توازن بايزي مثالي

لنفترض اللعبة التالية:

• للمرسل نوعان محتملان: إما "صديق" (باحتمالية${\displaystyle p}$) أو "عدو" (باحتمالية${\displaystyle 1-p}$لكل نوع استراتيجيتان: إما تقديم هدية، أو عدم تقديمها.
• لا يملك المتلقي سوى نوع واحد، واستراتيجيتين: إما قبول الهدية أو رفضها.
• تكون فائدة المرسل 1 إذا تم قبول هديته، و-1 إذا تم رفض هديته، و0 إذا لم يقدم أي هدية.
• تعتمد فائدة المتلقي على من يقدم الهدية:
  • إذا كان المرسل صديقًا، فإن فائدة المتلقي هي 1 (إذا قبل) أو 0 (إذا رفض).
  • إذا كان المرسل عدوًا، فإن فائدة المتلقي هي -1 (إذا قبل) أو 0 (إذا رفض).

لأي قيمة من${\displaystyle p,}$يوجد توازن 1، وهو توازن تجميعي يختار فيه كلا نوعي المرسلين نفس الإجراء:

التوازن 1. المُرسِل: لا يُعطي ، سواء كان صديقًا أم عدوًا. المُستقبِل: لا يقبل ، مع الاعتقاد بأن احتمال (صديق | عدم إعطاء) = p واحتمال (صديق | إعطاء) = x، ويختار قيمة${\displaystyle x\leq .5.}$

يفضل المُرسِل العائد الصفري الناتج عن عدم الإهداء على العائد -1 الناتج عن الإرسال وعدم القبول. وبالتالي، فإن احتمال الإهداء يساوي صفرًا في حالة التوازن، ولا تقيّد قاعدة بايز الاعتقاد Prob(Friend|Give) على الإطلاق. يجب أن يكون هذا الاعتقاد متشائمًا بما يكفي ليُفضّل المُستقبِل العائد الصفري الناتج عن رفض الهدية على العائد المتوقع. ${\displaystyle x(1)+(1-x)(-1)=2x-1,}$من القبول، لذا فإن شرط أن استراتيجية المتلقي تعظم عائده المتوقع بالنظر إلى معتقداته يستلزم أن يكون احتمال (صديق|إعطاء)${\displaystyle \leq .5.}$من ناحية أخرى، فإن Prob(Friend|Not give) = p مطلوب بموجب قاعدة بايز، لأن كلا النوعين يتخذان هذا الإجراء وهو غير مفيد بشأن نوع المرسل.

لو${\displaystyle p\geq 1/2}$يوجد توازن تجميعي ثانٍ بالإضافة إلى التوازن 1، بناءً على معتقدات مختلفة:

التوازن 2. المُرسِل: يُعطي ، سواء كان صديقًا أم عدوًا. المُستقبِل: يقبل، مع الاعتقاد بأن احتمال (صديق|يعطي) = p واحتمال (صديق|لا يُعطي) = x ، مع اختيار أي قيمة لـ${\displaystyle x.}$

يفضل المُرسِل الحصول على عائد قدره 1 من العطاء على الحصول على عائد قدره 0 من عدم العطاء، متوقعًا قبول هديته. في حالة التوازن، تتطلب قاعدة بايز أن يكون لدى المُستقبِل اعتقاد بأن احتمال (صديق|عطاء) يساوي p ، نظرًا لأن كلا النوعين يتخذان هذا الإجراء، ولا يُفيد هذا الاعتقاد في تحديد نوع المُرسِل في حالة التوازن هذه. أما الاعتقاد خارج حالة التوازن فلا يُؤثر، لأن المُرسِل لن يرغب في الانحراف إلى عدم العطاء مهما كان رد فعل المُستقبِل.

يكون التوازن 1 منحرفًا إذا${\displaystyle p\geq .5.}$كان من الممكن أن تحتوي اللعبة${\displaystyle p=.99,}$لذا، من المرجح أن يكون المُرسِل صديقًا، لكن المُستقبِل سيرفض أي هدية لاعتقاده أن الأعداء أكثر ميلًا من الأصدقاء لتقديم الهدايا. يُبيّن هذا كيف يُمكن أن تُؤدي المعتقدات التشاؤمية إلى توازنٍ سيءٍ لكلا الطرفين، توازنٍ لا يُحقق كفاءة باريتو . مع ذلك، تبدو هذه المعتقدات غير واقعية، وغالبًا ما يكون مُنظّرو الألعاب على استعدادٍ لرفض بعض التوازنات البايزية المثالية باعتبارها غير معقولة.

التوازنان 1 و2 هما التوازنان الوحيدان اللذان قد يوجدان، ولكن يمكننا أيضًا التحقق من التوازنين المحتملين المنفصلين ، حيث يختار نوعا المرسل إجراءات مختلفة، ومعرفة سبب عدم وجودهما كتوازنات بايزية مثالية:

1. لنفترض أن استراتيجية المُرسِل هي: إعطاء الهدية إذا كان صديقًا، وعدم إعطائها إذا كان عدوًا. يتم تحديث معتقدات المُستقبِل وفقًا لذلك: إذا تلقى هدية، فإنه يعتقد أن المُرسِل صديق؛ وإلا، فإنه يعتقد أن المُرسِل عدو. وبالتالي، سيرد المُستقبِل بالقبول . مع ذلك، إذا اختار المُستقبِل القبول ، فإن المُرسِل العدو سينحرف إلى   الإعطاء ، لزيادة مردوده من 0 إلى 1، لذا لا يمكن أن يكون هذا توازنًا.
2. لنفترض أن استراتيجية المُرسِل هي: لا تُعطي إذا كان صديقًا، تُعطي إذا كان عدوًا. يتم تحديث معتقدات المُستقبِل وفقًا لذلك: إذا تلقى هدية، فإنه يعتقد أن المُرسِل عدو؛ وإلا، فإنه يعتقد أن المُرسِل صديق. أفضل استراتيجية استجابة للمُستقبِل هي الرفض. مع ذلك، إذا اختار المُستقبِل الرفض ، فإن المُرسِل العدو سينحرف إلى   عدم الإعطاء ، لزيادة عائده من -1 إلى 0، لذا لا يمكن أن يكون هذا توازنًا.

نستنتج أنه في هذه اللعبة، لا يوجد توازن فاصل.

في المثال التالي، ^{[ 1 ]} تكون مجموعة PBEs أصغر تمامًا من مجموعتي SPEs وBNEs. وهو شكلٌ مُعدَّل من لعبة الهدايا المذكورة أعلاه، مع التغيير التالي في منفعة المُستقبِل:

• إذا كان المرسل صديقًا، فإن فائدة المتلقي هي 1 (إذا قبل) أو 0 (إذا رفض).
• إذا كان المرسل عدوًا، فإن فائدة المتلقي تكون 0 (إذا قبل) أو -1 (إذا رفض).

لاحظ أنه في هذا النوع من الصيغ، يعتبر القبول استراتيجية مهيمنة ضعيفة بالنسبة للمتلقي.

على غرار المثال 1، لا يوجد توازن فصل. لنلقِ نظرة على توازنات التجميع المحتملة التالية:

1. استراتيجية المُرسِل هي: العطاء الدائم. لا تتغير معتقدات المُستقبِل: فهو لا يزال يؤمن بالاحتمالية المُسبقة، وهي أن المُرسِل صديق باحتمالية معينة.${\displaystyle p}$وعدو باحتمالية${\displaystyle 1-p}$إن مردود قبولهم يكون دائمًا أعلى من مردود رفضهم، لذا فهم يقبلون (بغض النظر عن قيمة${\displaystyle p}$). هذا هو PBE - إنه أفضل استجابة لكل من المرسل والمستقبل.
2. استراتيجية المُرسِل هي: عدم الإهداء مطلقًا. لنفترض أن اعتقاد المُستقبِل عند تلقّيه هدية هو أن المُرسِل صديق باحتمالية${\displaystyle q}$، أين${\displaystyle q}$أي رقم في${\displaystyle [0,1]}$بغض النظر عن${\displaystyle q}$الاستراتيجية المثلى للمتلقي هي: القبول. هذا ليس وضعًا مثاليًا قائمًا على التفضيل، لأن المرسل يستطيع تحسين عائده من 0 إلى 1 عن طريق تقديم هدية.
3. استراتيجية المُرسِل هي: عدم العطاء مطلقًا، واستراتيجية المُستقبِل هي: الرفض. هذا ليس رد فعل مثاليًا، لأنه بغض النظر عن اعتقاد المُستقبِل، فإن الرفض ليس أفضل رد فعل.

لاحظ أن الخيار 3 هو توازن ناش. إذا تجاهلنا المعتقدات، فيمكن اعتبار الرفض أفضل استجابة للمتلقي، لأنه لا يؤثر على مردوده (لعدم وجود هدية أصلاً). علاوة على ذلك، يُعد الخيار 3 توازن ناش مثاليًا فرعيًا، لأن اللعبة الفرعية الوحيدة هنا هي اللعبة الكاملة. قد تنشأ مثل هذه التوازنات غير المعقولة أيضًا في الألعاب ذات المعلومات الكاملة، ولكن يمكن التخلص منها بتطبيق توازن ناش المثالي فرعيًا . مع ذلك، غالبًا ما تحتوي الألعاب البايزية على مجموعات معلومات غير أحادية، وبما أن الألعاب الفرعية يجب أن تحتوي على مجموعات معلومات كاملة، فقد توجد أحيانًا لعبة فرعية واحدة فقط - اللعبة الكاملة - وبالتالي يكون كل توازن ناش مثاليًا فرعيًا بشكل بديهي. حتى لو احتوت اللعبة على أكثر من لعبة فرعية، فإن عدم قدرة التوازن المثالي فرعيًا على تجاوز مجموعات المعلومات قد يؤدي إلى عدم التخلص من التوازنات غير المعقولة.

باختصار: في هذا النوع من لعبة الهدايا، يوجد احتمالان منطقيان: إما أن يُعطي المُرسِل دائمًا ويقبل المُستقبِل دائمًا، أو أن لا يُعطي المُرسِل أبدًا ويرفض المُستقبِل دائمًا. من بين هذين الاحتمالين، الأول فقط هو الاحتمال المنطقي الصحيح؛ أما الثاني فليس كذلك لأنه لا يمكن دعمه بأي نظام معتقدات.

للاطلاع على المزيد من الأمثلة، انظر لعبة الإشارة#أمثلة . انظر أيضًا ^{[ 2 ]} لمزيد من الأمثلة. يوجد تطبيق حديث لهذا المفهوم في لعبة البوكر، من قِبل لورينتي ودييز (2023). ^{[ 3 ]}

اللعبة التالية ^{[ 4 ] : ​​القسم 6.2} هي تمثيل بسيط لمشكلة المستفيد المجاني . يوجد لاعبان، يمكن لكل منهما إما بناء منفعة عامة أو عدم بنائها. يكسب كل لاعب نقطة واحدة إذا تم بناء المنفعة العامة، وصفرًا إذا لم يتم بناؤها؛ بالإضافة إلى ذلك، إذا قام اللاعب${\displaystyle i}$يبني الصالح العام، وعليهم أن يدفعوا ثمن ذلك.${\displaystyle C_{i}}$تُعتبر التكاليف معلومات سرية ، إذ يعرف كل لاعب تكلفته الخاصة فقط، دون معرفة تكلفة اللاعبين الآخرين. المعلومة الوحيدة المعروفة هي أن كل تكلفة تُختار عشوائيًا وبشكل مستقل من توزيع احتمالي معين. وهذا ما يجعل هذه اللعبة لعبة بايزية .

في اللعبة ذات المرحلة الواحدة، يبني كل لاعب إذا وفقط إذا كانت تكلفة بنائه أقل من مكسبه المتوقع من البناء. المكسب المتوقع من البناء يساوي بالضبط ضعف احتمال عدم بناء اللاعب الآخر. في حالة التوازن، لكل لاعب${\displaystyle i}$هناك حد أدنى للتكلفة${\displaystyle C_{i}^{*}}$بحيث يساهم اللاعب فقط إذا كانت تكلفته أقل من${\displaystyle C_{i}^{*}}$يمكن حساب هذه التكلفة الحدية بناءً على التوزيع الاحتمالي لتكاليف اللاعبين. على سبيل المثال، إذا كانت التكاليف موزعة بشكل منتظم على${\displaystyle [0,2]}$إذا كان الأمر كذلك، فسيتحقق توازن متناظر تكون فيه التكلفة الحدية لكلا اللاعبين 2/3. وهذا يعني أن اللاعب الذي تتراوح تكلفته بين 2/3 و1 لن يساهم، حتى وإن كانت تكلفته أقل من الفائدة المرجوة، وذلك لاحتمالية مساهمة اللاعب الآخر.

لنفترض الآن أن هذه اللعبة تتكرر مرتين. ^{[ 4 ] : ​​القسم 8.2.3.} اللعبتان مستقلتان، أي أن اللاعبين يقررون في كل يوم بالتزامن ما إذا كانوا سيبنون منفعة عامة في ذلك اليوم، ويحصلون على مكافأة قدرها 1 إذا تم بناء المنفعة في ذلك اليوم، ويدفعون تكلفتهم إذا بنوها في ذلك اليوم. الصلة الوحيدة بين اللعبتين هي أنه من خلال اللعب في اليوم الأول، قد يكشف اللاعبون عن بعض المعلومات حول تكاليفهم، وقد تؤثر هذه المعلومات على اللعب في اليوم الثاني.

نبحث عن معادلة تفاضلية متناظرة. نرمز لها بـ${\displaystyle {\hat {c}}}$التكلفة الحدية لكلا اللاعبين في اليوم الأول (لذا في اليوم الأول، يبني كل لاعب إذا وفقط إذا كانت تكلفته على الأكثر)${\displaystyle {\hat {c}}}$لحساب${\displaystyle {\hat {c}}}$، نعمل بشكل عكسي ونحلل تصرفات اللاعبين في اليوم الثاني. تعتمد تصرفاتهم على التاريخ (= التصرفان في اليوم الأول)، وهناك ثلاثة خيارات:

1. في اليوم الأول، لم يقم أي لاعب بالبناء. لذلك يعلم كلا اللاعبين الآن أن تكلفة خصمهما أعلى من${\displaystyle {\hat {c}}}$يقومون بتحديث اعتقادهم وفقًا لذلك، ويستنتجون أن هناك احتمالًا أقل أن يقوم خصمهم بالبناء في اليوم الثاني. لذلك، يزيدون من تكلفة العتبة، وتكون تكلفة العتبة في اليوم الثاني هي${\displaystyle c^{00}>{\hat {c}}}$.
2. في اليوم الأول، قام كلا اللاعبين بالبناء. لذلك يعلم كلا اللاعبين الآن أن تكلفة خصمهما أقل من${\displaystyle {\hat {c}}}$يقومون بتحديث اعتقادهم وفقًا لذلك، ويستنتجون أن هناك احتمالًا أكبر أن يقوم خصمهم بالبناء في اليوم الثاني. لذلك، يخفضون تكلفة العتبة، وتكون تكلفة العتبة في اليوم الثاني هي${\displaystyle c^{11<{\hat {c}}}$.
3. في اليوم الأول، بنى لاعب واحد فقط؛ لنفترض أنه اللاعب رقم 1. الآن، من المعروف أن تكلفة اللاعب رقم 1 أقل من${\displaystyle {\hat {c}}}$وتكلفة اللاعب الثاني أعلى من ذلك${\displaystyle {\hat {c}}}$. هناك حالة توازن تكون فيها الإجراءات في اليوم الثاني مطابقة للإجراءات في اليوم الأول - اللاعب 1 يبني واللاعب 2 لا يبني.

من الممكن حساب العائد المتوقع لـ "اللاعب الحدي" (لاعب تكلفته بالضبط${\displaystyle {\hat {c}}}$في كل حالة من هذه الحالات. وبما أن اللاعب الذي يصل إلى الحد الأدنى يجب أن يكون غير مبالٍ بين المساهمة وعدم المساهمة، فمن الممكن حساب تكلفة الحد الأدنى لليوم الأول.${\displaystyle {\hat {c}}}$اتضح أن هذا الحد الأدنى أقل من${\displaystyle c^{*}}$- العتبة في اللعبة ذات المرحلة الواحدة. هذا يعني أنه في اللعبة ذات المرحلتين، يكون اللاعبون أقل رغبة في البناء مقارنةً باللعبة ذات المرحلة الواحدة. والسبب، ببساطة، هو أنه عندما لا يُساهم لاعب في اليوم الأول، فإنه يُوحي للاعب الآخر بأن تكلفته مرتفعة، مما يجعله أكثر استعدادًا للمساهمة في اليوم الثاني.

في مزاد إنجليزي مفتوح ، يمكن للمزايدين رفع السعر الحالي تدريجيًا (مثلًا دولار واحد في كل مرة). مع ذلك، غالبًا ما يحدث ما يُعرف بالمزايدة القفزية ، حيث يرفع بعض المزايدين السعر الحالي بأكثر بكثير من الحد الأدنى للزيادة. أحد التفسيرات لذلك هو أنه بمثابة إشارة للمزايدين الآخرين. يوجد نظام مزايدة قائم على السعر، حيث يقفز كل مزايد إذا وفقط إذا تجاوزت قيمته عتبة معينة. انظر: المزايدة القفزية#الإشارة .