البقايا (التحليل المعقد)

كمثال على ذلك، ضع في اعتبارك التكامل الكفافي

${\displaystyle \oint _{C}{e^{z} \over z^{5}}\,dz}$

أين​${\displaystyle C}$⁠ هو منحنى مغلق بسيط حول ⁠${\displaystyle 0}$⁠ .

لنقم بتقييم هذا التكامل باستخدام نتيجة تقارب قياسية تتعلق بالتكامل باستخدام المتسلسلات. باستبدال متسلسلة تايلور بـ${\displaystyle e^{z}}$بإدخال التكامل في الدالة المراد تكاملها، يصبح التكامل

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz.}$

لنبدأ بإدخال المصطلح${\displaystyle 1/z^{5}}$في المتسلسلة. ثم يكتب التكامل الكفافي للمتسلسلة

${\displaystyle {\begin{aligned}&\oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz\\[4pt]={}&\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.\end{aligned}}}$

بما أن المتسلسلة تتقارب بانتظام على نطاق مسار التكامل، يُسمح لنا بتبديل التكامل والجمع. عندئذٍ، تنهار متسلسلة تكاملات المسار إلى شكل أبسط بكثير بسبب الحساب السابق. لذا، فإن التكامل حول ⁠${\displaystyle C}$من كل مصطلح آخر ليس على شكل${\displaystyle cz^{-1}}$يساوي صفرًا، ويُختزل التكامل إلى

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over 4!\,z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}.}$

القيمة 1/4! هي باقي قسمة ⁠${\displaystyle e^{z}/z^{5}}$في​​${\displaystyle z=0}$، ويُشار إليه بـ

${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} _{z=0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} (f,0){\text{ for }}f={e^{z} \over z^{5}}.}$

كمثال ثانٍ، لنفترض حساب البواقي عند نقاط التفرد للدالة$${\displaystyle f(z)={\sin z \over z^{2}-z}}$$والتي يمكن استخدامها لحساب بعض التكاملات الكفافية. ويبدو أن هذه الدالة لها نقطة تفرد عند ⁠${\displaystyle z=0}$لكن إذا قمنا بتحليل المقام، وبالتالي كتابة الدالة على النحو التالي:$${\displaystyle f(z)={\sin z \over z(z-1)}}$$من الواضح أن التفرد عند ⁠${\displaystyle z=0}$هي نقطة تفرد قابلة للإزالة ، ثم البقايا عند${\displaystyle z=0}$وبالتالي​​${\displaystyle 0}$النقطة الشاذة الأخرى الوحيدة هي عند${\displaystyle z=1}$تذكر صيغة متسلسلة تايلور لدالة ما .${\displaystyle g(z)}$حول​​${\displaystyle z=a}$⁠ :$${\displaystyle g(z)=g(a)+g'(a)(z-a)+{g''(a)(z-a)^{2} \over 2!}+{g'''(a)(z-a)^{3} \over 3!}+\cdots .}$$لذا، من أجل${\displaystyle g(z)=\sin z}$و​​${\displaystyle a=1}$لدينا​$${\displaystyle \sin z=\sin 1+(\cos 1)(z-1)+{-(\sin 1)(z-1)^{2} \over 2!}+{-(\cos 1)(z-1)^{3} \over 3!}+\cdots ,}$$ولـ​${\displaystyle g(z)=1/z}$و​​${\displaystyle a=1}$لدينا​$${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{(z-1)+1}}=1-(z-1)+(z-1)^{2}-(z-1)^{3}+\cdots .}$$بضرب هاتين السلسلتين وتقديم ⁠${\displaystyle 1/(z-1)}$⁠ يعطينا$${\displaystyle {\frac {\sin z}{z(z-1)}}={\sin 1 \over z-1}+(\cos 1-\sin 1)+(z-1)\left(-{\frac {\sin 1}{2!}}-\cos 1+\sin 1\right)+\cdots .}$$إذن، بقايا ⁠${\displaystyle f(z)}$في​​${\displaystyle z=1}$هو​​${\displaystyle \sin 1}$⁠ .

يوضح المثال التالي أنه عند حساب الباقي باستخدام متسلسلة تايلور، تلعب نظرية لاغرانج العكسية دورًا رئيسيًا . لنفترض$${\displaystyle u(z):=\sum _{k\geq 1}u_{k}z^{k}}$$لتكن دالة كاملة ، ولتكن$${\displaystyle v(z):=\sum _{k\geq 1}v_{k}z^{k}}$$بنصف قطر تقارب موجب ، ومع${\displaystyle v_{1}\neq 0}$إذن​​${\displaystyle v(z)}$له معكوس محلي${\displaystyle V(z)}$في​​${\displaystyle 0}$، و${\textstyle u(1/V(z))}$يكون ميرومورفيًا عند ⁠${\displaystyle 0}$ثم لدينا:$${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\sum _{k=0}^{\infty }ku_{k}v_{k}.}$$بالفعل،$${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\operatorname {Res} _{0}\left(\sum _{k\geq 1}u_{k}V(z)^{-k}\right)=\sum _{k\geq 1}u_{k}\operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}}$$لأن السلسلة الأولى تتقارب بانتظام على أي دائرة صغيرة حول${\displaystyle 0}$باستخدام نظرية لاغرانج العكسية$${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}=kv_{k},}$$ونحصل على التعبير أعلاه. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle u(z)=z+z^{2}}$وأيضًا​${\displaystyle v(z)=z+z^{2}}$ثم​$${\displaystyle V(z)={\frac {2z}{1+{\sqrt {1+4z}}}}}$$و$${\displaystyle u(1/V(z))={\frac {1+{\sqrt {1+4z}}}{2z}}+{\frac {1+2z+{\sqrt {1+4z}}}{2z^{2}}}.}$$يساهم الحد الأول${\displaystyle 1}$يُساهم في الباقي، ويُساهم الحد الثاني في${\displaystyle 2}$بما أنه يقترب من${\displaystyle 1/z^{2}+2/z}$⁠ .

مع افتراضات التناظر الأقوى المقابلة على${\displaystyle u(z)}$و​​${\displaystyle v(z)}$ويترتب على ذلك أيضاً أن$${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}\left(u(1/V)\right)=\operatorname {Res} _{0}\left(v(1/U)\right),}$$أين​${\displaystyle U(z)}$⁠ هو معكوس محلي لـ ⁠${\displaystyle u(z)}$في​​ ${\displaystyle 0}$⁠ .

الوظيفة${\displaystyle f(z)=\exp \left({\tfrac {5i}{z}}\right)}$هو هولومورفي على${\displaystyle G=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$.${\displaystyle f}$تتضمن سلسلة لوران التالية : $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\cdot \left({\frac {5i}{z}}\right)^{n}=\sum _{n=-\infty }^{0}\underbrace {\frac {(5i)^{-n}}{(-n)!}} _{=a_{n}}\cdot z^{n}}$$ بقايا${\displaystyle f}$في${\displaystyle z_{0}=0}$هو المعامل${\displaystyle a_{-1}}$في سلسلة لوران مع المركز${\displaystyle z_{0}=0}$باعتبارها نقطة تفرد أساسية: $${\displaystyle Res(f,0)=a_{-1}={\frac {(5i)^{-(-1)}}{(-(-1))!}}=5i}$$