نظرية بيلي

في الرياضيات ، تنص نظرية بيلي حول المنحنيات الجبرية على أن أي منحنى جبري غير منفرد C ، معرف بمعاملات عددية جبرية ، يمثل سطح ريمان مضغوط وهو غطاء متفرع لكرة ريمان ، متفرع عند ثلاث نقاط فقط.

هذه نتيجة لـ GV Belyi من عام 1979. في ذلك الوقت، كان يعتبر أمرًا مفاجئًا، وقد حفز Grothendieck على تطوير نظريته عن dessins d'enfant ، والتي تصف المنحنيات الجبرية غير المنفردة على الأعداد الجبرية باستخدام البيانات التوافقية.

ويترتب على ذلك أن سطح ريمان المعني يمكن اعتباره خارج القسمة

H /Γ

(حيث H هو النصف العلوي من المستوى وΓ هي مجموعة جزئية ذات دليل محدود في المجموعة النمطية ) مضغوطة بواسطة نقاط حادة . بما أن المجموعة النمطية تحتوي على مجموعات جزئية غير متطابقة ، فليس من الضروري استنتاج أن أي منحنى من هذا القبيل هو منحنى نمطي .

دالة بيلي هي خريطة هولومورفية من سطح ريمان المضغوط S إلى الخط الإسقاطي المركب P1 ( C ) متفرعة فقط على ثلاث نقاط، والتي ^يمكن اعتبارها بعد تحويل موبيوس${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$يمكن وصف وظائف بيلي بشكل توافقي بواسطة رسومات الأطفال .

تعود دوال بيلي ورسوم الأطفال - ولكن ليس نظرية بيلي - على الأقل إلى عمل فيليكس كلاين ؛ فقد استخدمها في مقالته ( كلاين 1879 ) لدراسة غطاء ذي 11 طية للخط الإسقاطي المركب مع مجموعة أحادية الدوران PSL(2,11). ^{[ 1 ]}

نظرية بيلي هي نظرية وجود لدوال بيلي، وقد تم استخدامها بشكل كبير في مسألة غالوا العكسية .

• جيروندو، ارنستو؛ González-Diez، Gabino (2012)، مقدمة لأسطح ريمان المدمجة ورسومات الأطفال ، نصوص طلاب جمعية لندن الرياضية، المجلد.  79، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-74022-7Zbl 1253.30001​ 
• ووشي غولدريغ (2012)، "المواضيع الموحدة التي اقترحتها نظرية بيلي"، في دوريان غولدفليد؛ جاي جورجنسون؛ بيتر جونز؛ ديناكار راماكريشنان؛ كينيث أ. ريبت؛ جون تيت (محررون)، نظرية الأعداد والتحليل والهندسة. في ذكرى سيرج لانغ ، سبرينغر، ص 181-214 ، ISBN  978-1-4614-1259-5