التعامد الطبيعي

كيف يبدو زوج من المتجهات المتعامدة في الفضاء الإقليدي ثنائي الأبعاد؟

لنفترض أن u = (x ₁ , y ₁ ) و v = (x ₂ , y ₂ ). لننظر في القيود المفروضة على x ₁ ، x ₂ ، y ₁ ، y ₂ اللازمة لجعل u و v يشكلان زوجًا متعامدًا.

• من شرط التعامد، u • v = 0.
• من خلال قيد طول الوحدة على u ، فإن || u || = 1.
• من قيد طول الوحدة على v ، فإن || v || = 1.

يؤدي توسيع هذه الحدود إلى 3 معادلات:

1. ${\displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\quad }$
2. ${\displaystyle {\sqrt {{x_{1}}^{2}+{y_{1}}^{2}}}=1}$
3. ${\displaystyle {\sqrt {{x_{2}}^{2}+{y_{2}}^{2}}}=1}$

التحويل من الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية ، مع الأخذ في الاعتبار المعادلة${\displaystyle (2)}$والمعادلة${\displaystyle (3)}$يعطي ذلك النتيجة مباشرة r ₁ = r ₂ = 1. بعبارة أخرى، فإن اشتراط أن تكون المتجهات ذات طول وحدة يقيد المتجهات لتقع على دائرة الوحدة .

بعد التعويض، تصبح المعادلة${\displaystyle (1)}$يصبح ${\displaystyle \cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}=0}$إعادة الترتيب تعطي${\displaystyle \tan \theta _{1}=-\cot \theta _{2}}$باستخدام متطابقة مثلثية لتحويل حد ظل التمام، نحصل على

${\displaystyle \tan(\theta _{1})=\tan \left(\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow \theta _{1}=\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}}$

من الواضح أنه في المستوى، فإن المتجهات المتعامدة هي ببساطة أنصاف أقطار دائرة الوحدة التي يكون الفرق بين زواياها 90 درجة.

تتمتع المجموعات المتعامدة بخصائص جذابة للغاية، مما يجعل التعامل معها سهلاً بشكل خاص.

• نظرية . إذا كانت { _e1 , _e2 , _... , en } قائمة متعامدة من المتجهات، فإن$${\displaystyle \forall {\textbf {a}}:=[a_{1},\cdots ,a_{n}];\ \|a_{1}{\textbf {e}}_{1}+a_{2}{\textbf {e}}_{2}+\cdots +a_{n}{\textbf {e}}_ {n}\|^{2}=|a_{1}|^{2}+|a_{2}|^{2}+\cdots +|a_{n}|^{2}}$$
• نظرية . كل قائمة متعامدة من المتجهات مستقلة خطيًا .

• نظرية غرام-شميدت . إذا كانت { _v1 , v2 , ..., _vn } _قائمة متجهات مستقلة خطيًا في فضاء الضرب الداخلي${\displaystyle {\mathcal {V}}}$إذن ، توجد قائمة متعامدة { e1 _, e2 _, ..., en _} من المتجهات في${\displaystyle {\mathcal {V}}}$بحيث يكون span ( e ₁ , e ₂ ,..., e _n ) = span ( v ₁ , v ₂ ,..., v _n ).

برهان نظرية غرام-شميدت بنائي ، وقد نوقش باستفاضة في موضع آخر. تضمن نظرية غرام-شميدت، إلى جانب بديهية الاختيار ، أن كل فضاء متجهي يقبل أساسًا متعامدًا. ولعل هذا هو أهم استخدام للتعامد، إذ يسمح هذا الواقع بمناقشة المؤثرات على فضاءات الضرب الداخلي من حيث تأثيرها على متجهات الأساس المتعامد للفضاء. وينتج عن ذلك علاقة وثيقة بين قابلية المؤثر للتقطير وكيفية تأثيره على متجهات الأساس المتعامد. وتتميز هذه العلاقة بنظرية الطيف .

الأساس القياسي لفضاء الإحداثيات F ⁿ هو

{ e 1 , e 2 ,..., e n } حيث	e 1 = (1, 0, ..., 0)
	e 2 = (0, 1, ..., 0)
	${\displaystyle \vdots }$
	e n = (0, 0, ..., 1)

أي متجهين eᵢ و eⱼ حيث i ≠ _j يكونان متعامدين، ومن الواضح أن جميع المتجهات لها طول وحدة واحدة. لذا، فإن المجموعة { _{e₁ ,} e₂ , ... _, eₙ } _تُشكل أساسًا متعامدًا معياريًا.

عند الإشارة إلى الدوال ذات القيم الحقيقية ، يُفترض عادةً استخدام الضرب الداخلي L² ما لم يُذكر خلاف ذلك. دالتان${\displaystyle \phi (x)}$و${\displaystyle \psi (x)}$تكون متعامدة خلال هذه الفترة${\displaystyle [a,b]}$لو

${\displaystyle (1)\quad \langle \phi (x),\psi (x)\rangle =\int _{a}^{b}\phi (x)\psi (x)dx=0,\quad {\rm {and}}}$

${\displaystyle (2)\quad ||\phi (x)||_{2}=||\psi (x)||_{2}=\left[\int _{a}^{b}|\phi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=\left[\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=1.}$

متسلسلة فورييه هي طريقة للتعبير عن دالة دورية بدلالة دوال أساسية جيبية . باعتبار C [−π,π] فضاء جميع الدوال الحقيقية المتصلة على الفترة [−π,π]، وباعتبار الضرب الداخلي هو

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)dx}$

يمكن إثبات ذلك

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},{\frac {\sin(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\sin(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\sin(nx)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\cos(nx)}{\sqrt {\pi }}}\right\},\quad n\in \mathbb {N} }$

يشكل مجموعة متعامدة.

مع ذلك، فإن هذا الأمر ليس ذا أهمية كبيرة، لأن الفضاء C [−π,π] لا نهائي الأبعاد، ولا يمكن لمجموعة محدودة من المتجهات أن تولده. ولكن، بإزالة شرط أن يكون n محدودًا، تصبح المجموعة كثيفة في C [−π,π]، وبالتالي تشكل أساسًا متعامدًا معياريًا للفضاء C [−π,π].