قانون بيتز

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 28 صور
الموسوعة الحرة
رسم تخطيطي لتدفق السوائل عبر مشغل قرصي الشكل . بالنسبة لسائل ذي كثافة ثابتة، تتناسب مساحة المقطع العرضي عكسياً مع السرعة.

في الديناميكا الهوائية ، يُشير قانون بيتز إلى أقصى قدرة يُمكن استخلاصها من الرياح، بغض النظر عن تصميم توربينات الرياح في التدفق المفتوح. وقد نُشر هذا القانون عام 1919 على يد الفيزيائي الألماني ألبرت بيتز . [ 1 ] [ 2 ] ويستند القانون إلى مبادئ حفظ الكتلة والزخم لتيار الهواء المتدفق عبر " قرص مُحرك " مثالي يستخلص الطاقة من تيار الرياح. ووفقًا لقانون بيتز، لا يُمكن لأي توربين رياح، مهما كانت آلية عمله ، أن يستخلص أكثر من 16/27 (59.3%) من الطاقة الحركية للرياح. [ 2 ] ويُعرف العامل 16/27 (0.593) بمعامل بيتز أو حد بيتز . [ 2 ] وتصل توربينات الرياح العملية واسعة النطاق إلى ذروة تتراوح بين 75% و80% من حد بيتز. [ 3 ] [ 4 ]

يعتمد حد بيتز على مشغل قرص مفتوح . إذا تم استخدام موزع لجمع تدفق هواء إضافي وتوجيهه عبر التوربين، يمكن استخلاص المزيد من الطاقة، لكن الحد لا يزال ينطبق على المقطع العرضي للهيكل بأكمله. [ 5 ]

المفاهيم

ينطبق قانون بيتز على جميع الموائع النيوتونية ، بما فيها الرياح. إذا استُخرجت كل الطاقة الناتجة عن حركة الرياح عبر التوربين كطاقة مفيدة، فإن سرعة الرياح ستنخفض إلى الصفر. وإذا توقفت الرياح عند مخرج التوربين، فلن يدخل المزيد من الهواء، إذ سيُحجب. وللحفاظ على استمرار حركة الرياح عبر التوربين، لا بد من وجود حركة رياح، مهما كانت ضئيلة، على الجانب الآخر بسرعة أكبر من الصفر. يُبين قانون بيتز أنه مع تدفق الهواء عبر مساحة معينة، ومع تباطؤ سرعة الرياح نتيجة فقدان الطاقة لاستخلاصها من التوربين، يجب أن ينتشر تدفق الهواء إلى مساحة أوسع. ونتيجة لذلك، تحدّ الهندسة من الكفاءة القصوى لأي توربين.

اكتشافات مستقلة

توصل العالم البريطاني فريدريك دبليو لانشستر إلى القيمة القصوى نفسها عام 1915. كما نشر نيكولاي جوكوفسكي ، رائد المدرسة الروسية للديناميكا الهوائية، النتيجة نفسها لتوربين رياح مثالي عام 1920، [ 6 ] وهو العام نفسه الذي نشر فيه بيتز هذه النتيجة. [ 7 ] وبذلك، يُعد هذا مثالاً على قانون ستيجلر ، الذي ينص على أنه لا يُنسب أي اكتشاف علمي إلى مكتشفه الحقيقي.

دليل

حد بيتز هو أقصى طاقة ممكنة يمكن استخلاصها بواسطة دوار رقيق للغاية من سائل يتدفق بسرعة معينة. [ 8 ]

لحساب أقصى كفاءة نظرية لدوار رقيق (مثل توربين رياح )، يُفترض استبداله بقرص يمتص الطاقة من المائع المار عبره. عند مسافة معينة خلف هذا القرص، تكون سرعة المائع الذي مر عبره منخفضة، ولكنها غير معدومة. [ 8 ]

الافتراضات

  1. القرص مثالي، بدون محور (بحيث لو تم تصوره كدوار، لكان بإمكانه أن يحتوي على عدد لا نهائي من الشفرات التي لا تُسبب أي مقاومة). يُفترض أن أي عيوب تُقلل من الكفاءة.
  2. باعتباره نموذجًا أحادي البعد فعليًا، يكون التدفق داخل القرص وخارجه محوريًا، وتكون جميع السرعات منتظمة عرضيًا. هذا تحليل حجم تحكم؛ يجب أن يحتوي حجم التحكم على جميع التدفقات الداخلة والخارجة لاستخدام معادلات الحفظ.
  3. التدفق غير قابل للانضغاط. الكثافة ثابتة، ولا يوجد انتقال للحرارة. [ 9 ]
  4. يتم تطبيق ضغط منتظم على القرص. (لا يوجد اعتماد شعاعي على الضغط في هذا النموذج أحادي البعد.)

تطبيق قانون حفظ الكتلة (معادلة الاستمرارية)

بتطبيق قانون حفظ الكتلة على حجم التحكم، يكون معدل تدفق الكتلة (كتلة السائل المتدفقة لكل وحدة زمنية) هو

م˙=ρأ1v1=ρSv=ρأ2v2،{\displaystyle {\dot {m}}=\rho A_{1}v_{1}=\rho Sv=\rho A_{2}v_{2},}

حيث v 1 هي سرعة السائل في مقدمة الدوار، و v 2 هي السرعة في اتجاه مجرى الدوار، و v هي السرعة عند جهاز الطاقة السائلة، و ρ هي كثافة السائل.S{\displaystyle S}هي مساحة التوربين، وأ1{\displaystyle A_{1}}وأ2{\displaystyle A_{2}}هي مناطق السائل قبل وبعد التوربين (مدخل ومخرج حجم التحكم).

يجب أن تكون الكثافة مضروبة في المساحة والسرعة متساوية في كل منطقة من المناطق الثلاث: قبل التوربين، وأثناء المرور عبر التوربين، وبعد التوربين.

القوة التي يؤثر بها الدوار على الرياح هي كتلة الهواء مضروبة في تسارعه: F=مأ=مدvدت=م˙Δv=ρSv(v1-v2).{\displaystyle {\begin{align}F&=ma\\&=m{\frac {dv}{dt}}\\&={\dot {m}}\,\Delta v\\&=\rho Sv(v_{1}-v_{2}).\end{محاذاة}}}

القوة والعمل

يمكن كتابة العمل الإضافي الذي تقوم به القوة على النحو التالي

دهـ=Fدx،{\displaystyle dE=F\,dx,}

وقوة الرياح (معدل الشغل المنجز) هي

P=دهـدت=Fدxدت=Fv.{\displaystyle P={\frac {dE}{dt}}=F{\frac {dx}{dt}}=Fv.}

بإدخال قيمة القوة F المحسوبة أعلاه في معادلة القدرة، نحصل على القدرة المستخرجة من الرياح.

P=ρSv2(v1-v2).{\displaystyle P=\rho Sv^{2}(v_{1}-v_{2}).}

مع ذلك، يمكن حساب القدرة بطريقة أخرى، باستخدام الطاقة الحركية. بتطبيق معادلة حفظ الطاقة على حجم التحكم، نحصل على

P=ΔهـΔت=12م˙(v12-v22).{\displaystyle P={\frac {\Delta E}{\Delta t}}={\tfrac {1}{2}}{\dot {m}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}).}

وباستبدال معدل تدفق الكتلة من معادلة الاستمرارية نحصل على

P=12ρSv(v12-v22).{\displaystyle P={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}).}

كلا التعبيرين عن القدرة صحيحان؛ أحدهما مشتق من دراسة الشغل المتزايد، والآخر من قانون حفظ الطاقة. ومساواة هذين التعبيرين ينتج عنه

P=12ρSv(v12-v22)=ρSv2(v1-v2).{\displaystyle P={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})=\rho Sv^{2}(v_{1}-v_{2}).}

لا يمكن أن تكون الكثافة صفرًا لأي قيمة لـ v و S، لذلك

12(v12-v22)=12(v1-v2)(v1+v2)=v(v1-v2)،{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})={\tfrac {1}{2}}(v_{1}-v_{2})(v_{1}+v_{2})=v(v_{1}-v_{2}),}

أو

v=12(v1+v2).{\displaystyle v={\tfrac {1}{2}}(v_{1}+v_{2}).}

يمكن اعتبار سرعة الرياح الثابتة عبر الدوار متوسطًا لسرعتي الرياح في اتجاهي التيار. تُعد هذه المرحلة، بلا شك، الأكثر تناقضًا مع الحدس في اشتقاق قانون بيتز. وهي نتيجة مباشرة لفرضية "التدفق المحوري"، التي تمنع أي تدفق كتلي شعاعي في منطقة قرص المحرك. [ 10 ] مع انعدام تسرب الكتلة وثبات قطر منطقة المحرك، لا يمكن أن تتغير سرعة الهواء في منطقة التفاعل. وبالتالي، لا يمكن استخلاص أي طاقة إلا من مقدمة ومؤخرة منطقة التفاعل، مما يُثبّت سرعة الهواء لقرص المحرك عند المتوسط. (قد يسمح إزالة هذا القيد بأداء أعلى مما يسمح به قانون بيتز، ولكن يجب أيضًا مراعاة التأثيرات الشعاعية الأخرى. [ 10 ] يختلف تأثير السرعة الثابتة هذا عن فقدان الطاقة الحركية الشعاعية الذي يتم تجاهله أيضًا. [ 11 ] )

قانون بيتز ومعامل الأداء

بالعودة إلى التعبير السابق عن القدرة بناءً على الطاقة الحركية:

P=12م˙(v12-v22)=12ρSv(v12-v22)=14ρS(v1+v2)(v12-v22)=14ρSv13(1+(v2v1)-(v2v1)2-(v2v1)3).// S(v_{1}+v_{2})(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})\\&={\tfrac {1}{4}}\rho Sv_{1}^{3}\left(1+\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\يمين)-\left({\frac) {v_{2}}{v_{1}}}\يمين)^{2}-\يسار({\frac) {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{3}\right).\end{aligned}}}

يعكس المحور الأفقي النسبة v 2 / v 1 ، والمحور الرأسي هو معامل القدرة [ 12 ] C P .

من خلال التمييزP{\displaystyle P}بالنسبة إلىv2v1{\displaystyle {\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}}بالنسبة لسرعة سائل معينة v1 ومساحة معينة S ، يتم إيجاد القيمة القصوى أو الدنيا لـP{\displaystyle P}والنتيجة هي أنP{\displaystyle P}تصل إلى أقصى قيمة عندماv2v1=13{\displaystyle {\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}={\tfrac {1}{3}}}.

يؤدي استبدال هذه القيمة إلى

Pالأعلى=1627⋅12ρSv13.{\displaystyle P_{\text{max}}={\tfrac {16}{27}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.}

القدرة التي يمكن الحصول عليها من أسطوانة من سائل ذات مساحة مقطع عرضي S وسرعة v1 هي

P=جP⋅12ρSv13.{\displaystyle P=C_{\text{P}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.}

تُعتبر القدرة المرجعية لحساب كفاءة بيتز هي القدرة في سائل متحرك داخل أسطوانة ذات مساحة مقطع عرضي S وسرعة v 1 :

Pرياح=12ρSv13.{\displaystyle P_{\text{wind}}={\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.}

معامل القدرة [ 13 ] C P (= P / P wind ) هو النسبة غير البعدية بين القدرة القابلة للاستخراج P إلى القدرة الحركية P wind المتاحة في التيار غير الموزع. وله قيمة قصوى C P  max = 16/27 = 0.593 (أو 59.3%؛ مع ذلك، تُعبّر معاملات الأداء عادةً كعدد عشري، وليس كنسبة مئوية). والصيغة الناتجة هي:  

جP(v2v1)=12(1+(v2v1)-(v2v1)2-(v2v1)3){\displaystyle C_{P}\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(1+\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{3}\right)}

تحقق توربينات الرياح الكبيرة الحديثة قيمًا قصوى لمعامل القدرة ( CP) تتراوح بين 0.45 و0.50، [ 3 ] أي ما يعادل 75-85% من الحد الأقصى النظري الممكن. عند سرعات الرياح العالية، حيث تعمل التوربينة بقدرتها المقننة، تقوم التوربينة بتدوير شفراتها (تغيير زاوية ميلها) لخفض معامل القدرة (CP ) وحماية نفسها من التلف. تزداد قدرة الرياح بمقدار 8 أضعاف من 12.5 إلى 25 م/ث، لذا يجب أن ينخفض ​​معامل القدرة ( CP) تبعًا لذلك، ليصل إلى 0.06 عند سرعة رياح تبلغ 25 م/ث.  

فهم نتائج بيتز

نسبة السرعةv2v1=13{\displaystyle {\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}={\tfrac {1}{3}}}يشير الفرق بين الرياح الخارجة والداخلة إلى أن الهواء الخارج لا يحتوي إلا على(13)2=19{\displaystyle ({\tfrac {1}{3}})^{2}={\tfrac {1}{9}}}الطاقة الحركية للهواء الداخل، و89{\displaystyle {\tfrac {8}{9}}}تم استخلاص جزء من طاقة الهواء الداخل. هذا حساب صحيح، ولكنه لا يأخذ في الاعتبار سوى الهواء الداخل الذي يمر في النهاية عبر الدوار.

تتمثل الخطوة الأخيرة في حساب كفاءة بيتز C<sub> p</sub> في قسمة القدرة المحسوبة المستخرجة من التدفق على قدرة مرجعية. وتستخدم تحليلات بيتز، كقدرة مرجعية، قدرة الهواء المتحرك في اتجاه التيار بسرعة V<sub> 1</sub> عبر مساحة المقطع العرضي S للدوار.أ1=23S{\displaystyle A_{1}={\tfrac {2}{3}}S}عند حد بيتز، يقوم الدوار باستخراج89{\displaystyle {\tfrac {8}{9}}}ل23{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}، أو1627،{\displaystyle {\tfrac {16}{27}},}من الطاقة الحركية الواردة.

نظراً لتغير مساحة المقطع العرضي للهواء المتدفق عبر الدوار، فلا بد من وجود تدفق للهواء في الاتجاهات العمودية على محور الدوار. ولا تؤثر أي طاقة حركية مرتبطة بهذا التدفق القطري على الحسابات، لأنها لا تأخذ في الاعتبار سوى حالتي الهواء الابتدائية والنهائية في النظام.

الحدود العليا لتوربينات الرياح

على الرغم من شيوع الترويج له (مثلاً [ 14 ] [ 15 ] ) باعتباره الحد الأقصى المطلق لاستخلاص الطاقة بواسطة أي توربين رياح، إلا أنه ليس كذلك. فعلى الرغم من العنوان المُضلل لمقالته، [ 16 ] لم يُقدم بيتز (ولا لانشستر) مثل هذا الادعاء المطلق . [ 1 ] والجدير بالذكر أن توربين الرياح الذي يعمل بأقصى كفاءة لبيتز يُنتج دوامة هوائية بسرعة رياح غير صفرية. [ 3 ] [ 1 ] أي قرص مُشغل موضوع في اتجاه مجرى الهواء من القرص الأول سيُستخلص طاقة إضافية، وبالتالي يتجاوز مُركب المُشغل المزدوج المُدمج حد بيتز. [ 17 ] [ 18 ] قد يكون قرص المُشغل الثاني، ولكن ليس بالضرورة، في منطقة الرياح البعيدة (خطوط الانسياب الموازية) حتى يكون هذا الاعتبار صحيحًا.

يكمن سبب هذا الاستثناء المثير للدهشة لقانون قائم فقط على قوانين حفظ الطاقة والتدفق في الافتراض البسيط ظاهريًا المتمثل في التجانس العرضي لملف تعريف الرياح المحوري داخل خطوط التدفق. فعلى سبيل المثال، تتميز توربينات الرياح ذات المحركين المذكورة آنفًا، في اتجاه مجرى الرياح، بملف تعريف عرضي للرياح بسرعتين مختلفتين، وبالتالي فهي غير مقيدة بحدود قرص المحرك الواحد.

رياضيًا، يتضمن اشتقاق قرص المحرك الواحد ضمنيًا افتراضًا بأن سرعة الرياح لا تتغير أثناء مرورها عبر المحرك "الرقيق للغاية" ؛ في المقابل، في النظام الهجين ذي المحركين، تتغير سرعة الرياح أثناء مرورها، مما يُبطل الخطوة الأساسية في الاشتقاق التي تتطلب سرعة ثابتة. لا يمكن لمحرك رقيق للغاية واحد تغيير السرعة لأنه لن يحافظ على التدفق، ولكن في الزوج الهجين، يمكن فقدان التدفق (خارج المقطع العرضي) بين المحركين، مما يسمح بسرعة خروج نهائية مختلفة عن سرعة الدخول. [ 17 ] [ 18 ]

توصلت دراسةٌ إلى حدٍّ أعلى عالمي لحصادات طاقة الرياح، بتعميم صيغة قانون بيتز لتشمل السرعة المحورية المتغيرة، حيثُ وُجد أنَّ الحد الأعلى لحصاد طاقة الرياح المتاحة يبلغ ثلثي الطاقة. [ 19 ] وقد تم تحليل توربينات رياح متعددة المحاور. [ 14 ] ورغم أنَّ هذه التوربينات لا تتجاوز حد بيتز عمليًا، إلا أنَّ ذلك قد يُعزى إلى أنَّ الدوارات لا تُعاني من خسائر فحسب، بل يجب أن تخضع أيضًا لعزم الدوران الزاوي [ 20 ] ونظرية زخم عنصر الشفرة ، مما يحد من كفاءتها دون حد بيتز . [ 11 ]

الأهمية الاقتصادية

معظم توربينات الرياح الحقيقية ذات تصميم انسيابي رقيق، مما يجعلها قريبة من افتراضات قانون بيتز. وبقدر ما يقترب توربين الرياح النموذجي من افتراضات قانون بيتز، فإن حد بيتز يفرض حدًا أقصى تقريبيًا للطاقة السنوية التي يمكن استخراجها في موقع ما. حتى لو هبت رياح افتراضية باستمرار لمدة عام كامل، فإن أي توربين رياح يُحاكى بدقة باستخدام نموذج قرص المحرك لن يتمكن من استخراج طاقة تتجاوز حد بيتز للطاقة التي يمكن استخراجها من رياح ذلك العام.

ينتج تحسين الكفاءة الاقتصادية للنظام بشكل أساسي عن زيادة الإنتاج لكل وحدة، مقاسة لكل متر مربع من مساحة تعرض الريشة. وتُعدّ زيادة كفاءة النظام ضرورية لخفض تكلفة إنتاج الطاقة الكهربائية. وقد تتحقق هذه الزيادة في الكفاءة من خلال هندسة أجهزة التقاط طاقة الرياح، مثل تصميم وديناميكية توربينات الرياح، مما قد يزيد من توليد الطاقة من هذه الأنظمة ضمن حدود بيتز. كما قد تُسهم زيادة كفاءة النظام في تطبيقات الطاقة أو نقلها أو تخزينها في خفض تكلفة الطاقة لكل وحدة.

نقاط الاهتمام

تفرض افتراضات اشتقاق بيتز [ 21 ] بعض القيود الفيزيائية على طبيعة توربينات الرياح التي ينطبق عليها (مثل تساوي سرعة الدخول والخروج). ولكن بغض النظر عن هذه الافتراضات، فإن حد بيتز لا يعتمد على الآليات الداخلية لنظام استخلاص طاقة الرياح، وبالتالي يمكن أن يأخذ S أي شكل شريطة أن ينتقل التدفق من مدخل حجم التحكم إلى مخرجه، وأن يكون لحجم التحكم سرعات دخول وخروج منتظمة. أي تأثيرات خارجية لا تؤدي إلا إلى انخفاض أداء النظام (عادةً ما يكون توربينًا) نظرًا لأن هذا التحليل تم تبسيطه لإهمال الاحتكاك. أي تأثيرات غير مثالية من شأنها أن تقلل من الطاقة المتاحة في السائل الداخل، مما يقلل من الكفاءة الإجمالية.

وقد ادعى بعض المصنعين والمخترعين تجاوز الحد باستخدام الفوهات وأجهزة تحويل الرياح الأخرى، وذلك عادةً عن طريق تحريف حد بيتز وحساب مساحة الدوار فقط وليس إجمالي مدخلات الهواء التي تساهم في طاقة الرياح المستخرجة من النظام.

لا ينطبق حد بيتز عند حساب كفاءة التوربينات في التطبيقات المتنقلة، مثل المركبات التي تعمل بطاقة الرياح ، إذ يمكن نظريًا أن تقترب الكفاءة من 100% مطروحًا منها خسائر الشفرات، إذا كان تدفق المائع عبر قرص التوربين (أو ما يعادله) مُعاقًا بشكل طفيف جدًا. ولأن هذا يتطلب بنية ضخمة للغاية، نادرًا ما تصل الأجهزة العملية إلى 90% أو أكثر. تكون كمية الطاقة المستخرجة من تدفق المائع عند كفاءات التوربينات العالية أقل من حد بيتز، وهو ليس من نفس نوع الكفاءة.

التطور الحديث

في عام 1934، اشتق هـ. غلاورت معادلة كفاءة التوربين، مع الأخذ في الاعتبار المركبة الزاوية للسرعة، وذلك بتطبيق معادلة توازن الطاقة عبر مستوى الدوار. [ 20 ] وبفضل نموذج غلاورت، تكون الكفاءة أقل من حد بيتز، وتقترب منه تقاربًا عندما تؤول نسبة سرعة طرف الشفرة إلى اللانهاية.

في عام 2001، قدّم غوربان وغورلوف وسيلانتيف نموذجًا قابلًا للحل بدقة (GGS)، يأخذ في الاعتبار توزيع الضغط غير المنتظم والتدفق المنحني عبر مستوى التوربين (وهي مشكلات لم يتضمنها منهج بيتز). [ 11 ] وقد استخدموا نموذج كيرشوف وعدّلوه ، [ 22 ] الذي يصف منطقة الاضطراب خلف المشغل بأنها تدفق "متدهور"، ويستخدم معادلة أويلر خارج المنطقة المتدهورة. يتوقع نموذج GGS أن ذروة الكفاءة تتحقق عندما يكون التدفق عبر التوربين حوالي 61% من إجمالي التدفق، وهو ما يُشابه إلى حد كبير نتيجة بيتز البالغة 2/3 للتدفق الذي يؤدي إلى ذروة الكفاءة، إلا أن نموذج GGS توقع أن ذروة الكفاءة نفسها أقل بكثير: 30.1%.

في عام 2008، طُبقت حسابات اللزوجة القائمة على ديناميكيات الموائع الحسابية (CFD) على نمذجة توربينات الرياح، وأظهرت توافقًا مُرضيًا مع النتائج التجريبية. [ 23 ] عادةً ما تكون الكفاءة المثلى المحسوبة بين حد بيتز وحل GGS.

مراجع

  1. 1 2 3 بيتز، أ. (1966) مقدمة في نظرية آلات التدفق . (ترجمة دي جي راندال) أكسفورد: مطبعة بيرغامون.
  2. 1 2 3 عارف، محمد (2019). تقنيات توليد الطاقة: مقدمة . إسلام آباد: المعهد الباكستاني للهندسة والعلوم التطبيقية (PIEAS). ص  178. ISBN 978-969-7583-01-0.
  3. 1 2 3 "Enercon E-family, 330 kW to 7.5 MW, Wind Turbine Specification" مؤرشف بتاريخ 2011-05-16 في Wayback Machine .
  4. ↑ توني بيرتون وآخرون (محررون)، دليل طاقة الرياح ، جون وايلي وأولاده 2001، رقم ISBN 0471489972، الصفحة 65.
  5. ↑ فاز، جيرسون آر بي؛ وود، ديفيد إتش. (2018). "تأثير كفاءة المشتت على أداء توربينات الرياح" . الطاقة المتجددة . 126 (ج): 969-977 .
  6. ↑ أوكولوف، فاليري ل.؛ فان كويك، جيس أ.م. (2012). "حد بيتز-جوكوفسكي: حول مساهمة المدرسة الروسية للديناميكا الهوائية في ديناميكيات دوارات الرياح" (ملف PDF) . طاقة الرياح . 15 (2): 335-344 . doi : 10.1002/we.467 .
  7. ^ جيجس إيه إم فان كويك، حد لانشيستر-بيتز-جوكوفسكي . أرشفة 9 يونيو 2011 في آلة Wayback .، طاقة الرياح. 2007; 10: 289-291.
  8. 1 2 مانويل، جيه إف؛ ماكجوان، جيه جي؛ روجرز، إيه إل (فبراير 2012). شرح طاقة الرياح: النظرية والتصميم والتطبيق . تشيتشستر، غرب ساسكس، المملكة المتحدة: جون وايلي وأولاده المحدودة. الصفحات 92-96 . ISBN  9780470015001.
  9. ↑ تشانغ، ز. (2022-08-15). "أخطاء مفاهيمية في نظرية قرص المحرك وقانون بيتز لتوربينات الرياح" . مجلة Energies . 15 (16): 5902. doi : 10.3390/en15165902 . hdl : 11475/26476 . ISSN 1996-1073 . 
  10. 1 2 نيومان، بي جي (1966). "نظرية القرص المحرك المتعدد لتوربينات الرياح" . مجلة هندسة الرياح والديناميكا الهوائية الصناعية . 24 (3): 215-225 . Bibcode : 1986JWEIA..24..215N . doi : 10.1016/0167-6105(86)90023-1 .
  11. غوربان ، أ.ن.؛ غورلوف، أ.م.؛ سيلانتيف، ف.م. (ديسمبر 2001). " حدود كفاءة التوربينات لتدفق السوائل الحر" (ملف PDF) . مجلة تكنولوجيا موارد الطاقة . 123 (4): 311-317 . doi : 10.1115/1.1414137 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 13 فبراير 2024. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 يونيو 2009 .
  12. ↑ "معامل القدرة" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 31-10-2009.
  13. ↑ "رابطة صناعة طاقة الرياح الدنماركية" . مؤرشف في 31 أكتوبر 2009، على موقع Wayback Machine
  14. 1 2 شيندي، ساشين مانوهار؛ تشودري، موهيت؛ جيوركار، تيجا؛ كادام، سانكيت؛ سالونكي، كيران ب. (2019). "تصميم وتحليل توربينات الرياح ذات الدوار المحوري" . وقائع المؤتمر الدولي للتصنيع الذكي والأتمتة . سلسلة محاضرات في الهندسة الميكانيكية. ص 69-80 . doi : 10.1007/978-981-13-2490-1_7 . ISBN  978-981-13-2489-5.
  15. ↑ حد بيتز - والكفاءة القصوى لتوربينات الرياح ذات المحور الأفقي
  16. ↑ بيتز، أ. (2013). "الحد الأقصى للاستغلال النظري الممكن للرياح بواسطة محرك رياح". هندسة الرياح . 37 (4): 441-446 . Bibcode : 2013WiEng..37..441B . doi : 10.1260/0309-524X.37.4.441 . JSTOR 43857254 . 
  17. 1 2 نيومان، بي جي (1983). "نظرية القرص المحرك لتوربينات الرياح ذات المحور الرأسي" . مجلة هندسة الرياح والديناميكا الهوائية الصناعية . 15 ( 1-3 ): 347-355 . Bibcode : 1983JWEIA..15..347N . doi : 10.1016/0167-6105(83)90204-0 .
  18. 1 2 نيومان، بي جي (1986). "نظرية القرص المحرك المتعدد لتوربينات الرياح" . مجلة هندسة الرياح والديناميكا الهوائية الصناعية . 24 (3): 215-225 . Bibcode : 1986JWEIA..24..215N . doi : 10.1016/0167-6105(86)90023-1 .
  19. ↑ شتراوس، تشارلي إي إم (2021). "التغلب على قانون بيتز: حد أعلى أساسي أكبر لحصاد طاقة الرياح". arXiv : 2110.14612 [ physics.flu-dyn ].
  20. 1 2 وايت، إف إم، ميكانيكا الموائع ، الطبعة الثانية، 1988، ماكجرو هيل، سنغافورة
  21. ↑ راو، أ.؛ سيليرت، و. (1984-01-01). "كفاءة بيتز المثلى لطواحين الهواء" . الطاقة التطبيقية . 17 (1): 15-23 . Bibcode : 1984ApEn...17...15R . doi : 10.1016/0306-2619(84)90037-0 . ISSN 0306-2619 . 
  22. ↑ ميلن-تومسون، إل إم (1960). الديناميكا المائية النظرية ( الطبعة الرابعة). نيويورك: ماكميلان. ص 632.  
  23. ↑ هارتوانجر، د.؛ هورفات، أ. (10-11 يونيو 2008). نمذجة ثلاثية الأبعاد لتوربين رياح باستخدام ديناميكا الموائع الحسابية (ملف PDF) . مؤتمر NAFEMS UK لعام 2008: المحاكاة الهندسية: الاستخدام الفعال وأفضل الممارسات. تشيلتنهام، المملكة المتحدة. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 7 أغسطس 2009.