رقم اللف

اقترح أوغست فرديناند موبيوس قاعدةً تركيبيةً بسيطةً لتحديد عدد اللفات عام 1865 ^{[ 1 ]} ، ثم أعاد جيمس واديل ألكسندر الثاني اقتراحها بشكلٍ مستقل عام 1928 ^{[ 2 ].} أي منحنى يقسم المستوى إلى عدة مناطق متصلة، إحداها غير محدودة. تتساوى أعداد اللفات للمنحنى حول نقطتين في المنطقة نفسها. أما عدد اللفات حول أي نقطة في المنطقة غير المحدودة فيساوي صفرًا. وأخيرًا، يختلف عدد اللفات لأي منطقتين متجاورتين بمقدار 1 بالضبط؛ وتظهر المنطقة ذات عدد اللفات الأكبر على الجانب الأيسر من المنحنى (بالنسبة للحركة لأسفل المنحنى).

تلعب أعداد اللف دورًا بالغ الأهمية في التحليل المركب (انظر نص نظرية البواقي ). في سياق التحليل المركب ، يُشير عدد اللف لمنحنى مغلق إلى عدد اللف.${\displaystyle \gamma }$يمكن التعبير عن الإحداثي المركب في المستوى المركب بدلالة الإحداثي المركب z = x + iy . وبالتحديد، إذا كتبنا z  = re ^iθ ، فإن 

${\displaystyle dz=e^{i\theta }dr+ire^{i\theta }d\theta }$

وبالتالي

${\displaystyle {\frac {dz}{z}}={\frac {dr}{r}}+i\,d\theta =d[\ln r]+i\,d\theta .}$

مثل${\displaystyle \gamma }$إذا كان منحنى مغلقًا، فإن التغير الكلي في${\displaystyle \ln(r)}$يساوي صفرًا، وبالتالي فإن تكامل${\textstyle {\frac {dz}{z}}}$يساوي${\displaystyle i}$مضروبًا في إجمالي التغير في${\displaystyle \theta }$وبالتالي، فإن عدد لفات المسار المغلق${\displaystyle \gamma }$أما عن الأصل فيتم تحديده من خلال التعبير ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {dz}{z}}\,.}$

وبشكل أعم، إذا${\displaystyle \gamma }$هي منحنى مغلق يتم تحديده بواسطة${\displaystyle t\in [\alpha ,\beta ]}$، رقم اللف${\displaystyle \gamma }$عن${\displaystyle z_{0}}$، والمعروف أيضًا باسم فهرس${\displaystyle z_{0}}$بالنسبة إلى${\displaystyle \gamma }$، يتم تعريفها للمركبات المعقدة${\displaystyle z_{0}\notin \gamma ([\alpha ,\beta ])}$كما ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z_{0}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {\gamma '(t)}{\gamma (t)-z_{0}}}dt.}$

هذه حالة خاصة من صيغة كوشي التكاملية الشهيرة .

تُعطى بعض الخصائص الأساسية لرقم اللف في المستوى المركب من خلال النظرية التالية: ^{[ 5 ]}

نظرية. ليكن${\displaystyle \gamma$ ليكن المسار المغلق هو : [α, β] → C، وليكن ${\displaystyle \Omega }$ليكن المتممة للمجموعة لصورة${\displaystyle \gamma }$، إنه، ${\displaystyle \Omega$ :=\mathbb {C} \setminus \gamma ([\alpha ,\beta ])} . ثم يكون دليل${\displaystyle z}$بالنسبة إلى${\displaystyle \gamma }$،$${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }:\Omega \to \mathbb {C} ,\ \ z\mapsto {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}},}$$(أ) ذات قيمة عددية صحيحة، أي${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z)\in \mathbb {Z} }$للجميع${\displaystyle z\in \Omega }$(ii) ثابت على كل مكون (أي، مجموعة فرعية متصلة قصوى) من${\displaystyle \Omega }$و(ثالثاً) صفر إذا${\displaystyle z}$يقع في المكون غير المحدود من${\displaystyle \Omega }$.

وكنتيجة مباشرة، تعطي هذه النظرية عدد لفات المسار الدائري${\displaystyle \gamma }$ about a point ${\displaystyle z}$. As expected, the winding number counts the number of (counterclockwise) loops ${\displaystyle \gamma }$ makes around ${\displaystyle z}$:

Corollary.If ${\displaystyle \gamma }$ is the path defined by ${\displaystyle \gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z} }$, then${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z)={\begin{cases}n,&|z-a|<r;\\0,&|z-a|>r.\end{cases}}}$

In topology, the winding number is an alternate term for the degree of a continuous mapping. In physics, winding numbers are frequently called topological quantum numbers. In both cases, the same concept applies.

The above example of a curve winding around a point has a simple topological interpretation. The complement of a point in the plane is homotopy equivalent to the circle, such that maps from the circle to itself are really all that need to be considered. It can be shown that each such map can be continuously deformed to (is homotopic to) one of the standard maps ${\displaystyle S^{1}\to S^{1}:s\mapsto s^{n}}$, where multiplication in the circle is defined by identifying it with the complex unit circle. The set of homotopy classes of maps from a circle to a topological space form a group, which is called the first homotopy group or fundamental group of that space. The fundamental group of the circle is the additive group of the integers, Z; and the winding number of a complex curve is just its homotopy class.

Maps from the 3-sphere to itself are also classified by an integer which is also called the winding number or sometimes Pontryagin index.

في المضلعات ، يُشار إلى عدد الالتفافات بكثافة المضلع . بالنسبة للمضلعات المحدبة، وبشكل أعم المضلعات البسيطة (غير المتقاطعة ذاتيًا)، تكون الكثافة 1، وفقًا لنظرية منحنى جوردان . في المقابل، بالنسبة للمضلع النجمي المنتظم { p / q }، تكون الكثافة q .

لا يمكن تحديد رقم الانعطاف للمنحنيات الفضائية لأن الدرجة تتطلب أبعادًا متطابقة. ومع ذلك، بالنسبة للمنحنيات الفضائية المغلقة والمحدبة محليًا ، يمكن تعريف إشارة الانعطاف المماسية على النحو التالي:${\displaystyle (-1)^{d}}$، أين${\displaystyle d}$يمثل رقم الدوران للإسقاط المجسم لمؤشر المماس الخاص به . تتوافق قيمتاه مع فئتي التماثل غير المنحلة للمنحنيات المحدبة محليًا . ^{[ 8 ] [ 9 ]}

يمكن استخدام رقم التفاف النقطة بالنسبة للمضلع لحل مشكلة النقطة داخل المضلع (PIP) - أي أنه يمكن استخدامه لتحديد ما إذا كانت النقطة داخل المضلع أم لا.

عمومًا، تُعدّ خوارزمية إسقاط الأشعة بديلًا أفضل لمسألة PIP لأنها لا تتطلب دوالًا مثلثية، على عكس خوارزمية عدد اللفات. مع ذلك، يمكن تسريع خوارزمية عدد اللفات بحيث لا تتطلب هي الأخرى حسابات تتضمن دوالًا مثلثية. ^{[ 10 ]} يُوصى باستخدام النسخة المُسرّعة من الخوارزمية، والمعروفة أيضًا بخوارزمية صنداي، في الحالات التي تتطلب مراعاة المضلعات غير البسيطة.