الدالة الثنائية

في الرياضيات ، الدالة الثنائية (وتسمى أيضًا الدالة ثنائية المتغيرات ، أو دالة متغيرين ) هي دالة تأخذ مدخلين.

وبعبارة أدق، وظيفة${\displaystyle f}$يكون ثنائيًا إذا وُجدت مجموعات${\displaystyle X,Y,Z}$بحيث

${\displaystyle \,f\colon X\times Y\rightarrow Z}$

أين${\displaystyle X\times Y}$هو حاصل الضرب الديكارتي لـ${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y.}$

من منظور نظرية المجموعات ، يمكن تمثيل الدالة الثنائية كمجموعة جزئية من حاصل الضرب الديكارتي${\displaystyle X\times Y\times Z}$، أين${\displaystyle (x,y,z)}$ينتمي إلى المجموعة الفرعية إذا وفقط إذا${\displaystyle f(x,y)=z}$. وعلى العكس من ذلك، مجموعة فرعية${\displaystyle R}$تُعرّف الدالة الثنائية إذا وفقط إذا كان لأي${\displaystyle x\in X}$و${\displaystyle y\in Y}$يوجد شيء فريد​${\displaystyle z\in Z}$بحيث${\displaystyle (x,y,z)}$ينتمي إلى${\displaystyle R}$. ${\displaystyle f(x,y)}$ثم يُعرَّف بأنه هذا${\displaystyle z}$.

أو بدلاً من ذلك، يمكن تفسير الدالة الثنائية على أنها ببساطة دالة من${\displaystyle X\times Y}$ل${\displaystyle Z}$ومع ذلك، حتى عند التفكير بهذه الطريقة، يكتب المرء عمومًا${\displaystyle f(x,y)}$بدلاً من${\displaystyle f((x,y))}$(أي أن نفس زوج الأقواس يُستخدم للإشارة إلى كل من تطبيق الدالة وتكوين زوج مرتب .)

يمكن اعتبار قسمة الأعداد الصحيحة دالة. إذا${\displaystyle \mathbb {Z} }$هي مجموعة الأعداد الصحيحة ،${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}$هي مجموعة الأعداد الطبيعية (باستثناء الصفر)، و${\displaystyle \mathbb {Q} }$إذا كانت مجموعة الأعداد النسبية هي ، فإن القسمة هي دالة ثنائية${\displaystyle f:\mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{+}\to \mathbb {Q} }$.

في فضاء متجهي V فوق حقل F ، يكون الضرب القياسي دالة ثنائية. يتم دمج عدد قياسي a ∈ F مع متجه v ∈ V لإنتاج متجه جديد av ∈ V.

ومن الأمثلة الأخرى مثال الضرب الداخلي، أو بشكل أعم الدوال من الشكل${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{\mathrm {T} }My}$حيث x و y متجهان حقيقيان ذوا حجم مناسب، و M مصفوفة. إذا كانت M مصفوفة موجبة التحديد ، فإن هذا ينتج عنه جداء داخلي . ^{[ 1 ]}

الدوال التي يكون مجالها مجموعة جزئية من${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$تُسمى هذه الدوال أيضاً في كثير من الأحيان دوالاً لمتغيرين حتى لو لم يشكل مجالها مستطيلاً، وبالتالي فهي حاصل الضرب الديكارتي لمجموعتين. ^{[ 2 ]}

وبالتالي، يمكن أيضاً اشتقاق الدوال العادية لمتغير واحد من دالة ثنائية. بالنظر إلى أي عنصر${\displaystyle x\in X}$هناك وظيفة${\displaystyle f^{x}}$، أو${\displaystyle f(x,\cdot )}$، من${\displaystyle Y}$ل${\displaystyle Z}$، مقدمة من${\displaystyle f^{x}(y)=f(x,y)}$وبالمثل، بالنظر إلى أي عنصر${\displaystyle y\in Y}$هناك وظيفة${\displaystyle f_{y}}$، أو${\displaystyle f(\cdot ,y)}$، من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle Z}$، مقدمة من${\displaystyle f_{y}(x)=f(x,y)}$في علم الحاسوب، يُعرف هذا التحديد بين دالة من${\displaystyle X\times Y}$ل${\displaystyle Z}$ودالة من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle Z^{Y}}$، أين${\displaystyle Z^{Y}}$هي مجموعة جميع الدوال من${\displaystyle Y}$ل${\displaystyle Z}$يُطلق على هذه العملية اسم "الكاري" .

يمكن تعميم المفاهيم المختلفة المتعلقة بالدوال لتشمل الدوال الثنائية. على سبيل المثال، عملية القسمة المذكورة أعلاه شاملة (أو كاملة ) لأن كل عدد نسبي يمكن التعبير عنه كحاصل قسمة عدد صحيح على عدد طبيعي. هذا المثال أحادي في كل مدخل على حدة، لأن الدالتين f( ^x) و f( _y) أحاديتان دائمًا. مع ذلك، فهي ليست أحادية في كلا المتغيرين معًا، لأنه (على سبيل المثال) f (2,4) = f (1,2).

يمكن أيضًا النظر في الدوال الثنائية الجزئية ، التي قد تكون مُعرَّفة فقط لقيم مُحدَّدة للمُدخلات. على سبيل المثال، يمكن تفسير مثال القسمة أعلاه كدالة ثنائية جزئية من Z و N إلى Q ، حيث N هي مجموعة جميع الأعداد الطبيعية، بما في ذلك الصفر. لكن هذه الدالة غير مُعرَّفة عندما يكون المُدخل الثاني صفرًا.

العملية الثنائية هي دالة ثنائية حيث تكون المجموعات X و Y و Z متساوية؛ وغالبًا ما تستخدم العمليات الثنائية لتعريف الهياكل الجبرية .

في الجبر الخطي ، التحويل الثنائي الخطي هو دالة ثنائية حيث تكون المجموعات X و Y و Z جميعها فضاءات متجهة ، والدوال المشتقة f( ^x) و f( _y) جميعها تحويلات خطية . يمكن تفسير التحويل الثنائي الخطي، كأي دالة ثنائية، كدالة من X × Y إلى Z ، ولكن هذه الدالة لن تكون خطية بشكل عام. مع ذلك، يمكن أيضًا تفسير التحويل الثنائي الخطي كتحويل خطي واحد من حاصل الضرب الموتري.${\displaystyle X\otimes Y}$إلى Z.​

يُمكن تعميم مفهوم الدالة الثنائية ليشمل الدالة الثلاثية (أو الدالة من الرتبة 3 ) ، والدالة الرباعية (أو الدالة من الرتبة 4 ) ، أو بشكل أعم، الدالة من الرتبة n لأي عدد طبيعي n . وتُعرَّف الدالة من الرتبة 0 على مجموعة الأعداد الطبيعية Z ببساطة عن طريق عنصر واحد من Z. كما يُمكن تعريف دالة من الرتبة A حيث A أي مجموعة ؛ ويوجد مُدخل واحد لكل عنصر من عناصر A.

في نظرية الفئات ، تُعمَّم الدوال من الرتبة n إلى التشكلات من الرتبة n في فئة متعددة . ويُمكن تفسير التشكل من الرتبة n على أنه تشكل عادي يكون مجاله ناتجًا عن مجالي التشكل الأصلي من الرتبة n، وذلك في فئة أحادية . كما يُمكن بناء التشكلات المشتقة لمتغير واحد في فئة أحادية مغلقة . فئة المجموعات أحادية مغلقة، وكذلك فئة الفضاءات المتجهة، مما يُعطي مفهوم التحويل الثنائي الخطي المذكور أعلاه.

• أريتي
• عملية أحادية
• دالة أحادية
• العملية الثنائية
• عملية ثنائية متكررة
• عملية جراحية ثالثية