الضرب القياسي

في الرياضيات ، يُعدّ الضرب القياسي إحدى العمليات الأساسية التي تُعرّف فضاءً متجهيًا في الجبر الخطي ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} (أو بشكل أعم، وحدة نمطية في الجبر المجرد ^{[ 4 ] [ 5 ]} ). في السياقات الهندسية الشائعة، يُضاعف الضرب القياسي لمتجه إقليدي حقيقي في عدد حقيقي موجب مقدار المتجه دون تغيير اتجاهه . الضرب القياسي هو ضرب متجه في عدد قياسي (حيث يكون الناتج متجهًا)، ويجب تمييزه عن الضرب الداخلي لمتجهين (حيث يكون الناتج عددًا قياسيًا).

بشكل عام، إذا كان K حقلاً و V فضاءً متجهياً فوق K ، فإن الضرب القياسي دالة من K × V إلى V. ويُرمز إلى نتيجة تطبيق هذه الدالة على k في K و v في V بـ k v .

يمكن اعتبار فضاء المتجهات فضاءً إحداثيًا ، حيث ترتبط العناصر بقائمة من العناصر من K. تشكل وحدات الحقل زمرة K ^× ، وضرب العدد القياسي في المتجه هو فعل زمر على الفضاء الإحداثي بواسطة K ^× . يعمل صفر الحقل على الفضاء الإحداثي ليختزله إلى متجه الصفر.

عندما يكون K حقل الأعداد الحقيقية، يكون للضرب القياسي تفسير هندسي : فهو يمدد أو يتقلص المتجهات بمعامل ثابت. ونتيجة لذلك، ينتج متجهًا في نفس اتجاه المتجه الأصلي أو في الاتجاه المعاكس له، ولكن بطول مختلف. ^{[ 6 ]}

كحالة خاصة، يمكن اعتبار V هو K نفسه، ويمكن اعتبار الضرب القياسي حينها مجرد الضرب في الحقل.

عندما يكون V هو K ⁿ ، فإن الضرب القياسي يعادل ضرب كل مكون بالعدد القياسي، ويمكن تعريفه على هذا النحو.

ينطبق المبدأ نفسه إذا كانت K حلقة تبديلية و V وحدة نمطية فوق K. يمكن أن تكون K حلقة نمطية ، ولكن في هذه الحالة لا يوجد معكوس جمعي. إذا لم تكن K تبديلية ، فيمكن تعريف العمليتين المتميزتين: الضرب القياسي الأيسر c v والضرب القياسي الأيمن v ​​c .

ينتج عن الضرب القياسي الأيسر للمصفوفة A في عدد قياسي λ مصفوفة أخرى بنفس حجم A. ويُرمز لها بـ λA ، وتُعرَّف عناصرها كما يلي :

${\displaystyle (\lambda \mathbf {A} )_{ij}=\lambda \left(\mathbf {A} \right)_{ij}\,,}$

بشكل صريح:

${\displaystyle \lambda \mathbf {A} =\lambda {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda A_{11}&\lambda A_{12}&\cdots &\lambda A_{1m}\\\lambda A_{21}&\lambda A_{22}&\cdots &\lambda A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda A_{n1}&\lambda A_{n2}&\cdots &\lambda A_{nm}\\\end{pmatrix}}\,.}$

وبالمثل، على الرغم من عدم وجود تعريف مقبول على نطاق واسع، يمكن تعريف الضرب القياسي الأيمن للمصفوفة A في عدد قياسي λ على النحو التالي:

${\displaystyle (\mathbf {A} \lambda )_{ij}=\left(\mathbf {A} \right)_{ij}\lambda \,,}$

بشكل صريح:

${\displaystyle \mathbf {A} \lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}\lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}\lambda &A_{12}\lambda &\cdots &A_{1m}\lambda \\A_{21}\lambda &A_{22}\lambda &\cdots &A_{2m}\lambda \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}\lambda &A_{n2}\lambda &\cdots &A_{nm}\lambda \\\end{pmatrix}}\,.}$

عندما تكون عناصر المصفوفة والكميات القياسية من نفس الحقل التبادلي، كحقل الأعداد الحقيقية أو حقل الأعداد المركبة، فإن عمليتي الضرب هاتين تكونان متطابقتين، ويمكن تسميتهما ببساطة بالضرب القياسي . أما بالنسبة للمصفوفات التي تنتمي إلى حقل أكثر عمومية وغير تبادلي ، فقد لا تكونا متطابقتين.

بالنسبة للكمية العددية الحقيقية والمصفوفة:

${\displaystyle \lambda =2,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle 2\mathbf {A} =2{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\!\cdot \!a&2\!\cdot \!b\\2\!\cdot \!c&2\!\cdot \!d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\!\cdot \!2&b\!\cdot \!2\\c\!\cdot \!2&d\!\cdot \!2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}2=\mathbf {A} 2.}$

بالنسبة للكميات العددية الرباعية والمصفوفات:

${\displaystyle \lambda =i,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle i{\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ij\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&k\\\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-k\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ji\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}i\,,}$

حيث i و j و k هي وحدات الكواترنيون. إن عدم تبادلية ضرب الكواترنيون يمنع الانتقال من تغيير ij = + k إلى ji = − k .

• منتج نقطي
• ضرب المصفوفات
• ضرب المتجهات
• المنتج (الرياضيات)
• القسمة القياسية
• التحجيم (الهندسة)