مفارقة بنتلي

في علم الكونيات ، تُشير مفارقة بنتلي ، المعروفة أيضًا بمفارقة سيليجر ، أو مفارقة بنتلي-سيليجر ^{[ 1 ]،} أو مفارقة نيومان-سيليجر، إلى مشكلة تظهر عند تطبيق نظرية نيوتن للجاذبية على الكون. تنص هذه المفارقة الكونية على أنه إذا كانت جميع النجوم تنجذب إلى بعضها البعض بفعل الجاذبية، فإنها ستنهار في نقطة واحدة. ^{[ 2 ]}

وقد لوحظت هذه المشكلة منذ عهد ريتشارد بنتلي في تسعينيات القرن السابع عشر. وقد أثبتها هوغو فون سيليجر رياضياً في عام 1895. ^{[ 2 ]}

من المعروف اليوم أن كونًا لانهائيًا مملوءًا بشكل متجانس بمادة ذات جاذبية، إذا نشأ في تكوين ثابت، سينهار حتمًا. وقد انبثقت هذه النتيجة في الأصل من النظرية النسبية العامة ، ^{[ 3 ]} ولكنها تنبأت بها أيضًا نظرية الجاذبية النيوتونية باستخدام أدوات رياضية لم تكن متاحة لنيوتن. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

على الرغم من أن تفسير نيوتن كان غير مُرضٍ إلى حد ما من الناحية الكونية، إلا أن مفارقة بنتلي قد تثبت أنها السبب وراء " الانكماش العظيم "، وهي الظاهرة المعاكسة لـ " الانفجار العظيم ". ^{[ 6 ]}

عمل بنتلي

في عام ١٦٨٧، نشر إسحاق نيوتن كتابه "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" (برينسيبيا) ، الذي تضمن قانونه الكوني للجاذبية. بعد خمس سنوات، كتب ريتشارد بنتلي، وهو رجل دين وباحث شاب كان يُعدّ محاضرة عن نظريات نيوتن ورفض الإلحاد، رسالةً إلى نيوتن يسأله فيها: في كون محدود، إذا تجاذبت جميع النجوم، ألن تنهار لتشكل نقطة واحدة؟ وفي كون لانهائي ذي عدد لا نهائي من النجوم، ألن تتباعد كل نجمة بفعل قوى لا نهائية تعمل في جميع الاتجاهات؟ في رده، وافق نيوتن على النقطة الأولى، ورجّح فكرة كون لانهائي ذي عدد لا نهائي من النجوم، بحيث ينجذب كل نجم في جميع الاتجاهات بالتساوي، فتتلاشى القوى ولا يحدث انهيار. أقرّ نيوتن بمشكلة ضرورة وضع النجوم بدقة متناهية للحفاظ على هذا التوازن غير المستقر دون انهيار، وادّعى لاحقًا أن الله يمنع الانهيار بإجراء "تصحيحات دقيقة مستمرة"؛ "هناك حاجة إلى معجزة متواصلة لمنع الشمس والنجوم الثابتة من الاندفاع نحو بعضها البعض بفعل الجاذبية". ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

اعتقد كل من نيوتن وبنتلي أن النجوم ثابتة ولم يأخذا في الحسبان النجوم المتحركة. ^{[ 8 ]} وقد طُرحت فكرة أن عددًا محدودًا من النجوم المتحركة المتجاذبة فيما بينها يمكن أن يتجنب الانهيار. ^{[ 3 ]}

مفارقة سيليجر

أثبت هوغو فون سيليجر رياضيًا عام 1895 أن الفضاء الإقليدي ذي المادة الموزعة بانتظام ينهار تحت تأثير جاذبية نيوتن. بيّن سيليجر أن مجموع قوى الجاذبية على جميع الكتل في كون لانهائي يتباعد. واستنتج أن الكون لا بد أن يكون محدودًا. كما بيّن سيليجر أنه وفقًا لنظرية نيوتن، يمكن للنجوم ذات السرعة المحدودة أن تصل إلى سرعات هائلة في زمن محدود. ^{[ 2 ]}

في عام 1896، توصل كارل نيومان إلى نفس النتيجة، مصرحاً بأنه طورها قبل سنوات من سيليجر. ^{[ 2 ]}

توصل اللورد كلفن ، غير مُطّلع على أعمال سيليجر، إلى النتيجة نفسها في الفترة ما بين عامي 1901 و1902. بيّن كلفن أنه في كون نيوتني، ستخضع الأجسام لقوة جاذبية لانهائية. ^{[ 2 ]} باختياره نصف قطر الكون حوالي 3.8 × 10⁻⁷ ^{كيلومتر} ، واعتباره أن متوسط كتلة النجوم يُعادل كتلة الشمس، وجد أنه من المُحتمل وجود حوالي ملياري نجم داخل هذا المجال. ثم بيّن أن زمن انهيار هذا المجال لا يعتمد على الحجم الأولي للكون، وقد تبيّن لاحقًا أنه $t_{\text{collapse}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {{\frac {3\pi }{2}}G\rho }}$ بالنسبة لكثافة كتلة منتظمة ρ . تشير تقديراته إلى زمن انهيار يبلغ 17 مليون سنة، وهو ما يقارب عمر الأرض والشمس وفقًا لحساباته. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} توصل جيمس جينز إلى استنتاج مماثل لاستنتاج كلفن في عام 1902. ^{[ 3 ]}

في عام 1917، أشار ألبرت أينشتاين إلى أن نظرية نيوتن لا تسمح إلا بمعالجة الأنظمة المحدودة أو بعض الأنظمة غير المنتظمة اللانهائية الخاصة. ولا يمكن حل مسألة ديريشليه في أنظمة الكثافة المنتظمة، ويتطلب الأمر استخدام النسبية العامة . ^{[ 3 ]}

الحلول المقترحة

حل سيليجر

في ظل قانون الجاذبية النيوتونية، فإن كتلة m هي مجال الجاذبية لكتلة M على مسافة r ، وتشعر بقوة معطاة بـ

$F(r)=G{\frac {Mm}{r^{2}}},$ حيث G هو ثابت الجاذبية . في عام 1825، اقترح بيير سيمون لابلاس في كتابه Traité de mécanique céleste قانون نيوتن المعدل بإضافة عامل تخميد أسي Λ للمسافات الكبيرة، على النحو ^{[ 2 ]} $F(r)=G{\frac {Mm}{r^{2}}}e^{-\Lambda r},$ لحل المشكلات الكوكبية مثل ترنح الحضيض الشاذ لعطارد ، اقترح سيليجر التعديل نفسه في سياق كوني. واقترح أن التخميد يمكن أن يفسر سبب عدم حدوث انهيار. وباستخدام البيانات الفلكية، قدّر الثابت بحوالي Λ=3.8 × ^10⁻⁷ كم⁻¹ ^.^{[ 2 ]}

حل شارلي

في عام 1848، اقترح جون هيرشل، في سياق مفارقة أولبرز ، أن التوزيع غير المنتظم للنجوم قد يفسرها. وفي عام 1896، رأى كارل شارلييه أن كلاً من مفارقة أولبرز ومفارقة سيليجر تشيران إلى أن الكون ليس محدودًا. ومع ذلك، اقترح في عام 1906، كبديل، كونًا هرميًا تفصل فيه المسافات المتزايدة بين الأنظمة النجمية الأدنى والأعلى في التسلسل الهرمي، مما يقلل من إجمالي كمية الضوء الواردة من العدد اللانهائي من النجوم. وجادل بأن هذا الكون الهرمي يحل أيضًا مفارقة سيليجر. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

لنفترض أن مجرة _دربالتبانة تتكون من N1 نجمًا من رتبة هرمية S1 _. ولنفترض أيضًا أن N2 _مجرة شبيهة بدرب التبانة تُشكل الرتبة الأعلى التالية S2 _، ثم N3 منها تُشكل الرتبة التالية S3 _، وهكذا. وقد أظهر شارلييه أن متوسط كثافة النجوم يتناقص مع نصف القطر R كما في ^[²^]_. $\rho \propto {\frac {1}{R^{\alpha }}}\;;\;\alpha >2$ ثم المساواة ${\frac {R_{i+1}}{R_{i}}}\geq {\sqrt {N_{i+1}}}$ وقد اقتنع بذلك. ونتيجة لذلك، أثبت شارلييه أن مفارقة سيليجر قد اختفت، وأنه لا توجد سرعات لانهائية. في هذا النموذج، الكون لانهائي لكن متوسط كثافته يساوي صفرًا. كما استنتج أن القطر الزاوي الحدي للسديم الحلزوني هو ${\textstyle \theta <N^{-1/6}}$ ومن هذا، قدّر القطر الزاوي والقدر الظاهري لأقرب مجرة حلزونية، والتي تطابقت مع مجرة أندروميدا . ^{[ 2 ]} تم توسيع نموذج شارلييه الهرمي بشكل أكبر، حتى بعد النماذج الكونية لألبرت أينشتاين ، بواسطة فرانز سيليتي (1922) ولودويك سيلبرشتاين (1929). ^{[ 2 ]}