*-الجبر

في الرياضيات ، وتحديدًا في الجبر المجرد ، يُعرف الجبر النجمي (أو الجبر الالتفافي ) بأنه بنية رياضية تتكون من حلقتين التفافيتين $R$ و $A$ ، حيث $R$ تبديلية و $A$ لها بنية جبر ترابطي فوق $R.$ تُعمم الجبريات الالتفافية فكرة نظام عددي مزود بالاقتران، مثل الأعداد المركبة واقترانها ، والمصفوفات فوق الأعداد المركبة ومنقولها المرافق ، والمؤثرات الخطية فوق فضاء هيلبرت والمرافقات الهرميتية . ^مع^ذلك^، قد يحدث ألا يقبل الجبر أي التفاف .

التعريفات

*-جرس

في الرياضيات ، الحلقة * هي حلقة $A$ مع تطبيق $* : A \to A$ الذي هو مضاد للتماثل الذاتي وانعكاس .

وبشكل أدق، يجب أن يستوفي $* الخصائص التالية:$ ^{[ 1 ]}

$(س + ص)* = س * + ص *$
$(س ص)* = ص * س *$
$1* = 1$
$(x *)* = x$

لكل $x و y$ في $A.$

يُطلق على هذا أيضًا اسم الحلقة الانعكاسية ، أو الحلقة الانعكاسية ، أو الحلقة ذات الانعكاس . البديهية الثالثة مُستنتجة من البديهيتين الثانية والرابعة، مما يجعلها زائدة عن الحاجة.

تُسمى العناصر التي تحقق الشرط $x * = x بالعناصر$ المترافقة ذاتيًا . ^{[ 2 ]}

من الأمثلة النموذجية للحلقة النجمية حقول الأعداد المركبة والأعداد الجبرية التي يكون فيها المرافق المركب هو الانعكاس. ويمكن تعريف شكل خطي مزدوج على أي حلقة نجمية.

أيضًا، يمكن للمرء أن يُعرّف *-نسخًا من الكائنات الجبرية، مثل المثالي والحلقة الفرعية ، مع اشتراط أن تكون *- ثابتة : $x \in I \Rightarrow x * \in I$ وهكذا.

* لا علاقة للحلقات النجمية بنصف الحلقات النجمية في نظرية الحوسبة.

*-الجبر

الجبر * $-A$ هو حلقة *-، ^{[ ب ]} مع انعكاس * وهو جبر ترابطي على حلقة *-تبديلية R $مع$ انعكاس $'$ ، بحيث يكون ⁽ $r x)* = r' x * \forall r \in R ، x \in A.$ [ ^{3 ]}

غالباً ما تكون الحلقة الأساسية *-R $هي$ الأعداد المركبة (حيث تعمل $'$ كاقتران مركب).

يستنتج من البديهيات أن * على $A$ مترافق خطيًا في $R$ ، مما يعني

(lect x + μ y)* = lect' x * + μ' y *

لـ $λ و μ \in R و x و y \in A.$

التشاكل *-f $: A \to B هو$ تشاكل جبري متوافق مع عمليات الانعكاس لـ $A$ و $B$ ، أي

$f (a *) = f (a)*$ لجميع $a$ في $A$ .^{[ 2 ]}

فلسفة عملية *

تُشابه عملية النجمة على حلقة النجمة عملية المرافق المركب على الأعداد المركبة. وتُشابه عملية النجمة على جبر النجمة عملية أخذ المرافقات في جبر المصفوفات المركبة .

الترميز

* عملية الالتفاف هي عملية أحادية تُكتب باستخدام رمز النجمة اللاحق المتمركز فوق أو بالقرب من الخط المتوسط :

x \mapsto x *

، أو

x \mapsto x *

( TeX :x^*),

ولكن ليس كـ " $x *$ "; انظر مقالة النجمة لمزيد من التفاصيل.

أمثلة

أي حلقة تبديلية تصبح حلقة * مع الانعكاس التافه ( المتطابق ).
إن المثال الأكثر شيوعًا للحلقة * والجبر * على الأعداد الحقيقية هو حقل الأعداد المركبة $C$ حيث * هو مجرد مرافق مركب .
بشكل أعم، يُعدّ امتداد الحقل الناتج عن إضافة جذر تربيعي (مثل الوحدة التخيلية √ −1 ) جبرًا *- على الحقل الأصلي، ويُعتبر حلقة *- تافهة. وتقلب علامة * إشارة ذلك الجذر التربيعي.
الحلقة الصحيحة التربيعية (لبعض $D$ ) هي حلقة *-تبديلية مع تعريف * بطريقة مماثلة؛ الحقول التربيعية هي جبر *- فوق حلقات الأعداد الصحيحة التربيعية المناسبة.
تشكل الأعداد الرباعية ، والأعداد المركبة المنقسمة ، والأعداد الثنائية ، وربما أنظمة أعداد فائقة التعقيد أخرى ، حلقات * (مع عملية الاقتران المدمجة فيها) وجبر * على الأعداد الحقيقية (حيث * تافه). لا يُعد أي من هذه الثلاثة جبرًا مركبًا.
تشكل رباعيات هورويتز حلقة غير تبادلية * مع اقتران الرباعيات.
جبر المصفوفات للمصفوفات من الرتبة $n \times n$ على R مع * معطى بواسطة عملية النقل .
الجبر المصفوفي للمصفوفات من الرتبة $n \times n$ على C مع * معطى بواسطة المنقول المرافق .
كما أن تعميمها، المرافق الهيرميتي في جبر المؤثرات الخطية المحدودة على فضاء هيلبرت، يحدد أيضًا جبرًا *-.
الحلقة متعددة الحدود $R [x]$ على حلقة تبديلية تافهة-*- $R$ هي جبر *- على $R$ مع $P *(x) = P (- x)$ .
إذا كانت ( A , +, ×, *) في نفس الوقت حلقة *، وجبر على حلقة R (تبديلية)، و ( r x )* = r ( x *) ∀ r ∈ R , x ∈ A ، فإن A هو جبر * على R (حيث * تافه).
- كحالة جزئية، أي حلقة * هي جبر * على الأعداد الصحيحة .
أي حلقة تبديلية *- هي جبر *- فوق نفسها، وبشكل أعم، فوق أي حلقة فرعية *- خاصة بها .
بالنسبة للحلقة *-التبديلية R ، فإن خارج قسمتها على أي مثالي *- الخاص بها هو جبر *- على R.
- على سبيل المثال، أي حلقة تبديلية تافهة من النوع * هي جبر * على حلقة الأعداد المزدوجة الخاصة بها ، وهي حلقة * مع * غير تافهة ، لأن القسمة على $ε = 0$ تجعل الحلقة الأصلية.
- وينطبق الشيء نفسه على الحلقة التبديلية $K$ وحلقة كثيرات الحدود الخاصة بها $K [x]$ : القسمة على $x = 0$ تعيد $K.$
في جبر هيكي ، يعتبر الالتفاف مهمًا لمتعددة حدود كازدان-لوسزتيغ .
تتحول حلقة التشاكل الداخلي لمنحنى إهليلجي إلى جبر *- على الأعداد الصحيحة، حيث يُعطى الانعكاس بأخذ التماثل الثنائي . وينطبق بناء مماثل على الأصناف الأبيلية ذات الاستقطاب ، وفي هذه الحالة يُطلق عليه انعكاس روزاتي (انظر ملاحظات محاضرة ميلن حول الأصناف الأبيلية).

تُعدّ جبريات هوبف الانعكاسية أمثلة مهمة على الجبريات * (مع البنية الإضافية للضرب المشترك المتوافق )؛ والمثال الأكثر شيوعًا هو:

جبر هوبف للمجموعة : حلقة مجموعة ، مع عملية الانعكاس المعطاة بواسطة $g \mapsto g -1$ .

مثال غير صحيح

لا تقبل جميع أنواع الجبر عملية الانعكاس:

لننظر إلى المصفوفات 2×2 على الأعداد المركبة. ولننظر إلى الجبر الفرعي التالي: ${\mathcal {A}}:=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}:a,b\in \mathbb {C} \right\}$

أي تماثل مضاد غير تافه يكون بالضرورة على الشكل التالي: ^{[ 4 ]} $\displaystyle \varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}1&z\\0&0\end{pmatrix}}\quad \varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}$ لأي عدد مركب $z\in \mathbb {C}$ .

ويترتب على ذلك أن أي تماثل مضاد غير تافه يفشل في أن يكون انعكاسياً: $\varphi _{z}^{2}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$

وخلصنا إلى أن الجبر الفرعي لا يقبل أي عملية انعكاس.

هياكل إضافية

تنطبق العديد من خصائص المصفوفة المنقولة على الجبر العام من النوع *:

تشكل العناصر الهرميتية جبر جوردان ؛
تشكل العناصر الهرميتية المائلة جبر لي ؛
$إذا كان العدد$ 2 قابلاً للعكس في الحلقة *، فإن المؤثرين $⁠ ½ ⁠ (1 + *)$ و $⁠$ $½$ $⁠$ $($ $1$ $- *)$ هما عنصران متساويان متعامدان ، ^[²^] يُطلق عليهما اسميْ "متناظر" $و$ " مضاد للتناظر" ، وبالتالي يتحلل الجبر إلى مجموع مباشر لوحدات ( فضاءات متجهة إذا كانت الحلقة * حقلاً) من عناصر متناظرة ومضادة للتناظر (هرميتية وهرميتية معكوسة). لا تُشكل هذه الفضاءات، عمومًا، جبرًا ترابطيًا، لأن العناصر المتساوية هي مؤثرات ، وليست عناصر من الجبر.

الهياكل المائلة

بالنظر إلى حلقة *، يوجد أيضًا التطبيق $-* : x \mapsto - x *$ . لا يُعرّف هذا التطبيق بنية حلقة * (إلا إذا كانت الخاصية 2، وفي هذه الحالة يكون −* مطابقًا للحلقة * الأصلية)، كما هو الحال مع $1 \mapsto -1$ ، كما أنه ليس مضادًا للضرب، ولكنه يحقق البديهيات الأخرى (الخطية، والانعكاسية) وبالتالي فهو مشابه تمامًا للجبر * حيث $x \mapsto x *$ .

العناصر الثابتة بواسطة هذه الخريطة (أي، بحيث يكون $a = - a *$ ) تسمى العناصر الهرميتية المنحرفة .

بالنسبة للأعداد المركبة ذات المرافق المركب، فإن الأعداد الحقيقية هي العناصر الهرميتية، والأعداد التخيلية هي العناصر الهرميتية المنحرفة.

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ في هذا السياق،يُقصد بالانقلاب العكسي الانقلاب العكسي، والمعروف أيضًا باسم الانقلاب العكسي .
↑ لا تتطلب معظم التعريفات أن يكون للجبر * خاصية الوحدة ، أي يُسمح للجبر * أن يكون مولد أرقام عشوائية * فقط.

مراجع

^ وايسستين، اريك دبليو (2015). "جبر سي ستار" . ولفرام ماث وورلد .
1 2 3 بايز، جون (2015). "الأوكتونيونات" . قسم الرياضيات . جامعة كاليفورنيا، ريفرسايد. مؤرشف من الأصل في 26 مارس 2015. تم الاسترجاع في 27 يناير 2015 .
↑ جبر النجوم في مختبر n
↑ وينكر، إس كيه؛ ووس، إل؛ لوسك، إي إل (1981). "أنصاف الزمر، والتشاكلات المضادة، والالتفافات: حل حاسوبي لمسألة مفتوحة، الجزء الأول" . رياضيات الحوسبة . 37 (156): 533-545 . doi : 10.2307/2007445 . ISSN 0025-5718 .

[1] في هذا السياق،يُقصد بالانقلاب العكسي الانقلاب العكسي، والمعروف أيضًا باسم الانقلاب العكسي .

[4] لا تتطلب معظم التعريفات أن يكون للجبر * خاصية الوحدة ، أي يُسمح للجبر * أن يكون مولد أرقام عشوائية * فقط.

[2] وايسستين، اريك دبليو (2015). "جبر سي ستار" . ولفرام ماث وورلد .

[:0-3] 1 2 3 بايز، جون (2015). "الأوكتونيونات" . قسم الرياضيات . جامعة كاليفورنيا، ريفرسايد. مؤرشف من الأصل في 26 مارس 2015. تم الاسترجاع في 27 يناير 2015 .

[5] جبر النجوم في مختبر n

[6] وينكر، إس كيه؛ ووس، إل؛ لوسك، إي إل (1981). "أنصاف الزمر، والتشاكلات المضادة، والالتفافات: حل حاسوبي لمسألة مفتوحة، الجزء الأول" . رياضيات الحوسبة . 37 (156): 533-545 . doi : 10.2307/2007445 . ISSN 0025-5718 .

مع

[ 1 ]

[ ب ]

(

[ 4 ]