مقياس باناش

في فرع نظرية القياس الرياضي ، يُعدّ قياس باناخ طريقةً محددةً لتحديد حجم (أو مساحة) جميع المجموعات الجزئية من المستوى الإقليدي ، وهو متوافق مع قياس ليبيغ الشائع الاستخدام ولكنه امتداد له . وبينما توجد بعض المجموعات الجزئية من المستوى غير قابلة للقياس باستخدام ليبيغ ، فإن جميع المجموعات الجزئية من المستوى لها قياس باناخ. ومن جهة أخرى، فإن قياس ليبيغ قابل للجمع المعدود، بينما قياس باناخ قابل للجمع المحدود فقط (ولذلك يُعرف باسم " المحتوى ").

أثبت ستيفان باناش وجود مقاييس باناش في عام 1923. ^{[ 1 ]} وقد أثبت هذا على وجه الخصوص أن التفكيكات المتناقضة كما هو منصوص عليه في مفارقة باناش-تارسكي في الفضاء الإقليدي R3 لا يمكن ^أن توجد في المستوى الإقليدي R2 ^.

مقياس باناخ ^{[ 2 ]} على R ⁿ هو دالة${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\to [0,\infty ]} (مع تعيين عدد حقيقي موسع غير سالبلكل مجموعة جزئية من R ⁿ ) بحيث

• μ دالة جمعية نهائية، أي${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)}$لأي مجموعتين منفصلتين${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$؛
• μ يمتد مقياس Lebesgue lect ، أي${\displaystyle \mu (A)=\lambda (A)}$لكل مجموعة قابلة للقياس وفقًا لمعيار ليبيغ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$؛
• μ ثابت تحت عمليات التماثل لـ R ⁿ ، أي${\displaystyle \mu (A)=\mu (f(A))}$لكل${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$وكل قياس متساوي القياس${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$.

تشير خاصية الجمع المحدودة لـ μ إلى أن${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ و${\displaystyle \mu (A_{1}\cup \cdots \cup A_{k})=\sum _{i=1}^{k}\mu (A_{i})}$لأي مجموعات منفصلة مثنى مثنى${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$لدينا أيضًا${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B)}$حينما${\displaystyle A\subseteq B\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$.

بما أن μ يمتد إلى مقياس ليبيغ، فإننا نعلم أن${\displaystyle \mu (A)=0}$عندما تكون المجموعة A مجموعة منتهية أو قابلة للعد، و${\displaystyle \mu ([a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}])=(b_{1}-a_{1})\cdots (b_{n}-a_{n})}$لأي ناتج من الفترات${\displaystyle [a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$.

بما أن μ ثابت تحت عمليات التماثل، فإنه على وجه الخصوص ثابت تحت عمليات الدوران والانتقال.

أثبت ستيفان باناش وجود مقاييس باناش على R1 و R2 ^. ويمكن ^{استنتاج} هذه النتائج من حقيقة أن مجموعات التماثلات ^لـ R1 و R2 قابلة للحل ^.

إن وجود هذه المقاييس يثبت استحالة مفارقة باناخ-تارسكي في بُعد واحد أو بُعدين: إذ لا يمكن تفكيك مجموعة أحادية أو ثنائية الأبعاد ذات قياس ليبيغ محدود إلى عدد محدود من المجموعات التي يمكن إعادة تجميعها في مجموعة ذات قياس ليبيغ مختلف، لأن ذلك سيخالف خصائص قياس باناخ الذي يوسع قياس ليبيغ. ^{[ 3 ]}

وعلى العكس من ذلك، فإن وجود مفارقة باناش-تارسكي في جميع الأبعاد n ≥ 3 يوضح أنه لا يمكن أن يوجد مقياس باناش في هذه الأبعاد.

كما توضح مفارقة فيتالي ، لا يمكن تقوية مقاييس باناخ لتصبح مقاييس قابلة للعد والإضافة: توجد مجموعات فرعية من R ⁿ غير قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ، لجميع n ≥ 1 .

تعتمد معظم هذه النتائج على شكلٍ ما من بديهية الاختيار . وباستخدام بديهيات نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات فقط ، دون بديهية الاختيار، يتعذر استنتاج مفارقة باناخ-تارسكي، كما يتعذر إثبات وجود مجموعات غير قابلة للقياس وفقًا لليبيغ (يعتمد هذا الادعاء الأخير على افتراض ضعيف نسبيًا وشائع، وهو أن وجود ^{الأعداد الأصلية} غير القابلة للوصول متسق). ولا يمكن أيضًا إثبات وجود مقاييس باناخ على R1 و R2 في غياب بديهية الاختيار. ^{[ 4 ]} وعلى وجه الخصوص، لا يمكن تقديم صيغة محددة لهذه المقاييس.