مجموعة فيتالي

في الرياضيات ، تُعدّ مجموعة فيتالي مثالًا أوليًا لمجموعة من الأعداد الحقيقية غير قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ ، وقد اكتشفها جوزيبي فيتالي عام ١٩٠٥. ^{[ ١ ]} تنصّ نظرية فيتالي على وجود مثل هذه المجموعات. كل مجموعة فيتالي غير قابلة للعد ، وبالتالي يوجد عدد غير قابل للعد من مجموعات فيتالي. ويعتمد برهان وجودها على بديهية الاختيار .

تتميز بعض المجموعات بـ "طول" أو "كتلة" محددة. على سبيل المثال، الفترة${\displaystyle [0,1]}$يُعتبر ذا طول${\displaystyle 1}$; وبشكل أعم، فترة زمنية${\displaystyle [a,b],a\leq b}$يُعتبر ذا طول${\displaystyle ba}$إذا اعتبرنا هذه الفترات بمثابة قضبان معدنية ذات كثافة منتظمة، فإن لها كتلًا محددة جيدًا أيضًا. المجموعة${\displaystyle [0,1]\cup [2,3]}$يتكون من فترتين طول كل منهما واحد، لذلك نعتبر طوله الإجمالي هو${\displaystyle 2}$من حيث الكتلة، لدينا قضيبان كتلتهما${\displaystyle 1}$إذن، الكتلة الكلية هي${\displaystyle 2}$.

يطرح هذا سؤالاً طبيعياً: إذا${\displaystyle E}$إذا كانت مجموعة ما مجموعة جزئية عشوائية من خط الأعداد الحقيقية، فهل لها "كتلة" أو "طول إجمالي"؟ على سبيل المثال، قد نتساءل ما هي كتلة مجموعة الأعداد النسبية بين${\displaystyle 0}$و${\displaystyle 1}$، بالنظر إلى كتلة الفترة${\displaystyle [0,1]}$يكون${\displaystyle 1}$الأعداد النسبية كثيفة في الأعداد الحقيقية، لذا فإن أي قيمة بين و بما في ذلك${\displaystyle 0}$و${\displaystyle 1}$قد يبدو ذلك معقولاً.

مع ذلك، فإن أقرب تعميم للكتلة يجب أن يتمتع بخاصية الجمعية سيجما ، مما يقودنا إلى مقياس لوبيغ . وهو يُسند مقياسًا لـ${\displaystyle ba}$إلى الفترة${\displaystyle [a,b]}$، لكنه سيحدد مقياسًا لـ${\displaystyle 0}$تُنسب المجموعة إلى مجموعة الأعداد النسبية لأنها قابلة للعد . يُقال إن أي مجموعة لها مقياس ليبيغ مُعرَّف جيدًا هي "قابلة للقياس"، لكن بناء مقياس ليبيغ (على سبيل المثال باستخدام نظرية كاراثيودوري للتمديد ) لا يُبين بوضوح ما إذا كانت هناك مجموعات غير قابلة للقياس. تتضمن الإجابة على هذا السؤال بديهية الاختيار .

مجموعة فيتالي هي مجموعة جزئية${\displaystyle V}$من الفترة${\displaystyle [0,1]}$من الأعداد الحقيقية بحيث، لكل عدد حقيقي${\displaystyle r}$يوجد رقم واحد فقط${\displaystyle v\in V}$بحيث${\displaystyle vr}$هو عدد نسبي . توجد مجموعات فيتالي لأن الأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {Q} }$تشكل زمرة جزئية طبيعية من الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$في عملية الجمع ، وهذا يسمح ببناء مجموعة القسمة الجمعية${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$من بين هاتين المجموعتين، وهي المجموعة التي تشكلها المشاركات${\displaystyle r+\mathbb {Q} }$من الأعداد النسبية كمجموعة فرعية من الأعداد الحقيقية تحت عملية الجمع. هذه المجموعة${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$يتكون من "نسخ مُزاحة" منفصلة من${\displaystyle \mathbb {Q} }$بمعنى أن كل عنصر من عناصر هذه المجموعة الخارجة هو مجموعة من الشكل${\displaystyle r+\mathbb {Q} }$بالنسبة للبعض${\displaystyle r}$في${\displaystyle \mathbb {R} }$. العناصر العديدة التي لا تعد ولا تحصى من${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$تقسيم${\displaystyle \mathbb {R} }$إلى مجموعات منفصلة، ​​وكل عنصر كثيف في${\displaystyle \mathbb {R} }$كل عنصر من${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$يتقاطع${\displaystyle [0,1]}$وتضمن بديهية الاختيار وجود مجموعة جزئية من${\displaystyle [0,1]}$يحتوي على ممثل واحد فقط من كل عنصر من عناصر${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$تُسمى المجموعة التي تتشكل بهذه الطريقة مجموعة فيتالي.

كل مجموعة فيتالي${\displaystyle V}$غير معدود، و${\displaystyle vu}$غير منطقي لأي${\displaystyle u,v\in V,u\neq v}$.

عدم قابلية القياس

مجموعة فيتالي غير قابلة للقياس. ولإثبات ذلك، نفترض أن${\displaystyle V}$قابل للقياس، ونستنتج تناقضًا. ليكن${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots }$ليكن تعدادًا للأعداد النسبية في${\displaystyle [-1,1]}$(تذكر أن الأعداد النسبية قابلة للعد ). من بناء${\displaystyle V}$يمكننا أن نبين أن المجموعات المترجمة${\displaystyle V_{k}=V+q_{k}=\{v+q_{k}:v\in V\}}$،${\displaystyle k=1,2,\dots }$تكون منفصلة مثنى مثنى. (وإلا، فإنه يوجد مجموعات متميزة)${\displaystyle v,u\in V}$و${\displaystyle k,\ell \in \mathbb {N} }$بحيث${\displaystyle v+q_{k}=u+q_{\ell }\implies vu=q_{\ell }-q_{k}\in \mathbb {Q} }$(تناقض.)

ثم لاحظ أن

${\displaystyle [0,1]\subseteq \bigcup _{k}V_{k}\subseteq [-1,2].}$

لرؤية أول تضمين، ضع في اعتبارك أي عدد حقيقي${\displaystyle r}$في${\displaystyle [0,1]}$ودع${\displaystyle v}$كن الممثل في${\displaystyle V}$بالنسبة لفئة التكافؤ${\displaystyle [r]}$؛ ثم ${\displaystyle r-v=q_{i}}$لبعض الأعداد النسبية${\displaystyle q_{i}}$في${\displaystyle [-1,1]}$مما يعني أن${\displaystyle r}$هو في${\displaystyle V_{i}}$.

قم بتطبيق مقياس ليبيغ على هذه الشوائب باستخدام خاصية الجمع سيجما :

${\displaystyle 1\leq \sum _{k=1}^{\infty }\lambda (V_{k})\leq 3.}$

لأن مقياس ليبيغ ثابت تحت الإزاحة،${\displaystyle \lambda (V_{k})=\lambda (V)}$وبالتالي

${\displaystyle 1\leq \sum _{k=1}^{\infty }\lambda (V)\leq 3.}$

لكن هذا مستحيل. جمع عدد لا نهائي من نسخ الثابت${\displaystyle \lambda (V)}$ينتج إما صفرًا أو ما لا نهاية، وذلك بحسب ما إذا كان الثابت صفرًا أم موجبًا. وفي كلتا الحالتين، يكون المجموع في${\displaystyle [1,3]}$. لذا${\displaystyle V}$لا يمكن أن يكون قابلاً للقياس في نهاية المطاف، أي مقياس ليبيغ${\displaystyle \lambda }$يجب عدم تحديد أي قيمة لـ${\displaystyle \lambda (V)}$.

لا توجد مجموعة فيتالي تمتلك خاصية باير . ^{[ 2 ]}

بتعديل البرهان أعلاه، يمكن إثبات أن كل مجموعة فيتالي لها مقياس باناخ${\displaystyle 0}$وهذا لا يخلق أي تناقضات لأن مقاييس باناخ ليست قابلة للعد الجمعي، ولكنها قابلة للعد الجمعي بشكل محدود فقط.

يعتمد بناء مجموعات فيتالي المذكور أعلاه على بديهية الاختيار . والسؤال الذي يطرح نفسه: هل بديهية الاختيار ضرورية لإثبات وجود مجموعات غير قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ؟ الإجابة هي نعم، شريطة أن تكون الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول متسقة مع أكثر بديهيات نظرية المجموعات شيوعًا، والمعروفة باسم ZFC .

في عام ١٩٦٤، وضع روبرت سولوفاي نموذجًا لنظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات دون مسلمة الاختيار، حيث تكون جميع مجموعات الأعداد الحقيقية قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ. يُعرف هذا النموذج بنموذج سولوفاي . ^{[ ٣ ]} في برهانه، افترض سولوفاي أن وجود الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول يتوافق مع المسلمات الأخرى لنظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات، أي أنه لا يُحدث أي تناقضات. يعتقد علماء نظرية المجموعات على نطاق واسع بصحة هذا الافتراض، لكن لا يمكن إثباته في نظرية زيرميلو-فرانكل وحدها. ^{[ ٤ ]}

في عام 1980، أثبت ساهارون شيلاه أنه لا يمكن إثبات نتيجة سولوفاي دون افتراضه بشأن الأعداد الكاردينالية غير القابلة للوصول. ^{[ 4 ]}

• مفارقة باناخ-تارسكي – نظرية في الهندسة القائمة على نظرية المجموعات 
• معيار كاراثيودوري – جزء من رياضيات نظرية القياس 
• مجموعة غير قابلة للقياس - مجموعة لا يمكن إسناد "حجم" ذي معنى إليها. 
• المقياس الخارجي – الدالة الرياضية 
• دالة التكافؤ اللانهائي – دالة في الجبر البولياني. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 

• هيرليش، هورست (2006). بديهية الاختيار . سبرينغر. ص. 120 . رقم ISBN  9783540309895.
• فيتالي، جوزيبي (1905). "Sulمشكلة مشكلة مجموعة Gruppi di Punti di una Retta". بولونيا، نصيحة. غامبيريني وبارميجياني .