلك في جوهره بواسطة $${\displaystyle \left(M_{i}\right)_{i\in I}~\mapsto ~\left(\prod _{i\in I}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}\right)_{{\mathcal {U}}\in U(I)}\,.}$$

• نظرية التراص – نظرية في المنطق الرياضي 
• الموسّع (نظرية المجموعات)
• نظرية لوفنهايم-سكوليم – وجود وعدد نماذج النظريات المنطقية 
• مبدأ النقل – مفهوم في نظرية النماذج 
• مرشح فائق – مرشح مثالي بأقصى كفاءة 

البراهين

• بيل، جون لين؛ سلومسون، آلان ب. (2006) [1969]. النماذج والمنتجات الفائقة: مقدمة (إعادة طبع  طبعة 1974). منشورات دوفر . ISBN 0-486-44979-3.
• بوريس، ستانلي ن.؛ سانكابانافار، إتش بي (2000) [1981]. دورة في الجبر الشامل (  طبعة الألفية).