وظيفة كانتور

في الرياضيات ، تُعد دالة كانتور مثالًا على دالة متصلة ، ولكنها ليست متصلة اتصالًا مطلقًا . وهي مثال مضاد شهير في التحليل الرياضي، لأنها تتحدى المفاهيم البديهية حول الاتصال والمشتقة والقياس . فعلى الرغم من أنها متصلة في كل مكان، ومشتقتها تساوي صفرًا في معظم الأماكن ، إلا أن قيمتها تتغير من 0 إلى 1 مع تغير وسيطها من 0 إلى 1. وبالتالي، فبينما تبدو الدالة ثابتة لا يمكن أن تنمو، إلا أنها في الواقع تنمو نموًا رتيبًا .

تُعرف أيضًا باسم دالة كانتور الثلاثية ، ودالة ليبيغ ، ^{[ 1 ]} ودالة ليبيغ المفردة ، ودالة كانتور-فيتالي ، وسلّم الشيطان ، ^{[ 2 ]} ودالة سلم كانتور ، ^{[ 3} ] ودالة كانتور - ليبيغ . ^{[ 4 ]} قدّم جورج كانتور ( 1884 ) دالة كانتور ، وذكر أن شيفر أشار إلى أنها مثال مضاد لتوسيع النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل التي ادّعاها هارناك . ناقش شيفر (1884) وليبيغ (1904) وفيتالي (1905) دالة كانتور ونشروها على ^نطاق واسع . 

لتعريف دالة كانتور${\displaystyle c:[0,1]\to [0,1]}$، يترك${\displaystyle x}$ليكن أي عدد في${\displaystyle [0,1]}$والحصول على${\displaystyle c(x)}$باتباع الخطوات التالية:

1. يعبر${\displaystyle x}$في النظام الثلاثي، باستخدام الأرقام 0 و1 و2.
2. إذا كان التمثيل الأساسي 3 لـ${\displaystyle x}$إذا احتوى على الرقم 1، فاستبدل كل رقم بعد الرقم 1 الأول بالرقم 0.
3. استبدل أي أرقام 2 متبقية برقم 1.
4. فسّر النتيجة كرقم ثنائي. النتيجة هي${\displaystyle c(x)}$.

على سبيل المثال:

• ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$يمثل العدد الثلاثي 0.02020202... لا توجد أرقام 1، لذا فإن المرحلة التالية لا تزال 0.02020202... يُعاد كتابة هذا على النحو التالي: 0.01010101... هذا هو التمثيل الثنائي لـ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$، لذا${\displaystyle c({\tfrac {1}{4}})={\tfrac {1}{3}}}$.
• ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$يُمثل العدد الثلاثي 0.01210121... تُستبدل الأرقام التي تلي الرقم 1 الأول بأصفار لإنتاج 0.01000000... لا يُعاد كتابة هذا العدد لأنه لا يحتوي على الرقم 2. هذا هو التمثيل الثنائي لـ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$، لذا${\displaystyle c({\tfrac {1}{5}})={\tfrac {1}{4}}}$.
• ${\displaystyle {\tfrac {200}{243}}}$للعدد 0.21102 تمثيل ثلاثي (أو 0.211012222...). تُستبدل الأرقام التي تلي الرقم 1 الأول بأصفار لإنتاج 0.21. يُعاد كتابة هذا العدد على شكل 0.11. هذا هو التمثيل الثنائي للعدد 0.21.${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$، لذا${\displaystyle c({\tfrac {200}{243}})={\tfrac {3}{4}}}$.

وبعبارة أخرى، السماح${\displaystyle {\mathcal {C}}}$لتكن مجموعة كانتور على [0,1]، دالة كانتور${\displaystyle c:[0,1]\to [0,1]}$يمكن تعريفها على النحو التالي:

$${\displaystyle c(x)={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{2^{n}}},&\displaystyle {\text{if }}x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2a_{n}}{3^{n}}}\in {\mathcal {C}}\ {\text{for}}\ a_{n}\in \{0,1\};\\\displaystyle \sup _{y\leq x,\,y\in {\mathcal {C}}}c(y),&\displaystyle {\text{if }}x\in [0,1]\setminus {\mathcal {C}}.\end{cases}}}$$

هذه الصيغة محددة جيدًا، حيث أن لكل عنصر من عناصر مجموعة كانتور تمثيلًا فريدًا في النظام الثلاثي يحتوي فقط على الرقمين 0 أو 2. (بالنسبة لبعض عناصر${\displaystyle {\mathcal {C}}}$، يتكرر التوسع الثلاثي مع الرقم 2 في النهاية، وهناك توسع بديل غير متكرر ينتهي بالرقم 1. على سبيل المثال،${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$= 0.1 ₃ = 0.02222... ₃ عنصر من مجموعة كانتور). بما أن${\displaystyle c(0)=0}$و${\displaystyle c(1)=1}$، و${\displaystyle c}$دالة رتيبة على${\displaystyle {\mathcal {C}}}$من الواضح أن${\displaystyle 0\leq c(x)\leq 1}$وينطبق هذا أيضاً على الجميع${\displaystyle x\in [0,1]\smallsetminus {\mathcal {C}}}$.

تتحدى دالة كانتور المفاهيم البديهية الساذجة حول الاستمرارية والقياس ؛ على الرغم من أنها مستمرة في كل مكان ولها مشتقة صفرية في كل مكان تقريبًا ،${\textstyle c(x)}$ينتقل من 0 إلى 1 عندما${\textstyle x}$تتراوح قيمتها من 0 إلى 1، وتأخذ جميع القيم بينهما. تُعد دالة كانتور المثال الأكثر شيوعًا لدالة حقيقية متصلة بانتظام (بشكل أدق، هي دالة هولدر متصلة من الدرجة الأسية).${\displaystyle \alpha =\log _{3}(2)}$(لكنها ليست متصلة اتصالاً مطلقاً ). فهي ثابتة على فترات من الشكل (0. x ₁ x ₂ x ₃ ... x _n 022222..., 0. x ₁ x ₂ x ₃ ... x _n 200000...)، وكل نقطة خارج مجموعة كانتور تقع في إحدى هذه الفترات، لذا فإن مشتقتها تساوي صفرًا خارج مجموعة كانتور. من ناحية أخرى، ليس لها مشتقة عند أي نقطة في مجموعة جزئية غير قابلة للعد من مجموعة كانتور تحتوي على نهايات الفترات المذكورة أعلاه.

يمكن أيضًا اعتبار دالة كانتور بمثابة دالة التوزيع الاحتمالي التراكمي لمقياس برنولي μ 1/2-1/2 المدعوم على مجموعة كانتور:${\textstyle c(x)=\mu ([0,x])}$هذا التوزيع الاحتمالي، المسمى بتوزيع كانتور ، لا يحتوي على جزء منفصل. أي أن المقياس المقابل له خالٍ من الذرات . ولهذا السبب لا توجد انقطاعات قفزية في الدالة؛ فأي انقطاع من هذا القبيل سيقابل ذرة في المقياس.

مع ذلك، لا يمكن تمثيل أي جزء غير ثابت من دالة كانتور كتكامل لدالة كثافة احتمالية ؛ فتكامل أي دالة كثافة احتمالية مفترضة لا تساوي صفرًا تقريبًا في أي فترة سيعطي احتمالًا موجبًا لفترة ما يُسند إليها هذا التوزيع احتمالًا صفريًا. وعلى وجه الخصوص، كما أشار فيتالي (1905) ، فإن الدالة ليست تكاملًا لمشتقتها حتى وإن كانت المشتقة موجودة تقريبًا في كل مكان.

تُعد دالة كانتور المثال القياسي للدالة المفردة .

تُعدّ دالة كانتور مثالاً نموذجياً لدالة ذات تباين محدود ، ولكنها، كما ذُكر سابقاً، ليست دالة متصلة اتصالاً مطلقاً. مع ذلك، فإن كل دالة متصلة اتصالاً مطلقاً تكون متصلة ذات تباين محدود.

دالة كانتور غير متناقصة، وبالتالي فإن رسمها البياني يُحدد منحنى قابلاً للتقويم . وقد أثبت شيفر (1884) أن طول قوس رسمها البياني يساوي 2. لاحظ أن الرسم البياني لأي دالة غير متناقصة بحيث${\displaystyle f(0)=0}$و${\displaystyle f(1)=1}$طولها لا يزيد عن 2. وبهذا المعنى، فإن دالة كانتور هي دالة قصوى.

تتمتع دالة كانتور بعدة تناظرات .${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$يوجد تناظر انعكاسي

${\displaystyle c(x)=1-c(1-x)}$

وزوج من العدسات المكبرة، واحدة على اليسار وواحدة على اليمين:

${\displaystyle c\left({\frac {x}{3}}\right)={\frac {c(x)}{2}}}$

و

${\displaystyle c\left({\frac {x+2}{3}}\right)={\frac {1+c(x)}{2}}}$

يمكن ربط التكبيرات بشكل متتالي؛ فهي تُولّد الزمرة الثنائية . ويتضح ذلك من خلال تعريف العديد من الدوال المساعدة. عرّف الانعكاس على النحو التالي:

${\displaystyle r(x)=1-x}$

يمكن التعبير عن التناظر الذاتي الأول على النحو التالي:

${\displaystyle r\circ c=c\circ r}$

حيث الرمز${\displaystyle \circ }$يشير إلى تركيب الدوال. أي،${\displaystyle (r\circ c)(x)=r(c(x))=1-c(x)}$وينطبق الأمر نفسه على الحالات الأخرى. بالنسبة للتكبيرات اليسرى واليمنى، اكتب عمليات الربط اليسرى.

${\displaystyle L_{D}(x)={\frac {x}{2}}}$و${\displaystyle L_{C}(x)={\frac {x}{3}}}$

ثم تخضع دالة كانتور

${\displaystyle L_{D}\circ c=c\circ L_{C}}$

وبالمثل، حدد التعيينات الصحيحة على النحو التالي:

${\displaystyle R_{D}(x)={\frac {1+x}{2}}}$و${\displaystyle R_{C}(x)={\frac {2+x}{3}}}$

ثم، بالمثل،

${\displaystyle R_{D}\circ c=c\circ R_{C}}$

يمكن عكس الجانبين أحدهما على الآخر، من حيث أن

${\displaystyle L_{D}\circ r=r\circ R_{D}}$

وبالمثل،

${\displaystyle L_{C}\circ r=r\circ R_{C}}$

يمكن تكديس هذه العمليات بشكل عشوائي. لنأخذ على سبيل المثال تسلسل التحركات من اليسار إلى اليمين.${\displaystyle LRLLR.}$بإضافة الرموز السفلية C و D، ولتوضيح الأمر، حذف عامل التركيب${\displaystyle \circ }$في جميع الأماكن باستثناء أماكن قليلة، يوجد ما يلي:

${\displaystyle L_{D}R_{D}L_{D}L_{D}R_{D}\circ c=c\circ L_{C}R_{C}L_{C}L_{C}R_{C}}$

تُقابل السلاسل ذات الطول المحدود العشوائية المكونة من الحرفين L و R الأعداد النسبية الثنائية ، حيث يمكن كتابة كل عدد نسبي ثنائي على كلا الشكلين.${\displaystyle y=n/2^{m}}$بالنسبة للأعداد الصحيحة n و m وبطول بتات محدود${\displaystyle y=0.b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}$مع${\displaystyle b_{k}\in \{0,1\}.}$وبالتالي، فإن كل عدد نسبي ثنائي يكون في تطابق واحد لواحد مع بعض التناظر الذاتي لدالة كانتور.

يمكن لبعض التغييرات في الرموز أن تجعل التعبير عن ما سبق أسهل قليلاً. لنفترض${\displaystyle g_{0}}$و${\displaystyle g_{1}}$يرمزان إلى L و R. يمتد تركيب الدوال إلى أحادي ، حيث يمكن كتابة${\displaystyle g_{010}=g_{0}g_{1}g_{0}}$وبشكل عام،${\displaystyle g_{A}g_{B}=g_{AB}}$بالنسبة لبعض السلاسل الثنائية المكونة من الأرقام A و B ، حيث AB هي مجرد دمج عادي لهذه السلاسل. المونويد الثنائي M هو مونويد جميع هذه الحركات اليسارية-اليمنى ذات الطول المحدود. كتابة${\displaystyle \gamma \in M}$باعتبارها عنصرًا عامًا من عناصر المونويد، يوجد تناظر ذاتي مقابل لدالة كانتور:

${\displaystyle \gamma _{D}\circ c=c\circ \gamma _{C}}$

تتمتع المونويدات الثنائية بعدة خصائص مثيرة للاهتمام. يمكن النظر إليها على أنها عدد محدود من التحركات يمينًا ويسارًا على طول شجرة ثنائية لانهائية ؛ وتتوافق "الأوراق" البعيدة جدًا على الشجرة مع النقاط الموجودة على مجموعة كانتور، وبالتالي، تمثل المونويدات أيضًا التناظرات الذاتية لمجموعة كانتور. في الواقع، تُوصف فئة كبيرة من الأشكال الكسورية الشائعة بواسطة المونويدات الثنائية؛ ويمكن الاطلاع على أمثلة إضافية في مقال منحنيات دي رام . أما الأشكال الكسورية الأخرى التي تمتلك خاصية التشابه الذاتي، فتُوصف بأنواع أخرى من المونويدات. وتُعد المونويدات الثنائية نفسها مونويدًا فرعيًا من المجموعة النمطية.${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} ).}$

تجدر الإشارة إلى أن دالة كانتور تشبه إلى حد كبير دالة علامة الاستفهام لمينكوفسكي . وعلى وجه الخصوص، فهي تخضع لعلاقات تناظر مماثلة، مع اختلاف طفيف في الشكل.

يترك

${\displaystyle y=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}2^{-k}}$

ليكن التعبير الثنائي (التوسع الثنائي) للعدد الحقيقي 0 ≤ y ≤ 1 بدلالة الأرقام الثنائية b _k ∈ {0,1}. يُناقش هذا التوسع بمزيد من التفصيل في مقال التحويل الثنائي . ثم لننظر في الدالة

${\displaystyle C_{z}(y)=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}z^{k}.}$

عندما تكون قيمة z  تساوي  1/3، فإن معكوس الدالة x = 2 C _1/3 ( y ) هو دالة كانتور. أي أن y = y ( x ) هي دالة كانتور. وبشكل عام، لأي قيمة z < 1/2، تبدو دالة C _z ( y ) كدالة كانتور مقلوبة، حيث يزداد عرض الخطوات كلما اقتربت z من الصفر.     

كما ذُكر سابقًا، فإن دالة كانتور هي أيضًا دالة التوزيع التراكمي لمقياس على مجموعة كانتور. ويمكن الحصول على دوال كانتور مختلفة، أو ما يُعرف بـ"سلالم الشيطان"، من خلال دراسة مقاييس احتمالية مختلفة غير ذرية مدعومة على مجموعة كانتور أو غيرها من الأشكال الكسورية. وبينما تكون مشتقة دالة كانتور صفرًا في كل مكان تقريبًا، يركز البحث الحالي على مسألة حجم مجموعة النقاط التي تكون فيها المشتقة العلوية اليمنى مختلفة عن المشتقة السفلية اليمنى، مما يؤدي إلى عدم وجود المشتقة. ويُقدم تحليل قابلية التفاضل عادةً بدلالة البُعد الكسوري ، مع كون بُعد هاوسدورف الخيار الأكثر شيوعًا. وقد بدأ هذا المسار البحثي في ​​التسعينيات على يد دارست ^{[ 5 ]،} الذي بيّن أن بُعد هاوسدورف لمجموعة عدم قابلية تفاضل دالة كانتور هو مربع بُعد مجموعة كانتور.${\displaystyle (\log _{3}(2))^{2}}$. وفي وقت لاحق، أظهر فالكونر ^{[ 6 ]} أن علاقة التربيع هذه تنطبق على جميع مقاييس أهلفورس المنتظمة والمفردة، أي$${\displaystyle \dim _{H}\left\{x:f'(x)=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {\mu ([x,x+h])}{h}}{\text{ does not exist}}\right\}=\left(\dim _{H}\operatorname {supp} (\mu )\right)^{2}}$$وفي وقت لاحق، حصل تروسشيت ^{[ 7 ]} على صورة أكثر شمولاً للمجموعة التي لا يوجد فيها مشتق لمقاييس جيبس ​​المعيارية الأكثر عمومية المدعومة على مجموعات ذاتية التوافق وذاتية التشابه .

تتشابه دالة علامة الاستفهام لهيرمان مينكوفسكي ، بشكلٍ عام، مع دالة كانتور من حيث الشكل، إذ تبدو كصيغة "مُبسّطة" منها؛ ويمكن بناؤها بالانتقال من صيغة الكسر المستمر إلى صيغة ثنائية، تمامًا كما يمكن بناء دالة كانتور بالانتقال من صيغة ثلاثية إلى صيغة ثنائية. وتتميز دالة علامة الاستفهام بخاصية مثيرة للاهتمام، وهي أن مشتقاتها تتلاشى عند جميع الأعداد النسبية.

• التحول الثنائي
• دالة فايرشتراس ، وهي دالة متصلة في كل مكان ولكنها غير قابلة للتفاضل في أي مكان.

• باس، ريتشارد فرانكلين (2013) [2011]. التحليل الحقيقي لطلاب الدراسات العليا (  الطبعة الثانية). دار كريت سبيس للنشر المستقل. رقم ISBN 978-1-4818-6914-0.
• كانتور، ج. (1884). "De la puissance des ensembles parfaits de point: Extrait d'une letteradressée à l'éditeur " [ قوة المجموعات المثالية من النقاط: مقتطف من رسالة موجهة إلى المحرر ] . اكتا ماثيماتيكا . 4 . الصحافة الدولية في بوسطن: 381-392 . دوى : 10.1007 / bf02418423 . ISSN 0001-5962 . أعيد طبعه في: E. Zermelo (Ed.)، Gesammelte Abhandlungen Mathematischen und Philosophischen Inhalts، Springer، New York، 1980.
• دارست، ريتشارد ب.؛ بالاغالو، جوديث أ.؛ برايس، توماس إي. (2010)، منحنيات غريبة ، هاكنساك، نيوجيرسي: شركة وورلد ساينتيفيك للنشر المحدودة، رقم ISBN 978-981-4291-28-6MR 2681574​ 
• دوفغوشي، أو. مارسيو، O .؛ ريازانوف، V.؛ فورينين، م. (2006). “وظيفة كانتور”. المعارض الرياضيات . 24 (1). إلسفير بي في: 1– 37. دوى : 10.1016/j.exmath.2005.05.002 . ردمك 0723-0869 . السيد 2195181 .  
• فليرون، جوليان ف. (1994-04-01). "ملاحظة حول تاريخ مجموعة كانتور ودالة كانتور". مجلة الرياضيات . 67 (2). إنفورما المملكة المتحدة المحدودة: 136-140 . doi : 10.2307/2690689 . ISSN 0025-570X . JSTOR 2690689 .  
• Lebesgue، H. (1904)، Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives [ دروس في التكامل والبحث عن الوظائف البدائية ] باريس: غوتييه فيلار
• ليوني، جيوفاني (2017). مدخل إلى فضاءات سوبوليف . المجلد  181 (  الطبعة الثانية). بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. ص  734. ISBN 978-1-4704-2921-8. OCLC 976406106 . 
• شيفر ، لودفيج (1884). "Allgemeine Unter suchungen über Rectification der Curven" [ تحقيقات عامة حول تصحيح المنحنيات ] . اكتا ماثيماتيكا . 5 . الصحافة الدولية في بوسطن: 49- 82. دوى : 10.1007 / bf02421552 . ISSN 0001-5962 . 
• تومسون، برايان س.؛ بروكنر، جوديث ب.؛ بروكنر، أندرو م. (2008) [2001]. التحليل الحقيقي الابتدائي (الطبعة الثانية  ). ClassicalRealAnalysis.com. ISBN 978-1-4348-4367-8.
• فيستروب، إي إم (2003). نظرية القياسات والتكامل . سلسلة وايلي في الاحتمالات والإحصاء. جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0471249771.
• فيتالي، أ. (1905)، "Sulle funzioni Integratedi" [ في الوظائف المتكاملة ] ، عطي عقاد. الخيال العلمي. تورينو كل. الخيال العلمي. فيس. حصيرة. طبيعة. ، 40 : 1021 – 1034

• دالة كانتور الثلاثية في موسوعة الرياضيات
• دالة كانتور من تأليف دوغلاس ريفرز، مشروع عروض وولفرام .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "دالة كانتور" . عالم الرياضيات .