مصفوفة هيرميتية مائلة

في الجبر الخطي ، يُقال إن المصفوفة المربعة ذات العناصر المركبة هي مصفوفة هيرميتية معكوسة أو مصفوفة هيرميتية مضادة إذا كان منقولها المرافق هو معكوس المصفوفة الأصلية. ^{[ 1 ]} أي أن المصفوفة${\displaystyle A}$تكون المجموعة منحرفة-هيرميتية إذا كانت تحقق العلاقة التالية

أين${\displaystyle A^{\textsf {H}}}$يرمز إلى منقولة المصفوفة المترافقة${\displaystyle A}$في شكل المكونات، هذا يعني أن

لجميع المؤشرات${\displaystyle i}$و${\displaystyle j}$، أين${\displaystyle a_{ij}}$هو العنصر الموجود في${\displaystyle i}$الصف رقم - و${\displaystyle j}$العمود رقم - من${\displaystyle A}$والخط العلوي يشير إلى الاقتران المعقد .

يمكن فهم المصفوفات شبه الهرميتية على أنها النسخ المركبة للمصفوفات الحقيقية شبه المتناظرة ، أو على أنها النظير المصفوفي للأعداد التخيلية البحتة. ^{[ 2 ]} مجموعة جميع المصفوفات شبه الهرميتية${\displaystyle n\times n}$تُشكل المصفوفات${\displaystyle u(n)}$جبر لي ، الذي يتوافق مع زمرة لي U( n ) . يمكن تعميم المفهوم ليشمل التحويلات الخطية لأي فضاء متجهي معقد ذي معيار خطي مزدوج .

لاحظ أن المرافق للمؤثر يعتمد على الضرب القياسي الذي يتم النظر فيه على${\displaystyle n}$الفضاء المعقد أو الفضاء الحقيقي ذو الأبعاد${\displaystyle K^{n}}$. لو${\displaystyle (\cdot \mid \cdot )}$يشير إلى الضرب القياسي على${\displaystyle K^{n}}$ثم يقول${\displaystyle A}$يعني أن الدالة المترافقة المائلة تعني أنه بالنسبة لجميع${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in K^{n}}$يمتلك المرء${\displaystyle (A\mathbf {u} \mid \mathbf {v} )=-(\mathbf {u} \mid A\mathbf {v} )}$.

يمكن اعتبار الأعداد التخيلية أعدادًا مترافقة معكوسة (لأنها تشبه${\displaystyle 1\times 1}$المصفوفات)، بينما تتوافق الأعداد الحقيقية مع المؤثرات الذاتية المرافقة .

على سبيل المثال، المصفوفة التالية هي مصفوفة هيرميتية ملتوية $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-i&2+i\\-2+i&0\end{bmatrix}}}$$ لأن $${\displaystyle -A={\begin{bmatrix}i&-2-i\\2-i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {-i}}&{\overline {-2+i}}\\{\overline {2+i}}&{\overline {0}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {-i}}&{\overline {2+i}}\\{\overline {-2+i}}&{\overline {0}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}=A^{\mathsf {H}}}$$

• جميع القيم الذاتية لمصفوفة هيرميتية معكوسة هي أعداد تخيلية بحتة (وربما صفر). علاوة على ذلك، فإن المصفوفات الهيرميتية المعكوسة هي مصفوفات طبيعية . لذا فهي قابلة للتقطير، ويجب أن تكون متجهاتها الذاتية للقيم الذاتية المختلفة متعامدة. ^{[ 3 ]}
• يجب أن تكون جميع العناصر الموجودة على القطر الرئيسي لمصفوفة هيرميتية معكوسة تخيلية بحتة ؛ أي على المحور التخيلي (يُعتبر العدد صفر أيضًا تخيليًا بحتًا). ^{[ 4 ]}
• لو${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$إذا كانت منحرفة هيرميتية، فإن${\displaystyle aA+bB}$⁠ هيرميتية معكوسة لجميع الكميات العددية الحقيقية${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$[ ^{5 ]​}
• ${\displaystyle A}$تكون مصفوفة هيرميتية منحرفة إذا وفقط إذا${\displaystyle iA}$(أو ما يعادل ذلك،${\displaystyle -iA}$) هيرميتية . ^{[ 5 ]}
• ${\displaystyle A}$تكون مصفوفة هيرميتية ملتوية إذا وفقط إذا كان الجزء الحقيقي${\displaystyle \Re {(A)}}$متناظر عكسيًا والجزء التخيلي${\displaystyle \Im {(A)}}$متناظر .​
• لو${\displaystyle A}$إذا كان هيرميتيًا منحرفًا،${\displaystyle A^{k}}$هو هيرميتي إذا${\displaystyle k}$يكون عددًا زوجيًا ومصفوفة هيرميتية معكوسة إذا${\displaystyle k}$هو عدد صحيح فردي.
• ${\displaystyle A}$تكون مصفوفة هيرميتية منحرفة إذا وفقط إذا${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {y} =-{\overline {\mathbf {y} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {x} }}}$لجميع المتجهات${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} }$.
• لو${\displaystyle A}$إذا كانت مصفوفة هيرميتية ملتوية، فإن الدالة الأسية للمصفوفة${\displaystyle e^{A}}$هو نظام وحدوي .
• تشكل فضاءات المصفوفات الهرميتية المائلة جبر لي${\displaystyle u(n)}$من مجموعة لاي${\displaystyle U(n)}$.

• مجموع مصفوفة مربعة ومنقولها المرافق${\displaystyle \left(A+A^{\mathsf {H}}\right)}$هو هيرميتي.
• الفرق بين مصفوفة مربعة ومنقولتها المرافقة${\displaystyle \left(AA^{\mathsf {H}}\right)}$هي مصفوفة هيرميتية معكوسة. وهذا يعني أن مبدل مصفوفتين هيرميتيتين هو مصفوفة هيرميتية معكوسة.
• مصفوفة مربعة عشوائية${\displaystyle C}$يمكن كتابتها كمجموع مصفوفة هيرميتية${\displaystyle A}$ومصفوفة هيرميتية منحرفة${\displaystyle B}$:$${\displaystyle C=A+B\quad {\mbox{مع}}\quad A={\frac {1}{2}}\left(C+C^{\mathsf {H}}\right)\quad {\mbox{و}}\quad B={\frac {1}{2}}\left(CC^{\mathsf {H}}\right)}$$

• المتجه الثنائي (المركب)
• مصفوفة هيرميتية
• المصفوفة الطبيعية
• مصفوفة متناظرة معكوسة
• المصفوفة الوحدوية

• هورن، روجر أ.؛ جونسون، تشارلز ر. (1985)، تحليل المصفوفات ، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-38632-6.
• ماير، كارل د. (2000)، تحليل المصفوفات والجبر الخطي التطبيقي ، سيام ، رقم ISBN 978-0-89871-454-8.