تسلسل الاستئناف

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 47 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعرف متتالية أبيل ، نسبةً إلى بول إميل أبيل ، بأنها أي متتالية متعددة الحدود{صن(x)}ن=0،1،2،...{\displaystyle \{p_{n}(x)\}_{n=0,1,2,\ldots }}تحقيق الهوية

ددxصن(x)=نصن-1(x)،{\displaystyle {\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x),}

وفيهاص0(x){\displaystyle p_{0}(x)}هو ثابت غير صفري.

من بين أبرز تسلسلات أبيل، إلى جانب المثال البسيط{xن}{\displaystyle \{x^{n}\}}هي كثيرات حدود هيرميت ، وكثيرات حدود برنولي ، وكثيرات حدود أويلر . كل متتالية أبيل هي متتالية شيفر ، لكن معظم متتاليات شيفر ليست متتاليات أبيل. لمتتاليات أبيل تفسير احتمالي على أنها أنظمة من العزوم .

توصيفات مكافئة لتسلسلات أبيل

يمكن بسهولة ملاحظة أن الشروط التالية على متتابعات كثيرات الحدود متكافئة:

  • لن=1،2،3،...{\displaystyle n=1,2,3,\ldots }،
ددxصن(x)=نصن-1(x){\displaystyle {\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x)}
وص0(x){\displaystyle p_{0}(x)}ثابت غير صفري؛
  • بالنسبة لبعض التسلسلات{جن}ن=0∞{\textstyle \{c_{n}\}_{n=0}^{\infty }}من الكميات القياسية معج0≠0{\displaystyle c_{0}\neq 0}،
صن(x)=∑ك=0ن(نك)جكxن-ك؛{\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}c_{k}x^{nk};}
  • بالنسبة لنفس تسلسل الكميات العددية،
صن(x)=(∑ك=0∞جكك!دك)xن،{\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x^{n},}
أين
د=ددx؛{\displaystyle D={\frac {d}{dx}};}
  • لن=0،1،2،...{\displaystyle n=0,1,2,\ldots }،
صن(x+y)=∑ك=0ن(نك)صك(x)yن-ك.{\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)y^{nk}.}

صيغة التكرار

يفترض

صن(x)=(∑ك=0∞جكك!دك)xن=Sxن،{\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n}=Sx^{n},}

حيث تُستخدم المساواة الأخيرة لتعريف المؤثر الخطيS{\displaystyle S}في فضاء كثيرات الحدود فيx{\displaystyle x}. يترك

تي=S-1=(∑ك=0∞جكك!دك)-1=∑ك=1∞أكك!دك{\displaystyle T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}}

ليكن المؤثر العكسي، المعاملاتأك{\displaystyle a_{k}}وهي تلك الخاصة بالمقلوب المعتاد لسلسلة قوى رسمية ، بحيث

تيصن(x)=xن.{\displaystyle Tp_{n}(x)=x^{n}.\,}

في اصطلاحات حساب الظلال ، غالبًا ما يتم التعامل مع هذه السلسلة الرسمية للقوىتي{\displaystyle T}باعتبارها تمثل تسلسل أبيلصن{\displaystyle p_{n}}يمكن للمرء أن يُعرّف

سجل⁡تي=سجل⁡(∑ك=0∞أكك!دك){\displaystyle \log T=\log \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}\right)}

باستخدام متسلسلة القوى المعتادة لـسجل⁡(x){\displaystyle \log(x)}والتعريف المعتاد لتكوين متسلسلات القوى الرسمية. ثم لدينا

صن+1(x)=(x-(سجل⁡تي)′)صن(x).{\displaystyle p_{n+1}(x)=(x-(\log T)')p_{n}(x).\,}

(هذا التفاضل الرسمي لسلسلة قوى في المؤثر التفاضليد{\displaystyle D}(هذا مثال على تمايز بينشرلي .)

في حالة كثيرات حدود هيرميت ، يختزل هذا إلى صيغة التكرار التقليدية لتلك المتتالية.

مجموعة فرعية من كثيرات حدود شيفر

مجموعة جميع متتابعات أبيل مغلقة تحت عملية التركيب الظلي لمتتابعات كثيرات الحدود، المعرفة على النحو التالي. لنفترض{صن(x):ن=0،1،2،...}{\displaystyle \{p_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \}}و{qن(x):ن=0،1،2،...}{\displaystyle \{q_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \}}هي متتابعات متعددة الحدود، معطاة بواسطة

صن(x)=∑ك=0نأن،كxك و qن(x)=∑ك=0نبن،كxك.{\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}{\text{ و }}q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.}

ثم التركيب الظليص∘q{\displaystyle p\circ q}هي متتالية كثيرات الحدود التين{\displaystyle n}المصطلح هو

(صن∘q)(x)=∑ك=0نأن،كqك(x)=∑0≤ℓ≤ك≤نأن،كبك،ℓxℓ{\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }}

(الرمز السفلي)ن{\displaystyle n}يظهر فيصن{\displaystyle p_{n}}بما أن هذا هون{\displaystyle n}الحد النوني من تلك المتتالية، ولكن ليس فيq{\displaystyle q}(حيث يشير هذا إلى التسلسل ككل وليس إلى أحد حدوده).

في ظل هذه العملية، تُعتبر مجموعة جميع متتاليات شيفر زمرة غير تبديلية ، بينما تُعتبر مجموعة جميع متتاليات أبيل زمرة جزئية تبديلية . ويمكن إثبات أنها تبديلية من خلال النظر إلى حقيقة أن كل متتالية من متتاليات أبيل تأخذ الشكل التالي:

صن(x)=(∑ك=0∞جكك!دك)xن،{\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x^{n},}

وأن التركيب الظلي لمتتاليات أبيل يتوافق مع ضرب هذه المتسلسلات الشكلية للقوى في المؤثرد{\displaystyle D}.

اتفاقية مختلفة

ثمة اصطلاح آخر يتبعه بعض المؤلفين (انظر تشيهارا ) يُعرّف هذا المفهوم بطريقة مختلفة، تتعارض مع تعريف أبيل الأصلي، وذلك باستخدام الهوية

ددxصن(x)=صن-1(x){\displaystyle {d \over dx}p_{n}(x)=p_{n-1}(x)}

بدلاً من.

كثيرات حدود أبيل الهندسية الفائقة

يمكن الحصول على الفئة الهائلة من كثيرات حدود أبيل بدلالة الدالة الهندسية الفائقة المعممة .

يتركΔ(ك،-ن){\displaystyle \Delta (k,-n)}يشير إلى مصفوفة منك{\displaystyle k}النسب

-نك،-ن-1ك،...،-ن-ك+1ك،ن∈شمال0،ك∈شمال.{\displaystyle -{\frac {n}{k}},-{\frac {n-1}{k}},\ldots ,-{\frac {n-k+1}{k}},\quad n\in {\mathbb {N} }_{0},k\in \mathbb {N} .}

لنفترض متعددة الحدود أن،ص،q(ك)(أ،ب؛م،x)=xنك+صFq(أ1،أ2،...،أص،Δ(ك،-ن)؛ب1،ب2،...،بq؛مxك)،ن،م∈شمال0،ك∈شمال{\displaystyle A_{n,p,q}^{(k)}(a,b;m,x)=x^{n}{}_{k+p}F_{q}\left({a_{1}},{a_{2}},\ldots ,{a_{p}},\Delta (k,-n);{b_{1}},{b_{2}},\ldots ,{b_{q}};{\frac {m}{x^{k}}}\right),\quad n,m\in \mathbb {N} _{0},k\in \mathbb {N} }

أينك+صFq{\displaystyle {}_{k+p}F_{q}}هي الدالة الهندسية الفائقة المعممة.

نظرية. عائلة كثيرات الحدود{أن،ص،q(ك)(أ،ب؛م،x)}{\displaystyle \{A_{n,p,q}^{(k)}(a,b;m,x)\}}هي متتالية أبيل لأي معلمات طبيعيةأ،ب،ص،q،م،ك{\displaystyle a,b,p,q,m,k}.

على سبيل المثال، إذاص=0،q=0،{\displaystyle p=0,q=0,}ك=م،{\displaystyle k=m,}م=(-1)كحكك{\displaystyle m=(-1)^{k}h{k^{k}}}ثم كثيرات الحدودأن،ص،q(ك)(م،x){\displaystyle A_{n,p,q}^{(k)}(m,x)}تصبح متعددات حدود غولد-هوبرزنم(x،ح){\displaystyle g_{n}^{m}(x,h)}وإذاص=0،q=0،م=-2،ك=2{\displaystyle p=0,q=0,m=-2,k=2}تصبح هذه كثيرات حدود هيرميتحن(x){\displaystyle H_{n}(x)}.

انظر أيضاً

مراجع