خريطة خطية

في الرياضيات ، وتحديدًا في الجبر الخطي ، يُعدّ التحويل الخطي نوعًا خاصًا من الدوال بين الفضاءات المتجهة ، والذي يحترم العمليات الأساسية لجمع المتجهات وضربها في عدد قياسي . ومن الأمثلة الشائعة على التحويل الخطي ...${\displaystyle m\times n}$المصفوفة، التي تأخذ المتجهات في${\displaystyle n}$تحويل الأبعاد إلى متجهات في${\displaystyle m}$الأبعاد بطريقة تتوافق مع جمع المتجهات، وضرب المتجهات بالكميات القياسية .

التحويل الخطي هو تشاكل بين فضاءات متجهة. ^{[ ملاحظة 1 ]} وبالتالي، فإن التحويل الخطي${\displaystyle T:V\to W}$يرضي​${\displaystyle T(ax+by)=aTx+bTy}$، حيث${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$هي كميات قياسية، و${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$هي متجهات (عناصر الفضاء المتجهي )${\displaystyle V}$) . يُمثل التحويل الخطي دائمًا نقطةالأصل .${\displaystyle V}$إلى أصل ⁠${\displaystyle W}$والفضاءات الخطية لـ​${\displaystyle V}$على الفضاءات الخطية في${\displaystyle W}$(ربما من بُعد أقل )؛ ^{[ 1 ]} على سبيل المثال، يرسم مستوىً يمر عبر نقطة الأصل في${\displaystyle V}$إما إلى مستوى يمر عبر نقطة الأصل في${\displaystyle W}$، خط يمر بنقطة الأصل في${\displaystyle W}$أو ببساطة الأصل في${\displaystyle W}$⁠ . يمكن تمثيل الخرائط الخطية في كثير من الأحيان على شكل مصفوفات ، وتشمل الأمثلة البسيطة التحويلات الخطية الدورانية والانعكاسية .

يترك${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$لتكن فضاءات متجهة على نفس الحقل${\displaystyle K}$، مثل الأعداد الحقيقية أو المركبة . دالة${\displaystyle f:V\to W}$يُقال إنها دالة خطية إذا كان لأي متجهين${\textstyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$وأي كمية قياسية${\displaystyle c\in K}$يتحقق الشرطان التاليان:

• خاصية الجمع / عملية الجمع ^{[ ملاحظة 2 ]}$${\displaystyle f(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=f(\mathbf {u} )+f(\mathbf {v} )}$$
• تجانس الدرجة 1 / عملية الضرب القياسي$${\displaystyle f(c\mathbf {u} )=cf(\mathbf {u} )}$$

وبالتالي، يُقال إن التحويل الخطي يحافظ على العمليات . بعبارة أخرى، لا يهم ما إذا تم تطبيق التحويل الخطي قبل (الجانب الأيمن من الأمثلة أعلاه) أو بعد (الجانب الأيسر من الأمثلة) عمليتي الجمع والضرب القياسي.

بفضل خاصية التجميع لعملية الجمع التي يرمز لها بـ +، لأي متجهات${\textstyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\in V}$والكميات القياسية${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in K}$، تتحقق المساواة التالية: ^{[ 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle f(c_{1}\mathbf {u} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {u} _{n})=c_{1}f(\mathbf {u} _{1})+\cdots +c_{n}f(\mathbf {u} _{n}).}$$ وبالتالي فإن الخريطة الخطية هي الخريطة التي تحافظ على التراكيب الخطية .

يشير إلى العناصر الصفرية للفضاءات المتجهة${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$بواسطة${\textstyle \mathbf {0} _{V}}$و${\textstyle \mathbf {0} _{W}}$وبالتالي، فإن ذلك يترتب عليه ⁠${\displaystyle f(\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{W}}$. دع${\displaystyle c=0}$و${\textstyle \mathbf {v} \in V}$في معادلة التجانس من الدرجة 1: $${\displaystyle f(\mathbf {0} _{V})=f(0\mathbf {v} )=0f(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}.}$$

خريطة خطية${\displaystyle V\to K}$مع${\displaystyle K}$يُطلق على الفضاء المتجهي الذي يُنظر إليه على أنه فضاء متجهي أحادي البعد فوق نفسه اسم الدالة الخطية . ^{[ 4 ]}

يمكن تعميم هذه العبارات على أي وحدة نمطية يسارية${\textstyle {}_{R}M}$فوق خاتم${\displaystyle R}$بدون تعديل، ولأي وحدة نمطية يمنى عند عكس عملية الضرب القياسي.

• الخريطة الفريدة من نوعها${\displaystyle T:\{{\vec {0}}\}\إلى \{{\vec {0}}\}}$خطي.
• من الأمثلة النموذجية التي أعطت الخرائط الخطية اسمها الدالة${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto cx}$، والتي يمثل الرسم البياني لها خطاً يمر عبر نقطة الأصل. ^{[ 5 ]}

  

• وبشكل أعم، أي تجانس${\textstyle \mathbf {v} \mapsto c\mathbf {v} }$إن الدالة المتمركزة في نقطة الأصل لفضاء متجهي هي دالة خطية (حيث c كمية قياسية).
• خريطة الصفر${\textstyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {0} }$العلاقة بين فضاءين متجهين (على نفس الحقل ) خطية.
• خريطة الهوية على أي وحدة هي عامل خطي.
• بالنسبة للأعداد الحقيقية، الخريطة${\textstyle x\mapsto x^{2}}$ليس خطيًا.
• بالنسبة للأعداد الحقيقية، الخريطة${\textstyle x\mapsto x+1}$ليست خطية (لكنها تحويل أفيني ).
• لو${\displaystyle A}$هو${\displaystyle m\times n}$المصفوفة الحقيقية ، إذن${\displaystyle A}$يُعرّف تطبيقًا خطيًا من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$عن طريق إرسال متجه عمودي${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$إلى متجه العمود ⁠${\displaystyle A\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{m}}$⁠ . على العكس من ذلك، يمكن تمثيل أي خريطة خطية بين فضاءات متجهة ذات أبعاد محدودة بهذه الطريقة؛ انظر §  المصفوفات ، أدناه.
• لو${\textstyle f:V\to W}$هي عملية تماثل بين فضاءات معيارية حقيقية بحيث${\textstyle f(0)=0}$ثم${\displaystyle f}$هي دالة خطية. هذه النتيجة ليست بالضرورة صحيحة بالنسبة للفضاء المعياري المركب. ^{[ 6 ]}
• يُعرّف التفاضل تطبيقًا خطيًا من فضاء جميع الدوال القابلة للتفاضل إلى فضاء جميع الدوال. كما يُعرّف مؤثرًا خطيًا على فضاء جميع الدوال الملساء (المؤثر الخطي هو تشاكل خطي داخلي ، أي تطبيق خطي له نفس المجال والمجال المقابل ). في الواقع،$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(af(x)+bg(x)\right)=a{\frac {df(x)}{dx}}+b{\frac {dg(x)}{dx}}.}$$
• التكامل المحدد على فترة ما I هو تطبيق خطي من فضاء جميع الدوال الحقيقية القابلة للتكامل على I إلى${\displaystyle \mathbb {R} }$في الواقع ،$${\displaystyle \int _{u}^{v}\left(af(x)+bg(x)\right)dx=a\int _{u}^{v}f(x)dx+b\int _{u}^{v}g(x)dx.}$$
• يُعرّف التكامل غير المحدد (أو الدالة الأصلية ) بنقطة بداية تكامل ثابتة، تطبيقًا خطيًا من فضاء جميع الدوال الحقيقية القابلة للتكامل على${\displaystyle \mathbb {R} }$إلى فضاء جميع الدوال الحقيقية القابلة للتفاضل على${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ . بدون نقطة بداية ثابتة، فإن الدالة الأصلية تُسقط على فضاء القسمة للدوال القابلة للتفاضل بواسطة الفضاء الخطي للدوال الثابتة.
• لو${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$إذا كانت فضاءات متجهة ذات أبعاد منتهية على حقل F ، بأبعاد m و n على التوالي ، فإن الدالة التي تُسقط التحويلات الخطية${\textstyle f:V\to W}$تحويل المصفوفات من الرتبة n × m بالطريقة الموضحة في §  المصفوفات (أدناه) هو تطبيق خطي، بل هو تماثل خطي .
• القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي هي دالة خطية للمتغير العشوائي: بالنسبة للمتغيرات العشوائية${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$لدينا${\displaystyle E[X+Y]=E[X]+E[Y]}$و​${\displaystyle E[aX]=aE[X]}$والتوقع الشرطي كذلك. لكن تباين المتغير العشوائي ليس خطيًا، لأنه على سبيل المثال ...${\displaystyle {\text{Var}}(aX)=a^{2}{\text{Var}}(X)}$⁠ .

• 
  الوظيفة${\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$مع${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$هي دالة خطية. هذه الدالة تُغيّر مقياس${\textstyle x}$مكون المتجه مقسومًا على العامل${\displaystyle 2}$⁠ .
• 
  الوظيفة${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$هي عملية جمع: لا يهم ما إذا كانت المتجهات تُجمع أولاً ثم تُسقط عليها الخريطة أو ما إذا كانت تُسقط عليها الخريطة ثم تُجمع في النهاية:${\textstyle f(\mathbf {a} +\mathbf {b} )=f(\mathbf {a} )+f(\mathbf {b} )}$
• 
  الوظيفة${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$متجانس: لا يهم ما إذا تم تغيير مقياس المتجه أولاً ثم تعيينه أو تم تعيينه أولاً ثم تغيير مقياسه:${\textstyle f(\lambda \mathbf {a} )=\lambda f(\mathbf {a} )}$

لو${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$إذا كانت فضاءات متجهة ذات أبعاد منتهية، وتم تعريف أساس لكل فضاء متجه، فإن كل تطبيق خطي من${\displaystyle V}$ل${\displaystyle W}$يمكن تمثيلها بواسطة مصفوفة . ^{[ 10 ]} وهذا مفيد لأنه يسمح بإجراء حسابات محددة. تُعطي المصفوفات أمثلة على التحويلات الخطية: إذا${\displaystyle A}$هو حقيقي${\displaystyle m\times n}$المصفوفة، ثم${\displaystyle f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} }$يصف خريطة خطية${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$(انظر الفضاء الإقليدي ).

يترك${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$أن يكون أساسًا لـ${\displaystyle V}$ثم كل متجه${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$يتم تحديدها بشكل فريد بواسطة المعاملات${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$في الميدان${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ : $${\displaystyle \mathbf {v} =c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}.}$$

لو${\textstyle f:V\to W}$هي خريطة خطية، $${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f(c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n})=c_{1}f(\mathbf {v} _{1})+\cdots +c_{n}f\left(\mathbf {v} _{n}\right),}$$

وهذا يعني أن الدالة f تتحدد بالكامل بواسطة المتجهات .${\displaystyle f(\mathbf {v} _{1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})}$والآن لنبدأ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$أن يكون أساسًا لـ${\displaystyle W}$ثم يمكننا تمثيل كل متجه${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$مثل $${\displaystyle f\left(\mathbf {v} _{j}\right)=a_{1j}\mathbf {w} _{1}+\cdots +a_{mj}\mathbf {w} _{m}.}$$

وبالتالي، فإن الوظيفة${\displaystyle f}$يتحدد كليًا بقيم ⁠${\displaystyle a_{ij}}$إذا وضعنا هذه القيم في${\displaystyle m\times n}$مصفوفة​${\displaystyle M}$ثم يمكننا استخدامه بسهولة لحساب ناتج المتجه لـ${\displaystyle f}$لأي متجه في${\displaystyle V}$للحصول على​${\displaystyle M}$، كل عمود${\displaystyle j}$ل${\displaystyle M}$هو متجه $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}}}$$ بما يتوافق مع${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$كما هو موضح أعلاه. ولتوضيح ذلك بشكل أدق، بالنسبة لعمود معين${\displaystyle j}$وهذا يتوافق مع عملية الربط ⁠${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$،​ $${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}\ \cdots &a_{1j}&\cdots \ \\&\vdots &\\&a_{mj}&\end{pmatrix}}}$$ أين${\displaystyle M}$هي مصفوفة ⁠${\displaystyle f}$بمعنى آخر، كل عمود${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$له متجه مقابل${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$إحداثياتها${\displaystyle a_{1j},\cdots ,a_{mj}}$هي عناصر العمود ⁠${\displaystyle j}$يمكن تمثيل خريطة خطية واحدة بعدة مصفوفات. وذلك لأن قيم عناصر المصفوفة تعتمد على الأساسات المختارة.

يمكن تمثيل مصفوفات التحويل الخطي بصريًا:

1. مصفوفة لـ${\textstyle T}$بالنسبة إلى${\displaystyle B}$⁠ :${\textstyle A}$
2. مصفوفة لـ${\textstyle T}$بالنسبة إلى${\displaystyle B'}$⁠ :${\textstyle A'}$
3. مصفوفة الانتقال من${\textstyle B'}$إلى​${\displaystyle B}$⁠ :${\textstyle P}$
4. مصفوفة الانتقال من${\textstyle B}$إلى​${\displaystyle B'}$⁠ :${\textstyle P^{-1}}$

بحيث تبدأ من الزاوية السفلية اليسرى${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$والبحث عن الزاوية السفلية اليمنى${\displaystyle \textstyle \left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$، يقوم المرء بالضرب من اليسار - أي ،${\displaystyle \textstyle A'\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$الطريقة المكافئة هي الطريقة "الأطول" التي تسير في اتجاه عقارب الساعة من نفس النقطة بحيث${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$مضروبة من اليسار في${\displaystyle P^{-1}AP}$أو​​${\displaystyle \textstyle P^{-1}AP\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$⁠ .

تركيب الخرائط الخطية يكون خطيًا: إذا${\displaystyle f:V\to W}$و${\textstyle g:W\to Z}$إذا كانت خطية، فإن تركيبها كذلك .${\displaystyle g\circ f:V\to Z}$. ويترتب على ذلك أن فئة جميع الفضاءات المتجهة على حقل معين K ، بالإضافة إلى التطبيقات الخطية كتشاكلات ، تشكل فئة .

إن معكوس التحويل الخطي، عند تعريفه، هو أيضاً تحويل خطي.

لو${\textstyle f_{1}:V\to W}$و${\textstyle f_{2}:V\to W}$إذا كانت خطية، فإن مجموعها النقطي يكون كذلك .${\displaystyle f_{1}+f_{2}}$، والذي يتم تعريفه بواسطة${\displaystyle (f_{1}+f_{2})(\mathbf {x} )=f_{1}(\mathbf {x} )+f_{2}(\mathbf {x} )}$⁠ .

لو${\textstyle f:V\to W}$خطي و${\textstyle \alpha }$هو عنصر من عناصر المجال الأرضي${\displaystyle K}$ثم الخريطة​${\displaystyle \alpha f}$، كما هو محدد بواسطة${\displaystyle (\alpha f)(\mathbf {x} )=\alpha (f(\mathbf {x} ))}$، وهو خطي أيضًا.

وهكذا المجموعة${\textstyle {\mathcal {L}}(V,W)}$من الخرائط الخطية من${\textstyle V}$ل${\textstyle W}$يشكل هو نفسه فضاءً متجهيًا على${\displaystyle K}$[ ¹¹ ]يُشار ^{إليه أحيانًا} بـ${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$^{[ 12 ]} علاوة على ذلك ،في حالة أن${\displaystyle V=W}$، هذا الفضاء المتجهي، المشار إليه بـ${\displaystyle \operatorname {End} (V)}$، هو جبر ترابطي تحت تركيب التطبيقات ، لأن تركيب تطبيقين خطيين هو تطبيق خطي أيضًا، وتركيب التطبيقات دائمًا ترابطي. سيتم مناقشة هذه الحالة بمزيد من التفصيل أدناه.

بالنظر مرة أخرى إلى الحالة ذات الأبعاد المحدودة، إذا تم اختيار القواعد، فإن تركيب الخرائط الخطية يتوافق مع ضرب المصفوفات ، وجمع الخرائط الخطية يتوافق مع جمع المصفوفات ، وضرب الخرائط الخطية بالكميات القياسية يتوافق مع ضرب المصفوفات بالكميات القياسية.

لو${\textstyle f:V\to W}$إذا كانت الدالة خطية، فإننا نحدد النواة والصورة أو المدى لـ${\textstyle f}$بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}\ker(f)&=\{\,\mathbf {x} \in V:f(\mathbf {x} )=\mathbf {0} \,\}\\\operatorname {im} (f)&=\{\,\mathbf {w} \in W:\mathbf {w} =f(\mathbf {x} ),\mathbf {x} \in V\,\}\end{aligned}}}$$

${\textstyle \ker(f)}$هو فضاء جزئي من${\textstyle V}$و${\textstyle \operatorname {im} (f)}$هو فضاء جزئي من${\displaystyle W}$⁠ . تُعرف صيغة الأبعاد التالية باسم نظرية الرتبة والعدمية : ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \dim(\ker(f))+\dim(\operatorname {im} (f))=\dim(V).}$$

الرقم${\textstyle \dim(\operatorname {im} (f))}$ويُطلق عليه أيضًا رتبة${\textstyle f}$وكتب على النحو التالي :${\displaystyle \operatorname {rank} (f)}$أو أحيانًا ،${\displaystyle \rho (f)}$; ^{[ 14 ] [ 15 ]} العدد​${\textstyle \dim(\ker(f))}$يُطلق عليه اسم العدمية${\textstyle f}$وكتب على النحو التالي:${\textstyle \operatorname {null} (f)}$أو​${\displaystyle \nu (f)}$. ^{[ 14 ] [ 15 ]} إذا​${\textstyle V}$و${\textstyle W}$ذات أبعاد محدودة، وقد تم اختيار القواعد و${\textstyle f}$يتم تمثيلها بواسطة المصفوفة${\displaystyle A}$ثم رتبة وعدم صحة${\textstyle f}$يساويان رتبة وفراغ المصفوفة${\displaystyle A}$، على التوالي.

ثابت أدق للتحويل الخطي${\textstyle f:V\to W}$هي النواة المشتركة ، والتي تُعرَّف على النحو التالي: $${\displaystyle \operatorname {coker} (f):=W/f(V)=W/\operatorname {im} (f).}$$

هذا هو المفهوم المقابل للنواة: فكما أن النواة هي فضاء جزئي من المجال، فإن النواة المرافقة هي فضاء خارج قسمة من الهدف. رسميًا، لدينا المتتالية التامة$${\displaystyle 0\to \ker(f)\to V\to W\to \operatorname {coker} (f)\to 0.}$$

يمكن تفسير ذلك على النحو التالي: إذا كانت لدينا معادلة خطية f ( v ) = w لحلها،

• النواة هي فضاء الحلول للمعادلة المتجانسة f ( v ) = 0 ، وبُعدها هو عدد درجات الحرية في فضاء الحلول، إذا لم يكن فارغًا؛
• النواة المشتركة هي فضاء القيود التي يجب أن تستوفيها الحلول، وبُعدها هو الحد الأقصى لعدد القيود المستقلة.

يُساوي مجموع بُعد النواة المشتركة وبُعد الصورة (الرتبة) بُعد الفضاء الهدف. بالنسبة للأبعاد المحدودة، يعني هذا أن بُعد فضاء القسمة W / f ( V ) هو بُعد الفضاء الهدف مطروحًا منه بُعد الصورة.

كمثال بسيط، لنفترض الدالة f  : R² → ^{R² ،} المعطاة بالعلاقة f ( x , y ) = (0, y ) . لكي يكون للمعادلة f ( x , y ) = ( a , b ) حل، يجب أن يكون a = 0 (قيد واحد)، وفي هذه الحالة يكون فضاء الحل هو ( x , b ) أو بصورة مكافئة، (0, b ) + ( x , 0) (درجة حرية واحدة ) . يمكن التعبير عن النواة كفضاء جزئي ( x , 0) < V : قيمة x هي درجة الحرية في الحل – بينما يمكن التعبير عن النواة المشتركة عبر الدالة W → R.${\displaystyle (a,b)\mapsto (a)}$⁠ : بالنظر إلى متجه ( a , b ) ، فإن قيمة a هي العائق أمام وجود حل.

يُقدّم التطبيق f  : R ^∞ → R ^∞ مثالاً يوضح الحالة اللانهائية الأبعاد ،${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{b_{n}\right\}}$مع b₁ ₌ 0 و bₙ _{+ 1} = aₙ لـ _n > 0. تتكون صورتها من جميع المتتاليات التي يكون عنصرها الأول 0 ، وبالتالي تتكون نواتها المشتركة من فئات المتتاليات التي لها نفس العنصر الأول. لذلك، في حين أن نواتها لها بُعد 0 (فهي تُسقط فقط المتتالية الصفرية على المتتالية الصفرية)، فإن نواتها المشتركة لها بُعد 1. بما أن المجال والفضاء المستهدف متطابقان، فإن رتبة وبُعد النواة يُساويان مجموع رتبة وبُعد النواة المشتركة ( ⁠${\displaystyle \aleph _{0}+0=\aleph _{0}+1}$) ، ولكن في حالة الأبعاد اللانهائية، لا يمكن استنتاج أن نواة ونواة التشكل الداخلي لهما نفس البعد ( 0 ≠ 1 ). ويحدث العكس بالنسبة للدالة h  : R ^∞ → R ^∞ .${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{c_{n}\right\}}$مع c _n = a _{n + 1.} صورتها هي فضاء الهدف بأكمله، وبالتالي فإن نواة المشاركة لها بُعد 0، ولكن بما أنها تُسقط جميع التسلسلات التي يكون فيها العنصر الأول فقط غير صفري على التسلسل الصفري، فإن نواة لها بُعد 1.

لا يمكن لأي تصنيف للخرائط الخطية أن يكون شاملاً. تُعدد القائمة التالية غير الكاملة بعض التصنيفات المهمة التي لا تتطلب أي بنية إضافية على فضاء المتجهات.

ليكن V و W فضاءات متجهة على حقل F وليكن T  : V → W تطبيقًا خطيًا.

بفرض وجود دالة خطية ذاتية التشكل ، مصفوفتها A ، فإنها في الأساس B للفضاء، تحوّل إحداثيات المتجهات [ u ] إلى [ v ] = A [ u ] . وبما أن المتجهات تتغير مع معكوس B (إحداثيات المتجهات متغيرة عكسيًا )، فإن تحويلها العكسي هو [ v ] = B [ v ′] .

باستبدال هذا في التعبير الأول $${\displaystyle B\left[v'\right]=AB\left[u'\right]}$$ لذلك $${\displaystyle \left[v'\right]=B^{-1}AB\left[u'\right]=A'\left[u'\right].}$$

لذلك، فإن المصفوفة في الأساس الجديد هي A ′ = B ⁻¹ AB ، حيث B هي مصفوفة الأساس المعطى.

لذلك، يقال إن الخرائط الخطية هي كائنات متغيرة من النوع 1-co-1-contra- أو موترات من النوع (1، 1) .

قد يكون التحويل الخطي بين فضاءات متجهة طوبولوجية، مثل الفضاءات المعيارية، متصلاً . إذا كان مجاله ومجاله المقابل متطابقين، فسيكون حينها مؤثرًا خطيًا متصلاً . يكون المؤثر الخطي على فضاء خطي معياري متصلاً إذا وفقط إذا كان محدودًا ، على سبيل المثال، عندما يكون المجال محدود الأبعاد. ^{[ 17 ]} قد يحتوي المجال غير المحدود الأبعاد على مؤثرات خطية غير متصلة .

من الأمثلة على التحويل الخطي غير المحدود، وبالتالي غير المتصل، التفاضل على فضاء الدوال الملساء المزود بمعيار القيمة العليا (حيث يمكن أن يكون للدالة ذات القيم الصغيرة مشتقة ذات قيم كبيرة، بينما مشتقة الصفر تساوي صفرًا ) . فعلى سبيل المثال، يتقارب sin( nx )/ n إلى الصفر ، لكن مشتقته cos( nx ) لا تتقارب إليه، لذا فإن التفاضل غير متصل عند الصفر (وبصيغة أخرى، فهو غير متصل في أي مكان).

يُستخدم التحويل الخطي بشكل خاص في التحويلات الهندسية ، كما هو الحال في رسومات الحاسوب ، حيث يتم نقل وتدوير وتغيير حجم الكائنات ثنائية أو ثلاثية الأبعاد باستخدام مصفوفة تحويل . كما تُستخدم التحويلات الخطية كآلية لوصف التغيير: على سبيل المثال، في حساب التفاضل والتكامل، تُستخدم كمشتقات؛ أو في النسبية، تُستخدم كأداة لتتبع التحويلات المحلية للأطر المرجعية.

يتمثل تطبيق آخر لهذه التحويلات في تحسينات المترجم للتعليمات البرمجية ذات الحلقات المتداخلة، وفي تقنيات المترجم المتوازية .

• الخريطة الجمعية – تماثل وحدة Z 
• الخريطة المضادة للخطية – الخريطة الجمعية المتجانسة المترافقة 
• دالة Bent - نوع خاص من الدوال المنطقية 
• المؤثر المحدود – نوع من التحويل الخطي 
• معادلة كوشي الوظيفية - المعادلة الوظيفية 
• المؤثر الخطي المتصل – دالة بين فضاءات المتجهات الطوبولوجية 
• الدالة الخطية – تحويل خطي من فضاء متجهي إلى حقل القيم العددية الخاص به. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• التحويل المتساوي القياس الخطي – تحويل رياضي يحافظ على المسافة. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• فئة المصفوفات
• التقريب شبه الخطي

• أكسلر، شيلدون جاي (2015). الجبر الخطي بأسلوب صحيح (  الطبعة الثالثة). سبرينغر . ISBN 978-3-319-11079-0.
• برونشتاين، آي إن؛ سيميندييف، كيه إيه (2004). دليل الرياضيات (  الطبعة الرابعة). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 3-540-43491-7.
• هالموس، بول ريتشارد (1974) [1958]. فضاءات المتجهات ذات الأبعاد المحدودة (  الطبعة الثانية). سبرينغر . ISBN 0-387-90093-4.
• هورن، روجر أ.؛ جونسون، تشارلز ر. (2013). تحليل المصفوفات (  الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-83940-2.
• كاتسنلسون, اسحق ; كاتسنلسون، يوناتان ر. (2008). (مقتضب) مقدمة في الجبر الخطي . جمعية الرياضيات الأمريكية . رقم ISBN 978-0-8218-4419-9.
• كوبروسلي، كارلوس (2001). عناصر نظرية المؤثرات . بوسطن: بيركهاوزر. ISBN 978-1-4757-3328-0. OCLC 754555941 . 
• لانغ، سيرج (1987)، الجبر الخطي (  الطبعة الثالثة)، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، رقم ISBN 0-387-96412-6
• رودين، والتر (1973). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد  25 (  الطبعة الأولى). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 9780070542259.
• رودين، والتر (1976). مبادئ التحليل الرياضي . سلسلة والتر رودين للطلاب في الرياضيات المتقدمة (  الطبعة الثالثة). نيويورك: ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-054235-8.
• رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 . 
• شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 
• شيشتر، إريك (1996). دليل التحليل وأسسه . سان دييغو، كاليفورنيا: دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 . 
• شوارتز، تشارلز (1992). مقدمة في التحليل الوظيفي . نيويورك: إم. ديكر. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 . 
• تو، لورينغ دبليو. (2011). مقدمة في المتشعبات (  الطبعة الثانية). سبرينغر . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• ويلانسكي، ألبرت (2013). الأساليب الحديثة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .