نظرية دي برانج

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 67 صور
الموسوعة الحرة

في التحليل المركب ، تُعرف نظرية دي برانج ، أو حدسية بيبرباخ ، بأنها نظرية تُعطي شرطًا ضروريًا لدالة تحليلية لكي تُسقط قرص الوحدة المفتوح في المستوى المركب إسقاطًا أحاديًا على المستوى المركب. وقد طرحها لودفيج بيبرباخ ( 1916 ) وأثبتها لويس دي برانج ( 1985 ) .  

يتعلق البيان بمعاملات تايلورأن{\displaystyle a_{n}}دالة أحادية القيمة ، أي دالة تحليلية أحادية التقابل تُسقط قرص الوحدة على المستوى المركب، مُعَيَّرة كما هو ممكن دائمًا بحيثأ0=0{\displaystyle a_{0}=0}وأ1=1{\displaystyle a_{1}=1}أي أننا نعتبر دالة معرفة على القرص المفتوح ذي الوحدة، وهي دالة تحليلية وحقنية ( أحادية القيمة ) ذات متسلسلة تايلور من الشكل التالي:

و(z)=z+∑ن≥2أنzن.{\displaystyle f(z)=z+\sum _{n\geq 2}a_{n}z^{n}.}

تُسمى هذه الدوال " شليخت" [كلمة ألمانية تعني "طبيعي، بسيط"]. وتنص النظرية بعد ذلك على أن

|أن|≤نللجميع ن≥2.{\displaystyle |a_{n}|\leq n\quad {\text{لكل }}n\geq 2.}

دالة كوبي ( انظر أدناه) هي دالةأن=ن{\displaystyle a_{n}=n}للجميعن{\displaystyle n}وهي schlicht، لذا فإن المتباينة التي تحددن{\displaystyle n}المعامل حاد .

وظائف شليخت

التطبيع

أ0=0 و أ1=1{\displaystyle a_{0}=0\ {\text{و}}\ a_{1}=1}

يعني ذلك

و(0)=0 و و′(0)=1.{\displaystyle f(0)=0\ {\text{و}}\ f'(0)=1.}

يمكن الحصول على ذلك دائمًا عن طريق تحويل أفيني : بدءًا من دالة هولومورفية حقنية اختياريةز{\displaystyle g}تم تحديده على قرص الوحدة المفتوحة والإعداد

و(z)=ز(z)-ز(0)ز′(0).{\displaystyle f(z)={\frac {g(z)-g(0)}{g'(0)}}.}

هذه الوظائفز{\displaystyle g}وهي ذات أهمية لأنها تظهر في نظرية ريمان للتحويل .

تُعرَّف دالة شليخت بأنها دالة تحليليةو{\displaystyle f}هذا يعني علاقة فردية وتلبي الاحتياجات.و(0)=0{\displaystyle f(0)=0}وو′(0)=1{\displaystyle f'(0)=1}تُعدّ دوال كوبي المُدوّرة عائلة من دوال شليخت.

وα(z)=z(1-αz)2=∑ن=1∞نαن-1zن{\displaystyle f_{\alpha}(z)={\frac {z}{(1-\alpha z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty}n\alpha ^{n-1}z^{n}}

معα{\displaystyle \alpha }عدد مركب ذو قيمة مطلقة1{\displaystyle 1}. لوو{\displaystyle f}هي دالة شليخت و|أن|=ن{\displaystyle |a_{n}|=n}بالنسبة للبعض ن≥2{\displaystyle n\geq 2}، ثمو{\displaystyle f}هي دالة كوبي مُدارة.

إن شرط نظرية دي برانجيس غير كافٍ لإثبات أن الدالة schlicht، لأن الدالة

و(z)=z+z2=(z+1/2)2-1/4{\displaystyle f(z)=z+z^{2}=(z+1/2)^{2}-1/4}

يُظهر: أنها دالة تامة الشكل على قرص الوحدة وتُحقق الشروط التالية:|أن|≤ن{\displaystyle |a_{n}|\leq n}للجميعن{\displaystyle n}لكنها ليست حقنية لأن و(-1/2+z)=و(-1/2-z){\displaystyle f(-1/2+z)=f(-1/2-z)}.

تاريخ

يقدم كوبف (2007) مسحًا للتاريخ .

أثبت بيبرباخ (1916)|أ2|≤2{\displaystyle |a_{2}|\leq 2}، وذكر التخمين بأن|أن|≤ن{\displaystyle |a_{n}|\leq n}أثبت كل من لوفنر (1917) ونيفانلينا (1921) بشكل مستقل صحة الفرضية المتعلقة بالدوال النجمية . ثم أثبت تشارلز لوفنر ( لوفنر، 1923)|أ3|≤3{\displaystyle |a_{3}|\leq 3}، باستخدام معادلة لوفنر التفاضلية . وقد استُخدم عمله في معظم المحاولات اللاحقة، كما طُبِّق في نظرية تطور شرام-لوفنر .

أثبت ليتلوود (1925 ، النظرية 20) أن|أن|≤هـن{\displaystyle |a_{n}|\leq ar}للجميعن{\displaystyle n}مما يدل على أن حدسية بيبرباخ صحيحة حتى عامل منهـ=2.718...{\displaystyle e=2.718\ldots }قام العديد من المؤلفين لاحقًا بتقليص الثابت في المتباينة أدناههـ{\displaystyle e}.

لوو(z)=z+⋯{\displaystyle f(z)=z+\cdots }إذا كانت دالة شليختφ(z)=z(و(z2)/z2)1/2{\displaystyle \varphi (z)=z(f(z^{2})/z^{2})^{1/2}}هي دالة شليخت فردية. وقد أظهر ليتلوود وبالي ( 1932 ) أن معاملات تايلور الخاصة بها تحقق بك≤14{\displaystyle b_{k}\leq 14}للجميعك{\displaystyle k}لقد افترضوا أن14{\displaystyle 14}يمكن استبدالها بـ1{\displaystyle 1}كتعميم طبيعي لتخمين بيبرباخ. يستلزم تخمين ليتلوود-بالي بسهولة تخمين بيبرباخ باستخدام متباينة كوشي (المعروفة أيضًا باسم تقدير كوشي )، ولكن سرعان ما تم دحضه بواسطة فيكيت وسيجو (1933) ، اللذين أظهرا وجود دالة شليخت فردية معب5=1/2+خبرة⁡(-2/3)=1.013...{\displaystyle b_{5}=1/2+\exp(-2/3)=1.013\ldots }وأن هذه هي القيمة القصوى الممكنة لـب5{\displaystyle b_{5}}أظهر إسحاق ميلين لاحقًا أن14{\displaystyle 14}يمكن استبدالها بـ1.14{\displaystyle 1.14}وأظهر هايمان أن الأرقامبك{\displaystyle b_{k}}يكون الحد أقل من1{\displaystyle 1}لوو{\displaystyle f}ليست دالة كوبي (التي من أجلهاب2ك+1{\displaystyle b_{2k+1}}جميعها1{\displaystyle 1}لذا فإن الحد دائمًا أقل من أو يساوي1{\displaystyle 1}وهذا يعني أن حدسية ليتلوود وبالي صحيحة لجميع المعاملات باستثناء عدد محدود منها. وقد اكتشف روبرتسون (1936) صيغة أضعف من حدسية ليتلوود وبالي .

تنص فرضية روبرتسون على أنه إذا

ϕ(z)=ب1z+ب3z3+ب5z5+⋯{\displaystyle \phi (z)=b_{1}z+b_{3}z^{3}+b_{5}z^{5}+\cdots }

هي دالة شليخت غريبة في قرص الوحدة معب1=1{\displaystyle b_{1}=1}ثم لجميع الأعداد الصحيحة الموجبةن{\displaystyle n}،

∑ك=1ن|ب2ك+1|2≤ن.{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|b_{2k+1}|^{2}\leq n.}

لاحظ روبرتسون أن حدسه لا يزال قويًا بما يكفي لاستنتاج حدس بيبرباخ، وأثبته لـن=3{\displaystyle n=3}. وقد قدمت هذه الفرضية الفكرة المهمة المتمثلة في تقييد الدوال التربيعية المختلفة للمعاملات بدلاً من المعاملات نفسها فقط، وهو ما يشبه وضع حدود على أحجام عناصر معينة في فضاءات هيلبرت المحددة لدوال شليخت.

تم تقديم العديد من البراهين على حدسية بيبرباخ لقيم أعلى معينة منن{\displaystyle n}وعلى وجه الخصوص، أثبت غارابيديان وشيفر (1955)|أ4|≤4{\displaystyle |a_{4}|\leq 4}أثبت كل من أوزاوا (1969) وبيدرسون (1968)|أ6|≤6{\displaystyle |a_{6}|\leq 6}وأثبت بيدرسون وشيفر ( 1972 )|أ5|≤5{\displaystyle |a_{5}|\leq 5}.

أثبت هايمان (1955) أن حدأن/ن{\displaystyle a_{n}/n}موجود، وله قيمة مطلقة أقل من1{\displaystyle 1}إلا إذاو{\displaystyle f}هي دالة كوبي. وعلى وجه الخصوص، أظهر هذا أنه لأيو{\displaystyle f}لا يمكن أن يكون هناك على الأكثر عدد محدود من الاستثناءات لفرضية بيبرباخ.

تنص تخمينات ميلين على أنه لكل دالة شليخت على قرص الوحدة، ولجميع الأعداد الصحيحة الموجبةن{\displaystyle n}،

∑ك=1ن(ن-ك+1)(ك|γك|2-1/ك)≤0{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(n-k+1)(k|\gamma _{k}|^{2}-1/k)\leq 0}

حيث المعاملات اللوغاريتميةγن{\displaystyle \gamma _{n}}لو{\displaystyle f}يتم تقديمها بواسطة

سجل⁡(و(z)/z)=2∑ن=1∞γنzن.{\displaystyle \log(f(z)/z)=2\sum _{n=1}^{\infty }\gamma _{n}z^{n}.}

أظهر ميلين (1977) باستخدام متباينة ليبيديف-ميلين أن حدسية ميلين (التي أثبتها دي برانجيس لاحقًا) تستلزم حدسية روبرتسون وبالتالي حدسية بيبرباخ.

وأخيرًا أثبت دي برانجيس (1987)|أن|≤ن{\displaystyle |a_{n}|\leq n}للجميعن{\displaystyle n}.

دليل دي برانجيس

يستخدم البرهان نوعًا من فضاءات هيلبرت للدوال الكاملة . وقد تطورت دراسة هذه الفضاءات لتصبح فرعًا من فروع التحليل المركب، وأصبحت تُعرف باسم فضاءات دي برانج . أثبت دي برانج حدسية ميلين الأقوى ( ميلين، 1977 ) حول المعاملات اللوغاريتمية. وكان من المعروف مسبقًا أن هذه الحدسية تستلزم حدسية روبرتسون ( روبرتسون، 1936 ) حول الدوال الفردية أحادية القيمة، والتي بدورها كانت تستلزم حدسية بيبرباخ حول دوال شليخت ( بيبرباخ، 1916 ) . يستخدم برهانه معادلة لوفنر ، ومتباينة أسكي-غاسبر حول كثيرات حدود جاكوبي ، ومتباينة ليبيديف-ميلين حول متسلسلات القوى الأسية.

في عامي 1983-1984، كان دي برانجيس يكتب كتابًا، خصص أحد فصوله لتخمين بيبرباخ. [ 1 ] وقد فوجئ بالحسابات التي كانت قريبة من إثبات التخمين.Fن،ك(x):=∫01تن-ك-1/2Pك(2ن-2ك،1)(1-2تx)دت>0ل ك=0،1،2،...،ن-1{\displaystyle {\begin{aligned}F_{n,k}(x)&:=\int _{0}^{1}t^{nk-1/2}P_{k}^{(2n-2k,1)}(1-2tx)\,dt>0\\&\qquad {\text{لـ }}\quad k=0,1,2,\ldots ,n-1\end{aligned}}}أينPك(α،β){\displaystyle P_{k}^{(\alpha ,\beta )}}هي متعددة حدود جاكوبي من الدرجةك{\displaystyle k}مع المعلماتα،β{\displaystyle \alpha ,\beta }.Fن،ك{\displaystyle F_{n,k}}هي متعددة حدود من الدرجة k ، وهي متسلسلة فوق هندسية ذات معاملات نسبية (يمكن اشتقاق المعاملات الدقيقة باستخدام المتسلسلة فوق الهندسية لمتعددات حدود جاكوبي ).

لقد أظهر أنه إذاFن،ك(x)>0{\displaystyle F_{n,k}(x)>0}ل0<x<1{\displaystyle 0<x<1}وك=0،1،...،ن-1{\displaystyle k=0,1,\dots ,n-1}، ثم |أن+1|≤ن+1{\displaystyle |a_{n+1}|\leq n+1}وقد تحقق من ذلك لـن=2،3،4،5،6{\displaystyle n=2,3,4,5,6}يدويًا، إذ وجد الأمر شاقًا للغاية بحيث لا يستطيع الاستمرار. فطلب المساعدة من والتر غاوتشي ، الذي تحقق من المزيد من هذه المتباينات باستخدام تكامل غاوس-جاكوبي على جهاز CDC 6500 ، ليصل إلىن=30{\displaystyle n=30}ثم سأل ريتشارد أسكي عما إذا كان يعرف أي متباينات مماثلة. [ 2 ] أشار أسكي إلى أن أسكي وجاسبر (1976) قد أثبتا المتباينات اللازمة قبل ثماني سنوات، مما سمح لدي برانج بإكمال برهانه. كانت النسخة الأولى طويلة جدًا وتحتوي على بعض الأخطاء الطفيفة، مما أثار بعض الشكوك حولها، ولكن تم تصحيحها بمساعدة أعضاء ندوة لينينغراد حول نظرية الدوال الهندسية ( قسم لينينغراد بمعهد ستيكلوف للرياضيات ) عندما زار دي برانج المعهد عام 1984. [ 3 ]

أثبت دي برانجيس النتيجة التالية، والتي لـν=0{\displaystyle \nu =0}يستلزم ذلك حدسية ميلين (وبالتالي حدسية بيبرباخ). لنفترض أنν>-3/2{\displaystyle \nu >-3/2}وσن{\displaystyle \sigma _{n}}الأعداد الحقيقية هي أعداد صحيحة موجبةن{\displaystyle n}مع حد0{\displaystyle 0}ومثل ذلك

ρن=Γ(2ν+ن+1)Γ(ن+1)(σن-σن+1){\displaystyle \rho _{n}={\frac {\Gamma (2\nu +n+1)}{\Gamma (n+1)}}(\sigma _{n}-\sigma _{n+1})}

هي غير سالبة، وغير متزايدة، ولها نهاية0{\displaystyle 0}ثم لجميع دوال ريمان للتحويلF(z)=z+⋯{\displaystyle F(z)=z+\cdots }أحادي القيمة في القرص الوحدوي مع

F(z)ν-zνν=∑ن=1∞أنzν+ن{\displaystyle {\frac {F(z)^{\nu }-z^{\nu }}{\nu }}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{\nu +n}}

القيمة القصوى لـ

∑ن=1∞(ν+ن)σن|أن|2{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}(\nu +n)\sigma _{n}|a_{n}|^{2}}

يتم تحقيق ذلك بواسطة دالة كوبيz/(1-z)2{\displaystyle z/(1-z)^{2}}.

نُشرت نسخة مبسطة من البرهان عام 1985 من قِبل كارل فيتزجيرالد وكريستيان بوميرينك ( FitzGerald & Pommerenke (1985) )، ووصفٌ أقصر من ذلك من قِبل جاكوب كوريفار ( Korevaar (1986) ). وفي وقت لاحق، عثر لينارد واينشتاين ( Weinstein (1991) ) على برهان قصير جدًا يتجنب استخدام متراجحات أسكي وجاسبر .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ دي برانج دي بورسيا، لويس؛ روفنياك، جيمس (2014). متسلسلات القوى القابلة للجمع التربيعي . كتب دوفر في الرياضيات. نيوبورت: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-80136-0.
  2. ↑ والتر غاوتشي (1986). "17. ذكريات مشاركتي في برهان دي برانجيس على حدسية بيبرباخ". في: بيرنشتاين، ألبرت؛ دراسين، ديفيد؛ دورين، ديفيد؛ ماردن، ألبرت (محررون). حدسية بيبرباخ: وقائع الندوة التي عُقدت بمناسبة البرهان . دراسات وبحوث رياضية. المجلد 21. بروفيدنس: الجمعية الرياضية الأمريكية. الصفحات 205-211 . ISBN   978-0-8218-1521-2.
  3. ↑ لويس دي برانج (1986). "16. قصة التحقق من حدسية بيبرباخ". في: بيرنشتاين، ألبرت؛ دراسين، ديفيد؛ دورين، ديفيد؛ ماردن، ألبرت (محررون). حدسية بيبرباخ: وقائع الندوة التي عُقدت بمناسبة إثباتها . دراسات وبحوث رياضية. المجلد 21. بروفيدنس: الجمعية الرياضية الأمريكية. الصفحات 199-204 . ISBN   978-0-8218-1521-2.

للمزيد من القراءة

  • ليو، شياوسونغ؛ ليو، تايشون؛ شو، تشينغوا (2015). "برهان على صيغة ضعيفة من حدسية بيبرباخ في عدة متغيرات مركبة". مجلة ساينس تشاينا للرياضيات . 58 (12): 2531-2540 . رمز Bibcode : 2015ScChA..58.2531L . doi : 10.1007/s11425-015-5016-2 . S2CID 122080390 .