نظرية الباقي

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 98 صور
الموسوعة الحرة

في التحليل المركب ، تُعدّ نظرية البواقي ، التي تُسمى أحيانًا نظرية بواقي كوشي ، أداةً فعّالةً لحساب التكاملات الخطية للدوال التحليلية على المنحنيات المغلقة؛ ويمكن استخدامها أيضًا لحساب التكاملات الحقيقية والمتسلسلات اللانهائية . وهي تُعمّم نظرية كوشي التكاملية وصيغة كوشي التكاملية . يجب عدم الخلط بين نظرية البواقي وحالات خاصة من نظرية ستوكس المعممة ؛ مع ذلك، يمكن استخدام الأخيرة كجزء من برهانها.

نص نظرية البقايا لكوشي

البيان كالتالي:

رسم توضيحي للمكان

نظرية الباقي : ليكنيو{\displaystyle U}ليكن مجموعة فرعية مفتوحة بسيطة الاتصال من المستوى المركب تحتوي على قائمة منتهية من النقاطأ1،...،أن{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}،​​يو0=يو∖{أ1،...،أن}{\displaystyle U_{0}=U\smallsetminus \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}ودالة​و{\displaystyle f}هولومورفي على​يو0{\displaystyle U_{0}}تأجير​γ{\displaystyle \gamma }لتكن منحنى مغلقًا قابلًا للتصحيح فييو0{\displaystyle U_{0}}، ويدلعلى باقيو{\displaystyle f}عند كل نقطةأك{\displaystyle a_{k}}بواسطةريس⁡(و،أك){\displaystyle \operatorname {Res} (f,a_{k})}وعدد اللفات لـγ{\displaystyle \gamma }حولأك{\displaystyle a_{k}}بواسطة​أنا⁡(γ،أك){\displaystyle \operatorname {I} (\gamma ,a_{k})}، التكامل الخطي لـو{\displaystyle f}حولγ{\displaystyle \gamma }يساوي2πأنا{\displaystyle 2\pi i}مضروبًا في مجموع البقايا، كل منها يُحسب بنفس عدد المراتγ{\displaystyle \gamma }تهب الرياح حول النقطة المعنية: ∮γو(z)دz=2πأنا∑ك=1نأنا⁡(γ،أك)ريس⁡(و،أك).{\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}

لوγ{\displaystyle \gamma }هو منحنى مغلق بسيط ذو اتجاه إيجابي ،أنا⁡(γ،أك){\displaystyle \operatorname {I} (\gamma ,a_{k})}يكون1{\displaystyle 1}لوأك{\displaystyle a_{k}}يقع في الجزء الداخلي منγ{\displaystyle \gamma }و0{\displaystyle 0}وإلا، ∮γو(z)دz=2πأنا∑ريس⁡(و،أك){\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (f,a_{k})} مع المجموع على تلكأك{\displaystyle a_{k}}في الداخلγ{\displaystyle \gamma }[ 1 ]​​

تُحدد نظرية منحنى جوردان العلاقة بين نظرية البقايا ونظرية ستوكس. يجب أولاً اختزال المنحنى المستوي العام γ إلى مجموعة من المنحنيات المغلقة البسيطة.{γأنا}{\displaystyle \{\gamma _{i}\}}مجموعها يعادلγ{\displaystyle \gamma }لأغراض التكامل؛ هذا يختزل المشكلة إلى إيجاد تكاملودz{\displaystyle f\,dz}على طول منحنى الأردنγأنا{\displaystyle \gamma _{i}}مع تصميم داخليV{\displaystyle V}الشرط الذيو{\displaystyle f}يكون هولومورفيًا علىيو0=يو∖{أك}{\displaystyle U_{0}=U\smallsetminus \{a_{k}\}}يكافئ ذلك القول بأن المشتق الخارجيد(ودz)=0{\displaystyle d(f\,dz)=0}في​يو0{\displaystyle U_{0}}وبالتالي ، إذا كانت منطقتان مستويتانV{\displaystyle V}ودبليو{\displaystyle W}ليو{\displaystyle U}أحاط بنفس المجموعة الفرعية{أج}{\displaystyle \{a_{j}\}}من​{أك}{\displaystyle \{a_{k}\}}المناطق​V∖دبليو{\displaystyle V\smallsetminus W}ودبليو∖V{\displaystyle W\smallsetminus V}تقع بالكامل فييو0{\displaystyle U_{0}}وبالتالي​ ∫V∖دبليود(ودz)-∫دبليو∖Vد(ودz){\displaystyle \int _{V\smallsetminus W}d(f\,dz)-\int _{W\smallsetminus V}d(f\,dz)} وهي محددة جيدًا وتساوي صفرًا. وبالتالي، فإن التكامل الكفافي لـودz{\displaystyle f\,dz}على امتدادγج=∂V{\displaystyle \gamma _{j}=\partial V}يساوي مجموع مجموعة من التكاملات على طول المسارات ⁠γج{\displaystyle \gamma _{j}}، كل منها يحيط بمنطقة صغيرة بشكل تعسفي حول واحدةأج{\displaystyle a_{j}}— بقاياو{\displaystyle f}(حتى العامل التقليدي)2πأنا{\displaystyle 2\pi i}في​{أج}{\displaystyle \{a_{j}\}}. جمع على{γج}{\displaystyle \{\gamma _{j}\}}⁠ ، نستعيد الصيغة النهائية للتكامل الكفافي بدلالة أرقام اللف ⁠{أنا⁡(γ،أك)}{\displaystyle \{\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\}}⁠ .

لتقييم التكاملات الحقيقية، تُستخدم نظرية البواقي بالطريقة التالية: يُمدد الجزء المراد تكامله إلى المستوى المركب، وتُحسب بواقيه (وهو أمر سهل عادةً)، ثم يُمدد جزء من المحور الحقيقي إلى منحنى مغلق بإضافة نصف دائرة في النصف العلوي أو السفلي من المستوى، مُشكلاً نصف دائرة. بعد ذلك، يُمكن حساب التكامل على هذا المنحنى باستخدام نظرية البواقي. غالبًا ما يؤول جزء نصف الدائرة من التكامل إلى الصفر مع ازدياد نصف قطر نصف الدائرة، ليتبقى فقط جزء المحور الحقيقي من التكامل، وهو الجزء الذي كنا مهتمين به في الأصل.

حساب البقايا

لنفترض وجود قرص مثقوبد={z:0<|z-ج|<R}{\displaystyle D=\{z:0<\vert zc\vert <R\}}معطى في المستوى المركب وو{\displaystyle f}⁠ دالة تحليلية معرفة (على الأقل) على ⁠د{\displaystyle D}البقايا​​ريس⁡(و،ج){\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)}من​​و{\displaystyle f}في​​ج{\displaystyle c}هو المعامل​أ-1{\displaystyle a_{-1}}من​​(z-ج)-1{\displaystyle (zc)^{-1}}في سلسلة لوران الموسعة منو{\displaystyle f}حول​​ج{\displaystyle c}توجد طرق مختلفة لحساب هذه القيمة ، ويعتمد اختيار الطريقة التي سيتم استخدامها على الدالة المعنية، وعلى طبيعة التفرد.

وفقًا لنظرية البواقي، لدينا:

ريس⁡(و،ج)=12πأنا∮γو(z)دz{\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz}

أين​γ{\displaystyle \gamma }يرسم دائرة حولج{\displaystyle c}في اتجاه عكس عقارب الساعة ، ولا يمر عبر أي نقاط تفرد أخرى أو يحتوي عليها. يمكننا اختيار المسار .γ{\displaystyle \gamma }أن تكون دائرة نصف قطرهاε{\displaystyle \varepsilon }حول​​ج{\displaystyle c}منذ​​ε{\displaystyle \varepsilon }يمكن أن يكون صغيرًا كما نشاء، ويمكن جعله يحتوي فقط على تفردج{\displaystyle c}بسبب طبيعة النقاط الشاذة المعزولة. يمكن استخدام هذا في الحساب في الحالات التي يمكن فيها حساب التكامل مباشرةً، ولكن عادةً ما تُستخدم البواقي لتبسيط حساب التكاملات، وليس العكس.

نقاط تفرد قابلة للإزالة

إذا كانت الدالةو{\displaystyle f}يمكن تمديدهاإلى دالة هولومورفية على القرص بأكمله .|y-ج|<R{\displaystyle \vert yc\vert <R}ثم​​ريس⁡(و،ج)=0{\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=0}. ليس العكس صحيحاً بشكل عام.

أعمدة بسيطة

إذا​ج{\displaystyle c}⁠ هو قطب بسيط من ⁠و{\displaystyle f}، بقايا​و{\displaystyle f}يُعطى بواسطة:

ريس⁡(و،ج)=ليمz→ج(z-ج)و(z).{\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}

إذا لم يكن هذا الحد موجودًا، فإنو{\displaystyle f}بدلاً من ذلك ، توجد نقطة تفرد أساسية عندج{\displaystyle c}إذا كان الحد هو0{\displaystyle 0}ثم​​و{\displaystyle f}إما أن يكون تحليليًا فيج{\displaystyle c}أو أن لها نقطة تفرد قابلة للإزالة هناك. إذا كانت النهاية تساوي اللانهاية، فإن رتبة القطب تكون أعلى من1{\displaystyle 1}⁠ .

قد يكون ذلك هو الوظيفةو{\displaystyle f}يمكن التعبير عن ذلك كحاصل قسمة دالتين ،و(z)=ز(z)/ح(z){\displaystyle f(z)={g(z)}/{h(z)}}، حيث​ز{\displaystyle g}و​​ح{\displaystyle h}⁠ هي دوال هولومورفية في جوار ⁠ج{\displaystyle c}، مع​ح(ج)=0{\displaystyle h(c)=0}و​​ ح′(ج)≠0{\displaystyle h'(c)\neq 0}في مثل هذه الحالة، يمكن استخدام قاعدة لوبيتال لتبسيط الصيغة أعلاه إلى:

ريس⁡(و،ج)=ليمz→ج(z-ج)و(z)=ليمz→جzز(z)-جز(z)ح(z)=ليمz→جز(z)+zز′(z)-جز′(z)ح′(z)=ز(ج)ح′(ج).{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(z-c)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg'(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{aligned}}}

صيغة الحد للأقطاب ذات الرتبة الأعلى

وبشكل أعم، إذاج{\displaystyle c}هو قطبالنظام​​ص{\displaystyle p}ثم بقايا​و{\displaystyle f}حول​​z=ج{\displaystyle z=c}يمكن إيجادها باستخدام الصيغة التالية:

ريس⁡(و،ج)=1(ص-1)!ليمz→جدص-1دzص-1((z-ج)صو(z)).{\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={\frac {1}{(p-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{p-1}}{dz^{p-1}}}\left((z-c)^{p}f(z)\right).}

تُعدّ هذه الصيغة مفيدةً جدًا في تحديد البواقي للأقطاب ذات الرتبة المنخفضة. أما بالنسبة للأقطاب ذات الرتبة الأعلى، فقد تصبح الحسابات معقدةً للغاية، وعادةً ما يكون استخدام متسلسلة تايلور أسهل. بالنسبة للحالات الشاذة الأساسية ، لا توجد صيغة بسيطة كهذه، وعادةً ما تُستخرج البواقي مباشرةً من متسلسلات تايلور.

الباقي عند اللانهاية

بشكل عام، يُعرَّف الباقي عند اللانهاية على النحو التالي:

ريس⁡(و(z)،∞)=-ريس(1z2و(1z)،0).{\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-{\operatorname {Res} }\left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right).}

إذا تحقق الشرط التالي:

ليم|z|→∞و(z)=0،{\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=0,}

ثم يمكن حساب الباقي عند اللانهاية باستخدام الصيغة التالية:

ريس⁡(و،∞)=-ليم|z|→∞zو(z).{\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }zf(z).}

أما إذا

ليم|z|→∞و(z)=ج≠0،{\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0,}

إذن، الباقي عند اللانهاية هو

ريس⁡(و،∞)=ليم|z|→∞z2و′(z).{\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}f'(z).}

بالنسبة للدوال الميرومورفية على المستوى المركب بأكمله مع عدد محدود من النقاط الشاذة، فإن مجموع البواقي عند النقاط الشاذة المعزولة (بالضرورة) بالإضافة إلى الباقي عند اللانهاية يساوي صفرًا، مما يعطي:

ريس⁡(و(z)،∞)=-∑كريس⁡(و(z)،أك).{\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\sum _{k}\operatorname {Res} (f(z),a_{k}).}

طرق السلاسل

إذا أمكن توسيع أجزاء من دالة ما أو كلها إلى متسلسلة تايلور أو متسلسلة لوران ، وهو أمر ممكن إذا كانت أجزاء الدالة أو كلها قابلة للتوسيع القياسي، فإن حساب الباقي يكون أبسط بكثير من الطرق الأخرى. يُعطى باقي الدالة ببساطة بمعامل ⁠(z-ج)-1{\displaystyle (z-c)^{-1}}في توسيع متسلسلة لوران للدالة.

أمثلة

التكامل على طول المحور الحقيقي

التكامل ∫-∞∞هـأناتxx2+1دx{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx}

الخط المحيطي ج

يظهر هذا المفهوم في نظرية الاحتمالات عند حساب الدالة المميزة لتوزيع كوشي . وهو يقاوم تقنيات حساب التفاضل والتكامل الأساسي ، ولكن يمكن تقييمه من خلال التعبير عنه كحد لتكاملات الكفاف .

لنفترض أن t > 0 ولنُعرّف المسار C الذي يمتد على طول خط الأعداد الحقيقية من −a إلى a ، ثم عكس اتجاه عقارب الساعة على طول نصف دائرة مركزها 0 من a إلى −a . لنفترض أن a أكبر من 1، بحيث تكون الوحدة التخيلية i محصورة داخل المنحنى. الآن، لننظر في التكامل المساري ∫جو(z)دz=∫جهـأناتzz2+1دz.{\displaystyle \int _{C}{f(z)}\,dz=\int _{C}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz.}

بما أن e itz دالة كاملة (لا تحتوي على نقاط شاذة في أي نقطة في المستوى المركب)، فإن هذه الدالة تحتوي على نقاط شاذة فقط عندما يكون المقام z² + 1 يساوي صفرًا. وبما أن z² + 1 = ( z + i )( z - i ) ، فإن ذلك يحدث فقط عندما z = i أو z = -i . إحدى هاتين النقطتين فقط تقع في المنطقة المحصورة بهذا المسار. ولأن f ( z )هـأناتzz2+1=هـأناتz2أنا(1z-أنا-1z+أنا)=هـأناتz2أنا(z-أنا)-هـأناتz2أنا(z+أنا)،{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}&={\frac {e^{itz}}{2i}}\left({\frac {1}{z-i}}-{\frac {1}{z+i}}\right)\\&={\frac {e^{itz}}{2i(z-i)}}-{\frac {e^{itz}}{2i(z+i)}},\end{aligned}}} باقي الدالة f ( z ) عند z = i هو ​ريسz=أنا⁡و(z)=هـ-ت2أنا.{\displaystyle \operatorname {Res} _{z=i}f(z)={\frac {e^{-t}}{2i}}.}

وبناءً على نظرية البواقي، لدينا ∫جو(z)دz=2πأنا⋅ريسz=أنا⁡و(z)=2πأناهـ-ت2أنا=πهـ-ت.{\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\cdot \operatorname {Res} \limits _{z=i}f(z)=2\pi i{\frac {e^{-t}}{2i}}=\pi e^{-t}.}

يمكن تقسيم المحيط C إلى جزء مستقيم وقوس منحني، بحيث ∫sترأأنازحتو(z)دz+∫أرجو(z)دz=πهـ-ت{\displaystyle \int _{\mathrm {straight} }f(z)\,dz+\int _{\mathrm {arc} }f(z)\,dz=\pi e^{-t}} وبالتالي ∫-أأو(z)دz=πهـ-ت-∫أرجو(z)دz.{\displaystyle \int _{-a}^{a}f(z)\,dz=\pi e^{-t}-\int _{\mathrm {arc} }f(z)\,dz.}

باستخدام بعض التقديرات ، لدينا |∫أرجهـأناتzz2+1دz|≤πأ⋅رشفةقوس|هـأناتzz2+1|≤πأ⋅رشفةقوس1|z2+1|≤πأأ2-1،{\displaystyle \left|\int _{\mathrm {arc} }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz\right|\leq \pi a\cdot \sup _{\text{arc}}\left|{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\right|\leq \pi a\cdot \sup _{\text{arc}}{\frac {1}{|z^{2}+1|}}\leq {\frac {\pi a}{a^{2}-1}},} و ليمأ→∞πأأ2-1=0.{\displaystyle \lim _{a\to \infty }{\frac {\pi a}{a^{2}-1}}=0.}

يُستنتج التقدير على البسط من كون t > 0 ، وبالنسبة للأعداد المركبة z على طول القوس (الذي يقع في النصف العلوي من المستوى المركب )، فإن قيمة φ للعدد z تقع بين 0 و π . لذا، |هـأناتz|=|هـأنات|z|(كوس⁡φ+أناالخطيئة⁡φ)|=|هـ-ت|z|الخطيئة⁡φ+أنات|z|كوس⁡φ|=هـ-ت|z|الخطيئة⁡φ≤1.{\displaystyle \left|e^{itz}\right|=\left|e^{it|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )}\right|=\left|e^{-t|z|\sin \varphi +it|z|\cos \varphi }\right|=e^{-t|z|\sin \varphi }\leq 1.}

لذلك، ∫-∞∞هـأناتzz2+1دz=πهـ-ت.{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{-t}.}

إذا كانت t < 0، فإن حجة مماثلة باستخدام قوس C ′ يلتف حول − i بدلاً من i تُظهر أن

الخط المحيطي C ′

∫-∞∞هـأناتzz2+1دz=πهـت،{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{t},} وأخيراً لدينا ∫-∞∞هـأناتzz2+1دz=πهـ-|ت|.{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.}

(إذا كانت t = 0 فإن التكامل يخضع مباشرة لطرق حساب التفاضل والتكامل الأولية وقيمته هي π .)

تقييم دوال زيتا

يمكن استخدام حقيقة أن π cot( πz ) لها أقطاب بسيطة بباقي يساوي 1 عند كل عدد صحيح لحساب المجموع ∑ن=-∞∞و(ن).{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n).}

لنفترض، على سبيل المثال، f ( z ) = z - 2. ولتكن ΓN المستطيل الذي يمثل حدود [ -N - 1/2 , N + 1/2 ] ² باتجاه موجب، حيث N عدد صحيح . باستخدام صيغة الباقي ،12πأنا∫Γشمالو(z)πسرير أطفال⁡(πz)دz=ريسz=0+∑ن=-شمالن≠0شمالن-2.{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\,dz=\operatorname {Res} \limits _{z=0}+\sum _{n=-N \atop n\neq 0}^{N}n^{-2}.}

يؤول الطرف الأيسر إلى الصفر عندما N → ∞ لأن|سرير أطفال⁡(πz)|{\displaystyle |\cot(\pi z)|}يتم تحديد حدودها بشكل منتظم على المحيط، وذلك بفضل استخدامx=±(12+شمال){\displaystyle x=\pm \left({\frac {1}{2}}+N\right)}على الجانبين الأيمن والأيسر من المحيط، وبالتالي فإن الدالة التكاملية لها رتبةيا(شمال-2){\displaystyle O(N^{-2})}على كامل المحيط. من ناحية أخرى، [ 2 ]z2سرير أطفال⁡(z2)=1-ب2z22!+⋯{\displaystyle {\frac {z}{2}}\cot \left({\frac {z}{2}}\right)=1-B_{2}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots }حيث رقم برنوليب2=16{\displaystyle B_{2}={\frac {1}{6}}}⁠ .

(في الواقع، ⁠ z / 2 ⁠ cot( ⁠ z / 2 ⁠ ) = ⁠ iz / 1 − e − iz ⁠ − ⁠ iz / 2 ⁠ .) وبالتالي، فإن الباقي Res z =0 هو − ⁠ π 2 / 3 ⁠ . نستنتج ما يلي: ∑ن=1∞1ن2=π26{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}} وهذا دليل على مشكلة بازل .

ينطبق نفس المنطق على الجميع.و(x)=x-2ن{\displaystyle f(x)=x^{-2n}}أينن{\displaystyle n}هو عدد صحيح موجب، مما يعطيناζ(2ن)=(-1)ن+1ب2ن(2π)2ن2(2ن)!.{\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}.}لا تنجح هذه الحيلة عندماو(x)=x-2ن-1{\displaystyle f(x)=x^{-2n-1}}، لأنه في هذه الحالة، يتلاشى الباقي عند الصفر، ونحصل على المتطابقة غير المفيدة0+ζ(2ن+1)-ζ(2ن+1)=0{\displaystyle 0+\zeta (2n+1)-\zeta (2n+1)=0}⁠ .

تقييم سلسلة أيزنشتاين

يمكن استخدام نفس الحيلة لتحديد مجموع متسلسلة أيزنشتاين :πسرير أطفال⁡(πz)=ليمشمال→∞∑ن=-شمالشمال(z-ن)-1.{\displaystyle \pi \cot(\pi z)=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}(z-n)^{-1}.}

دليل

اختر عشوائيًاw∈ج∖Z{\displaystyle w\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} }كما سبق، حدد ز(z):=1w-zπسرير أطفال⁡(πz){\displaystyle g(z):={\frac {1}{w-z}}\pi \cot(\pi z)}

بحسب نظرية البقايا لكوشي، لجميعشمال{\displaystyle N}كبيرة بما يكفي بحيثΓشمال{\displaystyle \Gamma _{N}}يحيط​w{\displaystyle w}،​ 12πأنا∮Γشمالز(z)دz=-πسرير أطفال⁡(πz)+∑ن=-شمالشمال1z-ن{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{N}}g(z)dz=-\pi \cot(\pi z)+\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{z-n}}}

يبقى إثبات أن التكامل يتقارب إلى الصفر.πسرير أطفال⁡(πz)/z{\displaystyle \pi \cot(\pi z)/z}هي دالة زوجية، وΓشمال{\displaystyle \Gamma _{N}}إذا كان متناظرًا حول نقطة الأصل ، فلدينا∮Γشمالπسرير أطفال⁡(πz)/zدz=0{\displaystyle \oint _{\Gamma _{N}}\pi \cot(\pi z)/zdz=0}وهكذا​ ∮Γشمالز(z)دz=∮Γشمال(1z+1w-z)πسرير أطفال⁡(πz)دz=-w∮Γشمال1z(z-w)πسرير أطفال⁡(πz)دz=يا(1/شمال){\displaystyle \oint _{\Gamma _{N}}g(z)dz=\oint _{\Gamma _{N}}\left({\frac {1}{z}}+{\frac {1}{w-z}}\right)\pi \cot(\pi z)dz=-w\oint _{\Gamma _{N}}{\frac {1}{z(z-w)}}\pi \cot(\pi z)dz=O(1/N)}

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ Whittaker & Watson 1920 ، ص 112 ، §6.1 . 
  2. ↑ ويتاكر وواتسون 1920 ، ص 125، §7.2 . لاحظ أن عدد برنولي ب2ن{\displaystyle B_{2n}}يُرمز إليه بـبن{\displaystyle B_{n}}في كتاب ويتاكر وواتسون.

مراجع