مؤشر القطع الناقص

في علم البصريات البلورية ، يُعدّ القطع الناقص للمؤشر  (المعروف أيضًا باسم مؤشر الانكسار البصري  ^{[ 1 ]} أو أحيانًا باسم القطع الناقص العازل  ^{[ 2 ]} ) تمثيلًا هندسيًا يُظهر بإيجاز معاملات الانكسار  واستقطاب الضوء المرتبط بها ، كدوال لاتجاه جبهة الموجة ، في بلورة ذات انكسار مزدوج (بشرط ألا تُظهر البلورة دورانًا بصريًا ). عند قطع هذا القطع الناقص من مركزه بمستوى موازٍ لجبهة الموجة، يكون التقاطع الناتج (المسمى بالقسم المركزي أو القسم القطري ) قطعًا ناقصًا، حيث يساوي طول نصفي محوريه الأكبر والأصغر معاملي الانكسار لهذا الاتجاه من جبهة الموجة، ويمثلان اتجاهي الاستقطابين كما هو موضح بواسطة متجه الإزاحة الكهربائية D. ^{[ 3} ] يُطلق على نصفي المحور الرئيسيين ^للقطع الناقص للمؤشر اسم معاملات الانكسار الرئيسية . ^{[ 4 ]}  

يستنتج من عملية التقطيع أن كل نصف محور رئيسي للقطع الناقص لا يمثل عادةً معامل الانكسار للانتشار في اتجاه ذلك المحور، بل يمثل معامل الانكسار للانتشار عموديًا على ذلك المحور، مع كون متجه D موازيًا لذلك المحور (وموازيًا لجبهة الموجة). وبالتالي، فإن اتجاه الانتشار (العمودي على جبهة الموجة) الذي ينطبق عليه كل معامل انكسار رئيسي يقع في المستوى العمودي على نصف المحور الرئيسي المرتبط به.

لا ينبغي الخلط بين القطع الناقص للمؤشر وسطح المؤشر  ، الذي يكون متجه نصف قطره (من نقطة الأصل) في أي اتجاه هو في الواقع معامل الانكسار للانتشار في ذلك الاتجاه؛ بالنسبة لوسط ثنائي الانكسار، فإن سطح المؤشر هو السطح ذو الطبقتين الذي يكون لمتجهي نصف قطره في أي اتجاه أطوال تساوي نصفي المحور الأكبر والأصغر للقسم القطري للقطع الناقص للمؤشر بواسطة مستوى عمودي على ذلك الاتجاه.

إذا سمحنا${\displaystyle n_{\text{a}},n_{\text{b}},n_{\text{c}}}$لنرمز إلى المحاور الرئيسية للقطع الناقص للمؤشر، ولنختر نظام إحداثيات ديكارتية تكون فيه هذه المحاور على التوالي في${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$، و${\displaystyle z}$في هذه الاتجاهات، تكون معادلة القطع الناقص للمؤشر هي

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{n_{\text{a}}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{n_{\text{b}}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{n_{\text{c}}^{2}}}=1\,.}$

1

إذا كان شكل القطع الناقص لمؤشر الانكسار ثلاثي المحاور (أي أن أنصاف محاوره الرئيسية غير متساوية)، فإنه يوجد مستويان قاطعان يختزل عندهما المقطع القطري إلى دائرة. بالنسبة لجبهات الموجة الموازية لهذين المستويين، تكون جميع الاستقطابات مسموحة ولها نفس معامل الانكسار، وبالتالي نفس سرعة الموجة. تُسمى الاتجاهات العمودية على هذين المستويين - أي اتجاهات سرعة الموجة الواحدة لجميع الاستقطابات - بالمحاور الثنائية العمودية  ^{[ 5 ]} أو المحاور البصرية ^{[ 6 ]} ، ولذلك يُقال إن الوسط ثنائي المحاور . ^{[ ملاحظة 1 ]} وبالتالي، ومن المفارقات، أنه إذا كان شكل القطع الناقص لمؤشر الانكسار لوسط ما ثلاثي المحاور، فإن الوسط نفسه يُسمى ثنائي المحاور.

إذا تساوى نصفا المحورين الرئيسيين لسطح الإهليلج ذي المؤشر (وفي هذه الحالة يُسمى طولهما المشترك المؤشر العادي ، والطول الثالث المؤشر غير العادي )، فإن الإهليلج يتحول إلى شكل كروي (إهليلج دوراني)، ويتحد المحوران البصريان، فيُقال إن الوسط أحادي المحور . ^{[ ملاحظة 2 ]} عندما يتحول سطح الإهليلج ذي المؤشر إلى شكل كروي، فإن سطح المؤشر المكون من ورقتين منه يتحول إلى كرة وشكل كروي متلامسين عند طرفي محورهما المشترك، وهو موازٍ لمحور الإهليلج ذي المؤشر؛ ^{[ 7 ]} ولكن المحورين الرئيسيين للإهليلج ذي المؤشر الكروي والورقة الكروية لسطح المؤشر يتبادلان. في حالة الكالسيت المعروفة ، على سبيل المثال، يكون شكل الإهليلج المؤشر كرويًا مفلطحًا ، بحيث تكون إحدى صفائح سطح المؤشر عبارة عن كرة تلامس ذلك الشكل الكروي المفلطح عند خط الاستواء، بينما تكون الصفيحة الأخرى من سطح المؤشر كروية متطاولة تلامس الكرة عند القطبين، بنصف قطر استوائي (مؤشر غير عادي) يساوي نصف القطر القطبي للإهليلج المؤشر الكروي المفلطح. ^{[ ملاحظة 3 ]}

إذا تساوت جميع المحاور الرئيسية الثلاثة لقطع ناقص المؤشر، فإنه يتحول إلى كرة: جميع المقاطع القطرية لقطع ناقص المؤشر دائرية، ومن ثمّ يُسمح بجميع الاستقطابات لجميع اتجاهات الانتشار، مع معامل انكسار واحد لجميع الاتجاهات، ويندمج سطح المؤشر مع قطع ناقص المؤشر (الكروي)؛ باختصار، يكون الوسط متجانسًا بصريًا . تُظهر البلورات المكعبة هذه الخاصية ^{[ 8 ]} ، وكذلك الأوساط الشفافة غير المتبلورة مثل الزجاج والماء. ^{[ 9 ]}

يمكن تعريف سطح مماثل لسطح القطع الناقص للمؤشر لسرعة الموجة (العمودية على جبهة الموجة) بدلاً من معامل الانكسار. لنفترض أن n يمثل طول متجه نصف القطر من نقطة الأصل إلى أي نقطة عامة على سطح القطع الناقص للمؤشر. عندئذٍ، بقسمة المعادلة ⁽  1 ) على n² نحصل على

${\displaystyle {\frac {\cos ^{2}\xi }{n_{\text{a}}^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\eta }{n_{\text{b}}^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\zeta }{n_{\text{c}}^{2}}}={\frac {1}{n^{2}}}\,,}$

2

أين${\displaystyle \cos \xi }$،${\displaystyle \cos \eta }$، و${\displaystyle \cos \zeta }$تمثل هذه القيم جيوب تمام اتجاه متجه نصف القطر. لكن n هو أيضًا معامل الانكسار لجبهة موجية موازية لقسم قطري يكون متجه نصف قطره نصف المحور الأكبر أو الأصغر. إذا كانت سرعة تلك الجبهة الموجية${\displaystyle v}$لدينا${\displaystyle n=c_{0}/v}$، أين${\displaystyle c_{0}}$هي سرعة الضوء في الفراغ. ^{[ ملاحظة 4 ]} بالنسبة للمحاور الرئيسية لقطع ناقص المؤشر، والتي تأخذ n القيم${\displaystyle n_{\text{a}},n_{\text{b,}}n_{\text{c}},}$يترك${\displaystyle v}$خذ القيم a و b و c على التوالي ، بحيث${\displaystyle n_{\text{a}}=c_{0}/a,}$ ${\displaystyle n_{\text{b}}=c_{0}/b,}$و${\displaystyle n_{\text{c}}=c_{0}/c}$بإجراء هذه الاستبدالات في ( 2 ) وحذف العامل المشترك${\displaystyle c_{0}^{2}}$، نحصل

${\displaystyle v^{2}=a^{2}\cos ^{2}\xi +b^{2}\cos ^{2}\eta +c^{2}\cos ^{2}\zeta \,.}$

3

اشتق أوغستين-جان فرينل هذه المعادلة في يناير 1822. ^{[ 10 ]} إذا${\displaystyle v}$يمثل طول متجه نصف القطر، وتصف المعادلة سطحًا له خاصية أن المحاور الرئيسية والثانوية لأي مقطع قطري لها أطوال تساوي سرعات الموجة العمودية للجبهات الموازية لهذا المقطع، واتجاهات ما أسماه فرينل "الاهتزازات" (والتي ندركها الآن على أنها تذبذبات D ).

بينما يقع السطح الموصوف بالمعادلة ( 1 ) في فضاء الفهرسة (حيث تكون الإحداثيات أعدادًا لا بُعدية)، يقع السطح الموصوف بالمعادلة ( 3 ) في فضاء السرعة (حيث تكون الإحداثيات بوحدات السرعة). وبما أن السطح الأول من الدرجة الثانية، فإن السطح الثاني من الدرجة الرابعة، كما يمكن التحقق من ذلك بإعادة تعريف...${\displaystyle x,y,z}$باعتبارها مكونات السرعة ووضعها${\displaystyle \cos \xi =x/v}$إلخ؛ وبالتالي، فإن السطح الأخير  ( 3 ) ليس عمومًا شكلًا بيضاويًا، بل نوعًا آخر من الأشكال البيضاوية . وكما يُولّد الشكل البيضاوي المؤشر السطح المؤشر، فإن السطح  ( 3 )، بنفس العملية، يُولّد ما نسميه سطح السرعة العمودية . ^{[ ملاحظة 5 ]} ومن ثم ، يمكن تسمية السطح  ( 3 ) بشكل معقول بـ "الشكل البيضاوي للسرعة العمودية". ومع ذلك، أطلق عليه فرينل اسم سطح المرونة ، لأنه استنتجه بافتراض أن الموجات الضوئية هي موجات مرنة مستعرضة، وأن الوسط له ثلاثة اتجاهات متعامدة يُنتج فيها إزاحة جزيء قوة استعادة في الاتجاه المعاكس تمامًا، وأن قوة الاستعادة الناتجة عن المجموع الاتجاهي للإزاحات هي المجموع الاتجاهي لقوى الاستعادة الناتجة عن الإزاحات المنفصلة. ^{[ 10 ]}

سرعان ما أدرك فرينل أن القطع الناقص المبني على نفس المحاور الرئيسية لسطح المرونة له نفس العلاقة بسرعات الأشعة التي تربط سطح المرونة بسرعات الموجة العمودية. ^{[ 11 ] [ 12 ]} يُطلق على قطع فرينل الناقص الآن اسم قطع الأشعة الناقص  . وبالتالي، وفقًا للمصطلحات الحديثة، يُولّد قطع الأشعة الناقص سرعات الأشعة كما يُولّد قطع معامل الانكسار الناقص معاملات الانكسار. يقع المحوران الرئيسيان والثانويان للقسم القطري لقطع الأشعة الناقص في الاتجاهات المسموح بها ^لمتجه المجال الكهربائي E. ^{[ 13} ]

صاغ جيمس ماكولاج مصطلح " سطح المؤشر  " عام 1837. ^{[ 14 ]} في ورقة بحثية سابقة، قُدِّمت عام 1833، أطلق ماكولاج على هذا السطح اسم "سطح الانكسار"، وبيّن أنه يتولد من المحورين الرئيسيين لنصف قطر مقطع بيضاوي الشكل، حيث تتناسب محاوره الرئيسية عكسيًا مع محاور بيضاوي فرينل، ^{[ 15 ]} والذي أطلق عليه ماكولاج لاحقًا اسم "بيضاوي المؤشرات". ^{[ 16 ]} في عام 1891، أطلق لازاروس فليتشر على هذا البيضاوي اسم " المؤشر البصري " . ^{[ 17 ]} 

إن استنتاج شكل القطع الناقص للمؤشر وخصائصه المولدة من النظرية الكهرومغناطيسية ليس بالأمر الهين. ^{[ 18 ]} ومع ذلك، بمعرفة شكل القطع الناقص للمؤشر، يمكننا بسهولة ربط معاييره بالخصائص الكهرومغناطيسية للوسط.

سرعة الضوء في الفراغ هي $${\displaystyle c_{0}=1{\big واصل\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}\,,}$$ أين${\displaystyle \mu _{0}}$و${\displaystyle \epsilon _{0}}$يمثلان على التوالي النفاذية المغناطيسية والسماحية الكهربائية للفراغ. بالنسبة لوسط مادي شفاف، يمكننا افتراض أن النفاذية المغناطيسية هي${\displaystyle \mu _{0}}$(خاصة عند الترددات الضوئية)، ^{[ 19 ]} ولكن${\displaystyle \epsilon _{0}}$يجب استبدالها بـ ${\displaystyle \epsilon _{\text{r}}\epsilon _{0}\;\!,}$أين${\displaystyle \epsilon _{\text{r}}}$ هي السماحية النسبية (وتسمى أيضًا ثابت العزل الكهربائي  )، بحيث تصبح سرعة الموجة $${\displaystyle v=1{\big /}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{\text{r}}\epsilon _{0}}}\,.}$$ الفاصل${\displaystyle c_{0}}$بواسطة${\displaystyle v}$، فنحصل على معامل الانكسار: $${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{\text{r}}}}\,.}$$ هذا الاشتقاق يعالج${\displaystyle \epsilon _{\text{r}}}$ككمية قياسية، وهو ما ينطبق في وسط متجانس الخواص. أما في وسط غير متجانس الخواص ، فإن النتيجة لا تنطبق إلا على تركيبات اتجاه الانتشار والاستقطاب التي تتجنب عدم تجانس الخواص، أي في الحالات التي يكون فيها متجه الإزاحة الكهربائية D موازيًا لمتجه المجال الكهربائي E ، كما هو الحال في الوسط المتجانس الخواص. ونظرًا لتناظر القطع الناقص للمؤشر، يجب أن تكون هذه هي الحالات التي يكون فيها D في اتجاه أحد المحاور. لذا، بالإشارة إلى السماحيات النسبية في${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$، و${\displaystyle z}$توجيهات من${\displaystyle \epsilon _{x}\;\!,\epsilon _{y},\epsilon _{z}}$(ما يسمى بثوابت العزل الكهربائي الرئيسية )، مع الأخذ في الاعتبار أن${\displaystyle n_{\text{a}},n_{\text{b}},n_{\text{c}}}$إذا رمزنا لمعاملات الانكسار لهذه الاتجاهات من D ، فيجب أن يكون لدينا $${\displaystyle n_{\text{a}}={\sqrt {\epsilon _{x}}}~;~~n_{\text{b}}={\sqrt {\epsilon _{y}}}~;~~n_{\text{c}}={\sqrt {\epsilon _{z}}}~,}$$ يشير ذلك إلى أن نصفي محور القطع الناقص للمؤشر هما الجذر التربيعي لثوابت العزل الكهربائي الرئيسية . ^{[ 20 ]} وبالتعويض بهذه التعبيرات في ( 1 )، نحصل على معادلة القطع الناقص للمؤشر في الصيغة البديلة ^{[ 21 ]}$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\epsilon _{x}}}+{\frac {y^{2}}{\epsilon _{y}}}+{\frac {z^{2}}{\epsilon _{z}}}=1\,,}$$ وهذا يفسر سبب تسميته أيضًا بالقطع الناقص العازل.

• الانكسار المزدوج
• معامل الانكسار المركب
• البصريات البلورية
• دي-دي آي إيه
• الأوصاف الرياضية للشفافية

• إم. بورن وإي. وولف، 2002، مبادئ البصريات ، الطبعة السابعة  ، مطبعة جامعة كامبريدج، 1999 (أعيد طبعه مع تصحيحات، 2002)، رقم ISBN 978-0-521-64222-4.
• فريسنل (ed. H. de Senarmont, E. Verdet, and L. Fresnel)، 1868، Oeuvres complètes d'Augustin Fresnel ، باريس: Imprimerie Impériale (3 مجلدات، 1866–70)، المجلد. 2 (1868) .         
• إف. إيه. جينكينز وإتش. إي. وايت، 1976، أساسيات البصريات ، الطبعة الرابعة  ،  نيويورك: ماكجرو هيل، رقم ISBN 0-07-032330-5.
• LD Landau و EM  Lifshitz (ترجمة JB Sykes و JS Bell)، 1960، الديناميكا الكهربائية للأوساط المتصلة (المجلد 8 من دورة الفيزياء النظرية )، لندن: مطبعة بيرغامون.     
• أ. ياريف وب. ييه، 1984، الموجات الضوئية في البلورات: انتشار إشعاع الليزر والتحكم فيه ، نيويورك: وايلي، ISBN 0-471-09142-1.
• F. Zernike و JE Midwinter، 1973، البصريات غير الخطية التطبيقية ، نيويورك: وايلي (أعيد طبعه في مينولا، نيويورك: دوفر، 2006).