لعبة ذات شكل موسع

يحدد التمثيل الكامل ذو الشكل الموسع ما يلي:

1. لاعبو اللعبة
2. لكل لاعب كل فرصة تتاح له للتحرك
3. ما يمكن لكل لاعب فعله في كل حركة من حركاته
4. ما يعرفه كل لاعب لكل حركة
5. العوائد التي يحصل عليها كل لاعب مقابل كل مجموعة ممكنة من الحركات

تحتوي اللعبة على اليمين على لاعبين: 1 و2. تشير الأرقام بجانب كل عقدة غير طرفية إلى اللاعب الذي تنتمي إليه تلك العقدة. أما الأرقام بجانب كل عقدة طرفية فتمثل العوائد التي يحصل عليها اللاعبان (على سبيل المثال، 2،1 يمثل عائدًا قدره 2 للاعب 1 وعائدًا قدره 1 للاعب 2). وتمثل التسميات بجانب كل حافة من حواف الرسم البياني اسم الإجراء الذي تمثله تلك الحافة.

العقدة الأولى تخص اللاعب 1، مما يشير إلى أن اللاعب 1 يبدأ اللعب أولاً. يتم اللعب وفقًا للشجرة كما يلي: يختار اللاعب 1 بين U و D ؛ يلاحظ اللاعب 2 اختيار اللاعب 1 ثم يختار بين U' و D' . العوائد موضحة في الشجرة. هناك أربع نتائج ممثلة بالعقد الطرفية الأربع للشجرة: (U,U')، (U,D')، (D,U')، و(D,D'). العوائد المرتبطة بكل نتيجة على التوالي هي (0,0)، (2,1)، (1,2)، و(3,1).

إذا لعب اللاعب 1 الخيار D ، فسيلعب اللاعب 2 الخيار U' لتعظيم ربحه، وبالتالي سيحصل اللاعب 1 على 1 فقط. أما إذا لعب اللاعب 1 الخيار U ، فسيعظم اللاعب 2 ربحه بلعب الخيار D' ، وسيحصل اللاعب 1 على 2. يفضل اللاعب 1 الخيار 2 على الخيار 1، لذا سيلعب الخيار U، وسيلعب اللاعب 2 الخيار D' . هذا هو توازن اللعبة الفرعية الأمثل .

تتمثل إحدى مزايا تمثيل اللعبة بهذه الطريقة في وضوح ترتيب اللعب. يُظهر الرسم البياني بوضوح أن اللاعب الأول يتحرك أولًا، ثم يراقب اللاعب الثاني حركته. مع ذلك، لا يسير اللعب في بعض الألعاب على هذا النحو. فقد لا يلاحظ أحد اللاعبين دائمًا اختيار الآخر (على سبيل المثال، قد تكون الحركات متزامنة أو قد تكون الحركة مخفية). مجموعة المعلومات هي مجموعة من عقد القرار بحيث:

1. كل عقدة في المجموعة تنتمي إلى لاعب واحد.
2. عندما تصل اللعبة إلى مجموعة المعلومات، لا يستطيع اللاعب الذي على وشك التحرك التمييز بين العقد داخل مجموعة المعلومات؛ أي إذا كانت مجموعة المعلومات تحتوي على أكثر من عقدة واحدة، فإن اللاعب الذي تنتمي إليه تلك المجموعة لا يعرف أي عقدة تم الوصول إليها في المجموعة.

في الشكل الموسع، يتم الإشارة إلى مجموعة المعلومات بخط منقط يربط جميع العقد في تلك المجموعة أو أحيانًا بحلقة مرسومة حول جميع العقد في تلك المجموعة.

إذا احتوت لعبة ما على مجموعة معلومات تضم أكثر من عنصر واحد، يُقال إن معلوماتها غير كاملة . أما اللعبة ذات المعلومات الكاملة فهي التي يعرف فيها كل لاعب، في أي مرحلة من مراحلها، ما حدث سابقًا بدقة؛ أي أن كل مجموعة معلومات فيها هي مجموعة أحادية العنصر . ^{[ 1 ] [ 2 ]} أي لعبة تفتقر إلى المعلومات الكاملة تُعتبر ذات معلومات غير كاملة.

اللعبة على اليمين هي نفسها اللعبة المذكورة أعلاه، باستثناء أن اللاعب الثاني لا يعلم ما يفعله اللاعب الأول عندما يحين دوره. اللعبة الأولى الموصوفة تتمتع بمعلومات كاملة، بينما اللعبة على اليمين لا تتمتع بها. إذا كان كلا اللاعبين عقلانيين، ويعلم كل منهما أن الآخر عقلاني، وأن كل ما يعرفه أي لاعب يعلمه جميع اللاعبين (أي أن اللاعب 1 يعلم أن اللاعب 2 يعلم أن اللاعب 1 عقلاني، واللاعب 2 يعلم ذلك، وهكذا إلى ما لا نهاية )، فسيكون اللعب في الجولة الأولى كما يلي: يعلم اللاعب 1 أنه إذا لعب الخيار U ، فسيلعب اللاعب 2 الخيار D' (لأن اللاعب 2 يفضل الحصول على 1 على الحصول على 0)، وبالتالي سيحصل اللاعب 1 على 2. ومع ذلك، إذا لعب اللاعب 1 الخيار D ، فسيلعب اللاعب 2 الخيار U' (لأن اللاعب 2 يفضل الحصول على 2 على الحصول على 1)، وبالتالي سيحصل اللاعب 1 على 1. ومن ثم، في الجولة الأولى، سيكون التوازن ( U ، D' ) لأن اللاعب 1 يفضل الحصول على 2 على 1، وبالتالي سيلعب الخيار U، وبالتالي سيلعب اللاعب 2 الخيار D' .

في اللعبة الثانية، يكون الأمر أقل وضوحًا: لا يستطيع اللاعب الثاني ملاحظة حركة اللاعب الأول. يرغب اللاعب الأول في خداع اللاعب الثاني ليظن أنه لعب الورقة U بينما هو في الواقع لعب الورقة D، حتى يلعب اللاعب الثاني الورقة D' ويحصل اللاعب الأول على الورقة 3. في الواقع، توجد في اللعبة الثانية حالة توازن بايزي مثالية حيث يلعب اللاعب الأول الورقة D ويلعب اللاعب الثاني الورقة U'، ويعتقد اللاعب الثاني أن اللاعب الأول سيلعب الورقة D حتمًا . في حالة التوازن هذه، تكون كل استراتيجية عقلانية بالنظر إلى المعتقدات السائدة، وكل معتقد متسق مع الاستراتيجيات المُلعبة. لاحظ كيف يؤثر نقص المعلومات على نتيجة اللعبة.

لتسهيل حل هذه اللعبة لإيجاد توازن ناش ، ^{[ 3 ]} يمكن تحويلها إلى الصيغة الطبيعية . ^{[ 4 ]} وبما أن هذه لعبة متزامنة / متتابعة ، فإن لكل من اللاعب الأول واللاعب الثاني استراتيجيتين . ^{[ 5 ]}

• استراتيجيات اللاعب 1: {أعلى، أسفل}
• استراتيجيات اللاعب الثاني: {U' , D'}

سيكون لدينا مصفوفة ثنائية الأبعاد ذات عائد فريد لكل مجموعة من الحركات. باستخدام نموذج اللعبة القياسي، أصبح من الممكن الآن حل اللعبة وتحديد الاستراتيجيات المهيمنة لكلا اللاعبين.

• إذا لعب اللاعب 1 ورقة لأعلى (U)، فإن اللاعب 2 يفضل لعب ورقة لأسفل (D') (العائد 1>0)
• إذا لعب اللاعب 1 لأسفل (D)، فإن اللاعب 2 يفضل لعب لأعلى (U') (العائد 2>1)
• إذا لعب اللاعب 2 ورقة لأعلى (U')، فإن اللاعب 1 يفضل لعب ورقة لأسفل (D) (العائد 1>0)
• إذا لعب اللاعب 2 ورقة لأسفل (D')، فإن اللاعب 1 يفضل لعب ورقة لأسفل (D) (3>2)

يمكن تحديد هذه التفضيلات داخل المصفوفة، وأي خانة يتشارك فيها كلا اللاعبين تفضيلاً ما تُشكّل توازن ناش. لهذه اللعبة تحديداً حل واحد هو (D,U') بعائد (1,2).

في الألعاب ذات مساحات الحركة اللانهائية والمعلومات غير الكاملة، تُمثَّل مجموعات المعلومات غير الأحادية، عند الضرورة، بإضافة خط منقط يصل بين النقطتين الطرفيتين (غير العقديتين) خلف القوس الموصوف أعلاه، أو برسم خط متقطع على القوس نفسه. في منافسة ستاكلبرغ الموصوفة أعلاه، إذا لم يلاحظ اللاعب الثاني حركة اللاعب الأول، فإن اللعبة لن تُطابق نموذج ستاكلبرغ، بل ستُصبح منافسة كورنو .

قد لا يعرف اللاعب بدقة ما هي عوائد اللعبة أو نوع خصومه . هذا النوع من الألعاب يتسم بنقص المعلومات . في شكله الموسع، يُصوَّر كلعبة بمعلومات كاملة ولكنها غير كاملة باستخدام ما يُعرف بتحويل هارساني . يُدخل هذا التحويل إلى اللعبة مفهوم اختيار الطبيعة أو اختيار الله . لنفترض لعبةً تتكون من صاحب عمل يُفكِّر في توظيف مُتقدِّم طلب وظيفة. قد تكون قدرة مُتقدِّم الطلب إما عالية أو منخفضة. مستوى قدرته عشوائي؛ إما أن تكون قدرته منخفضة باحتمالية 1/3 أو عالية باحتمالية 2/3. في هذه الحالة، من المُلائم نمذجة الطبيعة كلاعب آخر من نوع ما يختار قدرة مُتقدِّم الطلب وفقًا لهذه الاحتمالات. مع ذلك، لا تُدرَك أي عوائد للطبيعة. يُمثَّل اختيار الطبيعة في شجرة اللعبة بعقدة غير مُعبأة. تُصنَّف الحواف الخارجة من عقدة اختيار الطبيعة باحتمالية وقوع الحدث الذي تُمثِّله.

اللعبة على اليسار هي لعبة معلومات كاملة (جميع اللاعبين والعوائد معروفة للجميع) ولكنها ذات معلومات غير كاملة (لا يعرف صاحب العمل ما هي خطوة الطبيعة). تقع العقدة الأولية في المنتصف وهي غير مكتملة، لذا تتحرك الطبيعة أولاً. تختار الطبيعة باحتمالية متساوية نوع اللاعب 1 (وهو ما يعادل في هذه اللعبة اختيار العوائد في اللعبة الفرعية التي تم لعبها)، إما t1 أو t2. يمتلك اللاعب 1 مجموعات معلومات مميزة لهذين النوعين؛ أي أن اللاعب 1 يعرف نوعهما (وهذا ليس شرطًا). مع ذلك، لا يلاحظ اللاعب 2 اختيار الطبيعة. فهو لا يعرف نوع اللاعب 1؛ ومع ذلك، في هذه اللعبة يلاحظ تصرفات اللاعب 1؛ أي أن هناك معلومات كاملة. في الواقع، من المناسب الآن تعديل التعريف السابق للمعلومات الكاملة: في كل مرحلة من مراحل اللعبة، يعرف كل لاعب ما لعبه اللاعبون الآخرون . في حالة المعلومات الخاصة، يعرف كل لاعب ما لعبته الطبيعة. يتم تمثيل مجموعات المعلومات كما في السابق بخطوط متقطعة.

في هذه اللعبة، إذا اختارت الطبيعة النوع t1 للاعب الأول، فستكون اللعبة مشابهةً للعبة الأولى الموصوفة، باستثناء أن اللاعب الثاني لا يعلم بذلك (وحقيقة أن هذا يقطع معلوماتهما تجعله غير مؤهل للعبة فرعية ). يوجد حد فاصل واحد للتوازن البايزي المثالي ؛ أي التوازن الذي تقوم فيه الأنواع المختلفة بأفعال مختلفة.

إذا لعب كلا النوعين نفس الإجراء (التجميع)، فلا يمكن الحفاظ على التوازن. إذا لعب كلاهما الخيار D ، فإن اللاعب 2 لا يمكنه تكوين اعتقاد بأنه موجود على أي من العقدتين في مجموعة المعلومات إلا باحتمالية 1/2 (لأن هذه هي فرصة رؤية أي من النوعين). يُعظّم اللاعب 2 عائده بلعب الخيار D' . مع ذلك، إذا لعب D' ، فإن النوع 2 يُفضّل لعب U. لا يمكن أن يكون هذا توازنًا. إذا لعب كلا النوعين U ، فإن اللاعب 2 يُكوّن اعتقادًا بأنه موجود على أي من العقدتين باحتمالية 1/2. في هذه الحالة، يلعب اللاعب 2 الخيار D ' ، لكن النوع 1 يُفضّل لعب D.

إذا لعب اللاعب من النوع 1 الخيار U ولعب اللاعب من النوع 2 الخيار D ، فسيلعب اللاعب 2 الخيار D' بغض النظر عن الحركة التي يراها، ولكن في هذه الحالة يفضل اللاعب من النوع 1 الخيار D. وبالتالي، فإن التوازن الوحيد هو أن يلعب اللاعب من النوع 1 الخيار D ، ويلعب اللاعب من النوع 2 الخيار U ، ويلعب اللاعب 2 الخيار U' إذا رأى الخيار D، ويختار الخيار U عشوائيًا إذا رأى الخيار U. من خلال حركاته، يكون اللاعب 1 قد أوضح نوعه للاعب 2.

بصورة رسمية، تُعتبر اللعبة المحدودة في شكلها الموسع بنية ${\displaystyle \Gamma =\langle {\mathcal {K}},\mathbf {H} ,[(\mathbf {H} _{i})_{i\in {\mathcal {I}}}],\{A(H)\}_ {H\in \mathbf {H} },a,\rho ,u\rangle }$ أين:

• ${\displaystyle {\mathcal {K}}=\langle V,v^{0},T,p\rangle }$هي شجرة محدودة ذات مجموعة من العقد${\displaystyle V}$، عقدة أولية فريدة${\displaystyle v^{0}\in V}$مجموعة من العقد الطرفية${\displaystyle T\subset V}$(يترك${\displaystyle D=V\setminus T}$(لتكن مجموعة من عقد القرار) ودالة السلف المباشر${\displaystyle p:V\rightarrow D}$والتي تُعرض عليها قواعد اللعبة،
• ${\displaystyle \mathbf {H} }$هو تقسيم لـ${\displaystyle D}$يُطلق عليه اسم قسم المعلومات،
• ${\displaystyle A(H)}$هي مجموعة من الإجراءات المتاحة لكل مجموعة معلومات${\displaystyle H\in \mathbf {H} }$والتي تشكل تقسيمًا على مجموعة جميع الإجراءات${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.
• ${\displaystyle a:V\setminus \{v^{0}\}\rightarrow {\mathcal {A}}}$هو قسم عمل يربط كل عقدة${\displaystyle v}$إلى إجراء واحد${\displaystyle a(v)}$، تحقيقاً لـ:

${\displaystyle \forall H\in \mathbf {H} ,\forall v\in H}$، التقييد${\displaystyle a_{v}:s(v)\rightarrow A(H)}$ل${\displaystyle a}$على${\displaystyle s(v)}$هي دالة تقابل، مع${\displaystyle s(v)}$مجموعة العقد اللاحقة لـ${\displaystyle v}$.

• ${\displaystyle {\mathcal {I}}=\{1,...,I\}}$هي مجموعة محدودة من اللاعبين،${\displaystyle 0}$هي (لاعب خاص يُدعى) الطبيعة، و${\displaystyle (\mathbf {H} _{i})_{i\in {\mathcal {I}}\cup \{0\}}}$هو تقسيم اللاعب لمجموعة المعلومات${\displaystyle \mathbf {H} }$. يترك${\displaystyle \iota (v)=\iota (H)}$كن لاعبًا واحدًا يقوم بحركة عند العقدة${\displaystyle v\in H}$.
• ${\displaystyle \rho =\{\rho _{H}:A(H)\rightarrow [0,1]|H\in \mathbf {H} _{0}\}}$هي مجموعة من احتمالات أفعال الطبيعة، و
• ${\displaystyle u=(u_{i})_{i\in {\mathcal {I}}}:T\rightarrow \mathbb {R} ^{\mathcal {I}}}$هي دالة لملف تعريف العائد.