مجموعة غير قابلة للقياس

في الرياضيات ، تُعرَّف المجموعة غير القابلة للقياس بأنها مجموعة لا يمكن إسناد "حجم" ذي معنى إليها . ويُفسَّر وجود هذه المجموعات على أنه يُقدِّم معلومات حول مفاهيم الطول والمساحة والحجم في نظرية المجموعات الرسمية. في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ، تنص بديهية الاختيار على أن المجموعات الفرعية غير القابلة للقياس من${\displaystyle \mathbb {R} }$يخرج.

لطالما كان مفهوم المجموعة غير القابلة للقياس مصدر جدل كبير منذ ظهوره. تاريخيًا، دفع هذا بوريل وكولموغوروف إلى صياغة نظرية الاحتمالات على المجموعات المقيدة بأن تكون قابلة للقياس. المجموعات القابلة للقياس على الخط هي اتحادات وتقاطعات متكررة قابلة للعد لفترات (تُسمى مجموعات بوريل ) ومجموعات موجبة وسالبة فارغة . هذه المجموعات غنية بما يكفي لتشمل كل تعريف ممكن للمجموعة يظهر في الرياضيات القياسية، لكنها تتطلب الكثير من الصياغة لإثبات أن المجموعات قابلة للقياس.

في عام 1970، وضع روبرت م. سولوفاي نموذج سولوفاي ، الذي يُبين أنه يتوافق مع نظرية المجموعات القياسية دون خيار غير قابل للعد، وأن جميع المجموعات الجزئية من الأعداد الحقيقية قابلة للقياس. مع ذلك، تعتمد نتيجة سولوفاي على وجود عدد أصلي غير قابل للوصول ، والذي لا يمكن إثبات وجوده وتوافقه ضمن نظرية المجموعات القياسية.

ظهرت أولى الدلائل على احتمال وجود مشكلة في تحديد طول مجموعة عشوائية من خلال نظرية فيتالي . ^{[ 1 ]} وقد نُشر بناء توافقي أحدث، مشابه لبناء روبن توماس لمجموعة غير قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ مع بعض الخصائص الإضافية، في مجلة الرياضيات الأمريكية الشهرية. ^{[ 2 ]}

من المتوقع أن يكون مقياس اتحاد مجموعتين منفصلتين هو مجموع مقياس المجموعتين. يُطلق على المقياس الذي يتمتع بهذه الخاصية الطبيعية اسم المقياس الجمعي المحدود . في حين أن المقياس الجمعي المحدود كافٍ لمعظم المفاهيم البديهية للمساحة، وهو مماثل لتكامل ريمان ، إلا أنه يُعتبر غير كافٍ للاحتمالات ، لأن المعالجات الحديثة التقليدية لتسلسلات الأحداث أو المتغيرات العشوائية تتطلب خاصية الجمع المعدود .

في هذا الصدد، يُشبه المستوى الخط؛ إذ يوجد مقياس جمعي محدود، يمتد من مقياس ليبيغ، وهو ثابت تحت جميع التحويلات المتساوية. أما في الأبعاد الأعلى، فتزداد الصورة تعقيدًا. تُظهر مفارقة هاوسدورف ومفارقة باناخ-تارسكي أن كرة ثلاثية الأبعاد نصف قطرها 1 يمكن تقسيمها إلى 5 أجزاء، والتي يمكن إعادة تجميعها لتشكيل كرتين نصف قطر كل منهما 1.

يعتبر${\displaystyle S,}$مجموعة جميع النقاط في دائرة الوحدة ، والتأثير عليها${\displaystyle S}$بواسطة مجموعة${\displaystyle G}$تتألف من جميع الدورانات النسبية (الدورانات بزوايا هي مضاعفات نسبية لـ${\displaystyle \pi }$). هنا${\displaystyle G}$هو قابل للعد (بشكل أكثر تحديدًا،${\displaystyle G}$متماثل مع${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$) بينما${\displaystyle S}$هو غير قابل للعد. لذا${\displaystyle S}$ينقسم إلى عدد لا يحصى من المدارات تحت${\displaystyle G}$(مدار${\displaystyle s\in S}$هي مجموعة قابلة للعد${\displaystyle \{se^{iq\pi }:q\in \mathbb {Q} \}}$باستخدام بديهية الاختيار ، يمكننا اختيار نقطة واحدة من كل مدار، فنحصل على مجموعة جزئية غير قابلة للعد.${\displaystyle X\subset S}$مع خاصية أن جميع النسب المنطقية تترجم (النسخ المترجمة من الشكل${\displaystyle e^{iq\pi }X:=\{e^{iq\pi }x:x\in X\}}$لبعض العقلانيين${\displaystyle q}$) ^{[ 3 ]} من${\displaystyle X}$بواسطة${\displaystyle G}$منفصلة ثنائياً (بمعنى، منفصلة عن${\displaystyle X}$(ومن بعضها البعض). تقسم مجموعة تلك الترجمات الدائرة إلى مجموعة قابلة للعد من المجموعات المنفصلة، ​​والتي تتطابق جميعها مثنى مثنى (بالدوران النسبي). المجموعة${\displaystyle X}$سيكون غير قابل للقياس لأي مقياس احتمالي قابل للعد والجمع ثابت تحت الدوران على${\displaystyle S}$: لو${\displaystyle X}$إذا كان قياس الدائرة بأكملها يساوي صفرًا، فإن خاصية الجمع المعدود تعني أن قياس الدائرة بأكملها يساوي صفرًا.${\displaystyle X}$إذا كان للدائرة قياس موجب، فإن خاصية الجمع المعدود ستُظهر أن لها قياسًا لانهائيًا.

كما استُخدمت خارج قسمة المجموعة الجمعية ( R ,+) على مجموعتها الجزئية ( Q ,+) من الأعداد النسبية لإثبات وجود مجموعة غير قابلة للقياس. ^{[ 4 ]}

تُظهر مفارقة باناش -تارسكي أنه لا توجد طريقة لتحديد الحجم في ثلاثة أبعاد إلا إذا تم تقديم أحد التنازلات الخمسة التالية:

1. قد يتغير مستوى صوت الجهاز عند تدويره.
2. قد يختلف حجم اتحاد مجموعتين منفصلتين عن مجموع حجميهما.
3. قد يتم تصنيف بعض المجموعات على أنها "غير قابلة للقياس"، وسيحتاج المرء إلى التحقق مما إذا كانت المجموعة "قابلة للقياس" قبل الحديث عن حجمها.
4. قد يتعين تغيير بديهيات ZFC ( نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل مع بديهية الاختيار).
5. حجم${\displaystyle [0,1]^{3}}$يكون${\displaystyle 0}$أو${\displaystyle \infty }$.

تتخذ نظرية القياس المعياري الخيار الثالث. إذ تُعرّف عائلة من المجموعات القابلة للقياس، وهي عائلة غنية جدًا، وتقريبًا أي مجموعة مُعرّفة صراحةً في معظم فروع الرياضيات ستكون ضمن هذه العائلة. وعادةً ما يكون من السهل جدًا إثبات أن مجموعة فرعية مُحددة من المستوى الهندسي قابلة للقياس. والافتراض الأساسي هو أن متتالية لا نهائية قابلة للعد من المجموعات المنفصلة تُحقق صيغة الجمع، وهي خاصية تُسمى خاصية الجمع سيجما .

في عام 1970، أثبت سولوفاي أن وجود مجموعة غير قابلة للقياس لمقياس ليبيغ لا يمكن إثباته في إطار نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل في غياب بديهية إضافية (مثل بديهية الاختيار)، من خلال إظهار أنه (بافتراض اتساق عدد أصلي غير قابل للوصول ) يوجد نموذج لـ ZF، يسمى نموذج سولوفاي ، حيث يكون الاختيار القابل للعد صحيحًا، وكل مجموعة قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ، وحيث تفشل بديهية الاختيار الكاملة.

تُكافئ بديهية الاختيار نتيجةً أساسيةً في طوبولوجيا المجموعات النقطية ، وهي نظرية تيكونوف ، وكذلك اقتران نتيجتين أساسيتين في التحليل الوظيفي، وهما نظرية باناش-ألاوغلو ونظرية كرين-ميلمان . كما أنها تؤثر بشكل كبير على دراسة الزمر اللانهائية، بالإضافة إلى نظرية الحلقات والترتيب (انظر نظرية المثالي الأولي البولياني ). ومع ذلك، فإن بديهيتي الحتمية والاختيار التابع معًا كافيتان لمعظم نظريات القياس الهندسي ، ونظرية الكمون ، ومتسلسلات فورييه ، وتحويلات فورييه ، مع جعل جميع المجموعات الجزئية من خط الأعداد الحقيقية قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ.

• مفارقة باناخ-تارسكي – نظرية في الهندسة القائمة على نظرية المجموعات 
• معيار كاراثيودوري – جزء من رياضيات نظرية القياس 
• مفارقة هاوسدورف – المفارقات في الرياضيات 
• القياس (في الرياضيات) – تعميم للكتلة والطول والمساحة والحجم 
• مجموعة غير بوريل – فئة من المجموعات الرياضية. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• المقياس الخارجي – الدالة الرياضية 
• مجموعة فيتالي – مجموعة من الأعداد الحقيقية غير قابلة للقياس وفقًا لمقياس لوبيغ