متباينة بيسل

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 33 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وخاصة التحليل الوظيفي ، تُعدّ متباينة بيسل عبارة عن بيان حول معاملات عنصر ما.x{\displaystyle x}في فضاء هيلبرت بالنسبة لمتتالية متعامدة . سميت المتباينة نسبة إلى إف دبليو بيسل ، الذي اشتق حالة خاصة منها في عام 1828. [ 1 ]

من الناحية المفاهيمية، تُعدّ هذه المتباينة تعميمًا لنظرية فيثاغورس لتشمل الفضاءات اللانهائية الأبعاد. وهي تنص على أن " طاقة " المتجهx{\displaystyle x}، مقدمة من‖x‖2{\displaystyle \|x\|^{2}}، أكبر من أو يساوي مجموع طاقات إسقاطاته على مجموعة من اتجاهات الأساس المتعامدة. القيمة|⟨x،هـك⟩|2{\displaystyle |\langle x,e_{k}\rangle |^{2}}يمثل مساهمة الطاقة على طول اتجاه محددهـك{\displaystyle e_{k}}ويضمن هذا التباين ألا يتجاوز مجموع هذه المساهمات الطاقة الكلية لـx{\displaystyle x}.

عندما تُشكّل المتتالية المتعامدة أساسًا متعامدًا كاملًا ، تتحوّل متباينة بيسل إلى مساواة تُعرف بهوية بارسيفال . وهذا يعني أن مجموع طاقات الإسقاطات يساوي الطاقة الكلية للمتجه، أي أنه لا تُفقد أي طاقة. تُعدّ هذه المتباينة أداةً أساسيةً لإثبات تقارب متسلسلات فورييه وغيرها من متسلسلات التوسع في فضاءات هيلبرت.

بيان عدم المساواة

يتركح{\displaystyle H}كن فضاء هيلبرت ودعهـ1،هـ2،...{\displaystyle e_{1},e_{2},\dots }لتكن متتالية متعامدة فيح{\displaystyle H}ثم لأي متجهx{\displaystyle x}فيح{\displaystyle H}تنص متباينة بيسل على ما يلي:

∑ك=1∞|⟨x،هـك⟩|2≤‖x‖2{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2}}

حيث يرمز ⟨·,·⟩ إلى الجداء الداخلي في فضاء هيلبرتح{\displaystyle H}، و‖⋅‖{\displaystyle \|\cdot \|}يشير إلى المعيار الناتج عن الضرب الداخلي. [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]

الشروط⟨x،هـك⟩{\displaystyle \langle x,e_{k}\rangle }هي معاملات فورييه لـx{\displaystyle x}فيما يتعلق بالتسلسل(هـك){\displaystyle (e_{k})}تُشير المتباينة إلى أن متسلسلة مربعات مقادير هذه المعاملات تتقارب. وهذا يسمح بتعريف المتجهx′{\displaystyle x'}، وهو إسقاط لـx{\displaystyle x}على الفضاء الفرعي الذي يمتد بواسطة المتتالية المتعامدة:

x′=∑ك=1∞⟨x،هـك⟩هـك{\displaystyle x'=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle x,e_{k}\right\rangle e_{k}}

تضمن متباينة بيسل تقارب هذه المتسلسلة . إذا كانت المتتابعة(هـك){\displaystyle (e_{k})}إذا كانت قاعدة متعامدة كاملة ، فإنx′=x{\displaystyle x'=x}ويصبح عدم المساواة مساواة تُعرف باسم هوية بارسيفال .

دليل

تنتج المتباينة من عدم سلبية معيار المتجه. لأي عدد طبيعين{\displaystyle n}، يترك

xن=∑ك=1ن⟨x،هـك⟩هـك{\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}}

هذا المتجهxن{\displaystyle x_{n}}هو إسقاطx{\displaystyle x}على الفضاء الفرعي الذي يمتد عليه الأولن{\displaystyle n}متجهات الأساس. المتجهx-xن{\displaystyle x-x_{n}}متعامد مع هذا الفضاء الفرعي، وبالتالي متعامد معxن{\displaystyle x_{n}}نفسها. وبحسب نظرية فيثاغورس للفضاءات ذات الضرب الداخلي ، لدينا‖x‖2=‖xن‖2+‖x-xن‖2{\displaystyle \|x\|^{2}=\|x_{n}\|^{2}+\|x-x_{n}\|^{2}}تتم عملية البرهان عن طريق الحساب‖x-xن‖2{\displaystyle \|x-x_{n}\|^{2}}:

0≤‖x-∑ك=1ن⟨x،هـك⟩هـك‖2=⟨x-∑ك=1ن⟨x،هـك⟩هـك،x-∑ج=1ن⟨x،هـج⟩هـج⟩=‖x‖2-∑ك=1ن⟨x،هـك⟩¯⟨x،هـك⟩-∑ج=1ن⟨x،هـج⟩¯⟨هـج،x⟩+∑ك=1ن∑ج=1ن⟨x،هـك⟩¯⟨x،هـج⟩⟨هـك،هـج⟩=‖x‖2-∑ك=1ن|⟨x،هـك⟩|2-∑ج=1ن|⟨x،هـج⟩|2+∑ك=1ن|⟨x،هـك⟩|2=‖x‖2-∑ك=1ن|⟨x،هـك⟩|2{\displaystyle {\begin{aligned}0\leq \left\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\right\|^{2}&=\left\langle x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k},\;x-\sum _{j=1}^{n}\langle x,e_{j}\rangle e_{j}\right\rangle \\&=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}{\overline {\langle x,e_{k}\rangle }}\langle x,e_{k}\rangle -\sum _{j=1}^{n}{\overline {\langle x,e_{j}\rangle }}\langle e_{j},x\rangle +\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\overline {\langle x,e_{k}\rangle }}\langle x,e_{j}\rangle \langle e_{k},e_{j}\rangle \\&=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}-\sum _{j=1}^{n}|\langle x,e_{j}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}\\&=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}\end{aligned}}}

ينطبق هذا على أين≥1{\displaystyle n\geq 1}بما أن المجاميع الجزئية غير سالبة ومحدودة من الأعلى بـ‖x‖2{\displaystyle \|x\|^{2}}المسلسل∑ك=1∞|⟨x،هـك⟩|2{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}}تتقارب ومجموعها أقل من أو يساوي‖x‖2{\displaystyle \|x\|^{2}}.

متسلسلة فورييه

في نظرية متسلسلات فورييه ، وفي الحالة الخاصة لنظام فورييه المتعامد، نحصل على ما يلي:و:R→ج{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }لها فترةتي{\displaystyle T}،

∑ك∈Z|∫0تيهـ-2πأناكت/تيو(ت)دت|2≤تي∫0تي|و(ت)|2دت.{\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} }\left\vert \int _{0}^{T}e^{-2\pi ikt/T}f(t)\,\mathrm {d} t\right\vert ^{2}\leq T\int _{0}^{T}\vert f(t)\vert ^{2}\,\mathrm {d} t.}

في الحالة الخاصة حيثو:R→R{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }ثم يكون لدى المرء

|∫0تيو(ت)دت|2+2∑ن=1∞|∫0تيكوس⁡(2πكت/تي)و(ت)دت|2+2∑ن=1∞|∫0تيالخطيئة⁡(2πكت/تي)و(ت)دت|2≤تي∫0تي|و(ت)|2دت.{\displaystyle \left\vert \int _{0}^{T}f(t)\,\mathrm {d} t\right\vert ^{2}+2\sum _{n=1}^{\infty }\left\vert \int _{0}^{T}\cos(2\pi kt/T)f(t)\,\mathrm {d} t\right\vert ^{2}+2\sum _{n=1}^{\infty }\left\vert \int _{0}^{T}\sin(2\pi kt/T)f(t)\,\mathrm {d} t\right\vert ^{2}\leq T\int _{0}^{T}\vert f(t)\vert ^{2}\,\mathrm {d} t.}

حالة غير معدودة

وبشكل أعم، إذاح{\displaystyle H}هو فضاء ما قبل هيلبرت و(هـα)α∈أ{\displaystyle (e_{\alpha })_{\alpha \in A}}إذا كان نظامًا متعامدًا، فعندئذٍ لكلx∈ح{\displaystyle x\in H}[ 1 ]

∑α∈أ|⟨x،هـα⟩|2≤‖x‖2{\displaystyle \sum _{\alpha \in A}|\langle x,e_{\alpha }\rangle |^{2}\leq \lVert x\rVert ^{2}}

ويثبت ذلك من خلال ملاحظة أنه إذاF⊆أ{\displaystyle F\subseteq A}إذا كانت محدودة،

∑α∈F|⟨x،هـα⟩|2≤‖x‖2{\displaystyle \sum _{\alpha \in F}|\langle x,e_{\alpha }\rangle |^{2}\leq \lVert x\rVert ^{2}}

ثم بحسب تعريف المجموع اللانهائي

∑α∈أ|⟨x،هـα⟩|2=رشفة{∑α∈F|⟨x،هـα⟩|2:F⊆أ محدود}≤‖x‖2.{\displaystyle \sum _{\alpha \in A}|\langle x,e_{\alpha }\rangle |^{2}=\sup {\Bigl \{}\sum _{\alpha \in F}|\langle x,e_{\alpha }\rangle |^{2}:F\subseteq A{\text{ is finite}}{\Bigr \}}\leq \lVert x\rVert ^{2}.}

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 "متباينة بيسل - موسوعة الرياضيات" .
  2. ↑ ساكس، كارين (7 ديسمبر 2001). مقدمة في التحليل الوظيفي . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 82. ISBN  9780387952246.
  3. ↑ زوريتش، فلاديمير أ.؛ كوك، ر. (22-01-2004). التحليل الرياضي II . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 508-509 . ISBN  9783540406334.
  4. ↑ فيترلي، مارتن؛ كوفاسيفيتش، يلينا؛ غويال، فيفيك ك. (2014-09-04). أسس معالجة الإشارات . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 83. ISBN  9781139916578.

تتضمن هذه المقالة مواد من متباينة بيسل على موقع PlanetMath ، وهي مرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .