الأوصاف الرياضية للشفافية

عندما تنتقل موجة كهرومغناطيسية عبر وسطٍ تضعف فيه (يُسمى هذا الوسط " معتمًا " أو " مُخفِّفًا ")، فإنها تخضع لتضاؤل ​​أُسِّي وفقًا لقانون بير-لامبرت . ومع ذلك، توجد طرق عديدة لوصف الموجة وسرعة تضاؤلها. تتناول هذه المقالة العلاقات الرياضية بين:

• معامل التوهين ؛
• عمق الاختراق وعمق الجلد ؛
• العدد الموجي الزاوي المركب وثابت الانتشار ؛
• معامل الانكسار المركب ؛
• السماحية الكهربائية المعقدة ؛
• الموصلية الكهربائية للتيار المتردد ( القابلية المغناطيسية ).

تجدر الإشارة إلى أنه في كثير من هذه الحالات توجد تعريفات واتفاقيات متعددة ومتضاربة شائعة الاستخدام. هذه المقالة ليست بالضرورة شاملة أو عالمية.

إحدى طرق دمج التوهين في الوصف الرياضي للموجة هي عبر معامل التوهين : ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=e^{-\alpha z/2}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,}$$ حيث α هو معامل التوهين.

ثم تحقق شدة الموجة ما يلي: $${\displaystyle I(z)\propto \left|e^{-\alpha z/2}\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-\alpha z},}$$ أي $${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-\alpha z}.}$$

يرتبط معامل التوهين بدوره ببساطة بالعديد من الكميات الأخرى:

• معامل الامتصاص هو في الأساس (ولكن ليس دائمًا) مرادف لمعامل التوهين؛ انظر معامل التوهين لمزيد من التفاصيل؛
• معامل الامتصاص المولي أو معامل الانقراض المولي ، ويسمى أيضًا الامتصاصية المولية ، هو معامل التوهين مقسومًا على المولارية (وعادة ما يتم ضربه في ln(10)، أي عقدي)؛ انظر قانون بير-لامبرت والامتصاصية المولية لمزيد من التفاصيل؛
• معامل التوهين الكتلي ، ويسمى أيضًا معامل الانقراض الكتلي ، هو معامل التوهين مقسومًا على الكثافة؛ انظر معامل التوهين الكتلي لمزيد من التفاصيل؛
• يرتبط كل من مقطع الامتصاص ومقطع التشتت كمياً بمعامل التوهين؛ انظر مقطع الامتصاص ومقطع التشتت لمزيد من التفاصيل؛
• يُطلق على معامل التوهين أحيانًا اسم العتامة ؛ انظر العتامة (البصريات) .

تذكر أنه في الأوساط غير المخففة، يرتبط معامل الانكسار والعدد الموجي الزاوي بالعلاقة التالية:$${\displaystyle n={\frac {\mathrm {c} }{v}}={\frac {\mathrm {c} k}{\omega }},}$$ أين

• n هو معامل انكسار الوسط؛
• c هي سرعة الضوء في الفراغ؛
• v هي سرعة الضوء في الوسط.

وبالتالي، يمكن تعريف معامل الانكسار المركب بدلالة العدد الموجي الزاوي المركب المحدد أعلاه :$${\displaystyle {\underline {n}}={\frac {\mathrm {c} {\underline {k}}}{\omega }}.}$$ حيث n هو معامل انكسار الوسط.

بمعنى آخر، يجب أن تحقق الموجة $${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i\omega ({\underline {n}}z/\mathrm {c} -t)}\right]\!.}$$

ثم تحقق شدة الموجة ما يلي: $${\displaystyle I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{i\omega ({\underline {n}}z/\mathrm {c} -t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-2\omega \operatorname {Im} ({\underline {n}})z/\mathrm {c} },}$$ أي $${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-2\omega \operatorname {Im} ({\underline {n}})z/\mathrm {c} }.}$$

بالمقارنة مع القسم السابق، لدينا $${\displaystyle \operatorname {Re} ({\underline {n}})={\frac {\mathrm {c} k}{\omega }}.}$$ غالباً ما يطلق على هذه الكمية (بشكل غامض) ببساطة اسم معامل الانكسار . $${\displaystyle \operatorname {Im} ({\underline {n}})={\frac {\mathrm {c} \alpha }{2\omega }}={\frac {\lambda _{0}\alpha }{4\pi }}.}$$ تُسمى هذه الكمية معامل الانقراض ويُرمز لها بالرمز κ .

تماشياً مع الغموض المذكور أعلاه ، يستخدم بعض المؤلفين تعريف المرافق المركب، حيث يكون معامل الانقراض (الذي لا يزال موجباً) هو الجزء التخيلي من${\displaystyle {\underline {n}}}$[ ^{2 ] [ 13 ]​}

في الأوساط غير الموهنة، ترتبط السماحية الكهربائية ومعامل الانكسار بالعلاقة التالية:$${\displaystyle n=\mathrm {c} {\sqrt {\mu \varepsilon }}\quad {\text{(SI)}},\qquad n={\sqrt {\mu \varepsilon }}\quad {\text{(cgs)}},}$$ أين

• μ هي النفاذية المغناطيسية للوسط؛
• ε هي السماحية الكهربائية للوسط.
• يشير "SI" إلى نظام الوحدات الدولي ، بينما يشير "cgs" إلى وحدات Gaussian-cgs .

في الوسائط المخففة، يتم استخدام نفس العلاقة، ولكن يُسمح بأن تكون السماحية عددًا مركبًا ، ويسمى السماحية الكهربائية المركبة : ^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\underline {n}}=\mathrm {c} {\sqrt {\mu {\underline {\varepsilon }}}}\quad {\text{(SI)}},\qquad {\underline {n}}={\sqrt {\mu {\underline {\varepsilon }}}}\quad {\text{(cgs)}},}$$ حيث ε هي السماحية الكهربائية المعقدة للوسط.

بتربيع كلا الطرفين واستخدام نتائج القسم السابق نحصل على: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} ({\underline {\varepsilon }})&={\frac {\mathrm {c} ^{2}\varepsilon _{0}}{\omega ^{2}\mu /\mu _{0}}}\!\left(k^{2}-{\frac {\alpha ^{2}}{4}}\right)\quad {\text{(SI)}},\quad &\operatorname {Re} ({\underline {\varepsilon }})&={\frac {\mathrm {c} ^{2}}{\omega ^{2}\mu }}\!\left(k^{2}-{\frac {\alpha ^{2}}{4}}\right)\quad {\text{(cgs)}},\\\operatorname {Im} ({\underline {\varepsilon }})&={\frac {\mathrm {c} ^{2}\varepsilon _{0}}{\omega ^{2}\mu /\mu _{0}}}k\alpha \quad {\text{(SI)}},&\operatorname {Im} ({\underline {\varepsilon }})&={\frac {\mathrm {c} ^{2}}{\omega ^{2}\mu }}k\alpha \quad {\text{(cgs)}}.\end{aligned}}}$$

هناك طريقة أخرى لإدراج التوهين وهي من خلال التوصيل الكهربائي، كما يلي. ^{[ 14 ]}

إحدى المعادلات التي تحكم انتشار الموجات الكهرومغناطيسية هي قانون ماكسويل-أمبير : $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J_{f}} +{\frac {\mathrm {d} \mathbf {D} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{\mathrm {c} }}\mathbf {J_{f}} +{\frac {1}{\mathrm {c} }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {D} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(cgs)}},}$$ أين${\displaystyle \mathbf {D} }$هو حقل الإزاحة .

بتطبيق قانون أوم وتعريف السماحية (الحقيقية)$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\sigma \mathbf {E} +\varepsilon {\frac {\mathrm {d} \mathbf {E} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi \sigma }{\mathrm {c} }}\mathbf {E} +{\frac {\varepsilon }{\mathrm {c} }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {E} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(cgs)}},}$$ حيث σ هي الموصلية الكهربائية (الحقيقية، ولكنها تعتمد على التردد)، وتسمى موصلية التيار المتردد .

مع اعتماد زمني جيبي على جميع الكميات، أي $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {H} &=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {H} _{0}e^{-i\omega t}\right]\!,\\\mathbf {E} &=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{-i\omega t}\right]\!,\end{aligned}}}$$ والنتيجة هي $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} _{0}=-i\omega \mathbf {E} _{0}\!\left(\varepsilon +i{\frac {\sigma }{\omega }}\right)\quad {\text{(SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} _{0}={\frac {-i\omega }{\mathrm {c} }}\mathbf {E} _{0}\!\left(\varepsilon +i{\frac {4\pi \sigma }{\omega }}\right)\quad {\text{(cgs)}}.}$$

إذا كان التيار${\displaystyle \mathbf {J_{f}} }$إذا لم يتم تضمينها صراحةً (من خلال قانون أوم)، ولكن ضمنيًا فقط (من خلال سماحية كهربائية مركبة)، فإن الكمية بين قوسين ستكون ببساطة السماحية الكهربائية المركبة. لذلك، $${\displaystyle {\underline {\varepsilon }}=\varepsilon +i{\frac {\sigma }{\omega }}\quad {\text{(SI)}},\qquad {\underline {\varepsilon }}=\varepsilon +i{\frac {4\pi \sigma }{\omega }}\quad {\text{(cgs)}}.}$$ بالمقارنة مع القسم السابق، فإن موصلية التيار المتردد تحقق ما يلي: $${\displaystyle \sigma ={\frac {k\alpha }{\omega \mu }}\quad {\text{(SI)}},\qquad \sigma ={\frac {k\alpha \mathrm {c} ^{2}}{4\pi \omega \mu }}\quad {\text{(cgs)}}.}$$

• جاكسون، جون ديفيد (1999). الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية (  الطبعة الثالثة). نيويورك: وايلي. ISBN 0-471-30932-X.
• غريفيث، ديفيد ج. (1998). مقدمة في الديناميكا الكهربائية (الطبعة الثالثة) . برنتيس هول. ISBN 0-13-805326-X.
• جي آي بانكوف (1971). العمليات البصرية في أشباه الموصلات . نيويورك: منشورات دوفر.