مناهضة التماثل

في الرياضيات ، يُعرف التشاكل العكسي بأنه نوع من الدوال المعرفة على المجموعات مع عملية ضرب معكوسة . أما التشاكل العكسي الذاتي فهو تشاكل عكسي قابل للعكس ، أي تشاكل عكسي ، من مجموعة إلى نفسها. ومن خاصية التقابل، يتبين أن التشاكلات العكسية الذاتية لها معكوسات، وأن معكوس التشاكل العكسي الذاتي هو أيضاً تشاكل عكسي ذاتي.

بصورة غير رسمية، يُعرف التشاكل العكسي بأنه دالة تُبدّل ترتيب الضرب. بصورة رسمية، التشاكل العكسي بين بنيتين${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$هو تشاكل${\displaystyle \phi \colon X\to Y^{\text{op}}}$، أين${\displaystyle Y^{\text{op}}}$يساوي${\displaystyle Y}$كمجموعة، ولكن عملية الضرب الخاصة بها معكوسة عن تلك المعرفة على${\displaystyle Y}$. للدلالة على عملية الضرب (غير التبادلية عمومًا ) على${\displaystyle Y}$بواسطة${\displaystyle \cdot }$، عملية الضرب على${\displaystyle Y^{\text{op}}}$، ويرمز إليه بـ${\displaystyle *}$، يتم تعريفها بواسطة${\displaystyle x*y:=y\cdot x}$الشيء${\displaystyle Y^{\text{op}}}$يُطلق عليه اسم الشيء المعاكس لـ${\displaystyle Y}$(على التوالي، المجموعة المعاكسة ، الجبر المعاكس ، الفئة المعاكسة ، إلخ).

هذا التعريف مكافئ لتعريف التشاكل${\displaystyle \phi \colon X^{\text{op}}\to Y}$(عكس العملية قبل أو بعد تطبيق الخريطة متكافئ). رسميًا، إرسال${\displaystyle X}$ل${\displaystyle X^{\text{op}}}$والعمل كعنصر هوية على الخرائط هو دالة (في الواقع، عملية عكسية ).

في نظرية الزمر ، يُعرف التشاكل العكسي بأنه دالة بين زمرتين تعكس ترتيب الضرب. لذا، إذا كان φ  : X → Y تشاكلاً عكسياً بين الزمرتين،

φ ( xy ) = φ ( y ) φ ( x )

لكل x و y في X.​

إنّ الدالة التي تُحوّل x إلى x ^{− 1} مثالٌ على التماثل الذاتي العكسي للمجموعات. ومن الأمثلة المهمة الأخرى عملية النقل في الجبر الخطي ، التي تُحوّل متجهات الصفوف إلى متجهات أعمدة . يمكن نقل أي معادلة متجهة-مصفوفية إلى معادلة مكافئة مع عكس ترتيب العوامل.

في المصفوفات، يُعدّ التحويل المنقول مثالاً على التشاكل العكسي. وبما أن كلاً من الانعكاس والتحويل المنقول يُعطيان تشاكلاً عكسياً، فإن تركيبهما يُشكّل تشاكلاً ذاتياً. يُطلق على هذا التحويل اسم التحويل العكسي، وهو يُقدّم مثالاً على التشاكل الذاتي الخارجي للمجموعة الخطية العامة GL( n , F ) ، حيث F حقل، باستثناء الحالات التالية : | F | = 2 و n = 1 أو 2 ، أو | F | = 3 و n = 1 (أي بالنسبة للمجموعات GL(1, 2) ، GL(2, 2) ، و GL(1, 3) ).

في نظرية الحلقات ، يُعرف التشاكل العكسي بأنه دالة بين حلقتين تحافظ على عملية الجمع، ولكنها تعكس ترتيب الضرب. لذا، فإن φ  : X → Y يكون تشاكلاً عكسياً للحلقات إذا وفقط إذا:

φ (1) = 1

φ ( س + ص ) = φ ( س ) + φ ( ذ )

φ ( xy ) = φ ( y ) φ ( x )

لكل x و y في X. ^{[ 1 ]}​

بالنسبة للجبر على حقل K ، يجب أن تكون φ دالة خطية K للفضاء المتجهي الأساسي . إذا كان للحقل الأساسي دالة انعكاسية، فيمكن بدلاً من ذلك اعتبار φ دالة خطية مترافقة ، كما في النقل المترافق، كما هو موضح أدناه.

إذا كان المصدر X أو الهدف Y تبادليًا، فإن التشاكل المضاد هو نفس التشاكل .

تركيب دالتين مضادتين للتشاكل هو دائمًا تشاكل، لأن عكس الترتيب مرتين يحافظ على الترتيب. تركيب دالة مضادة للتشاكل مع تشاكل يعطي دالة مضادة للتشاكل أخرى .

• شبه مجموعة مع انعكاس