تقريب بوسينسك (الطفو)

في ديناميكا الموائع ، يُستخدم تقريب بوسينسك ( يُنطق [ بوسينسك ] ، نسبةً إلى جوزيف فالنتين بوسينسك ) في مجال التدفق الناتج عن الطفو (المعروف أيضًا بالحمل الحراري الطبيعي ). يتجاهل هذا التقريب فروق الكثافة إلا عندما تظهر مضروبةً في g ، تسارع الجاذبية الأرضية . جوهر تقريب بوسينسك هو أن الفرق في القصور الذاتي ضئيل، لكن قوة الجاذبية كافية لجعل الوزن النوعي مختلفًا بشكل ملحوظ بين المائعين. لا يمكن وجود موجات صوتية في مائع بوسينسك، لأن الصوت ناتج عن تقلبات الكثافة داخل المائع.

تُعدّ تدفقات بوسينسك شائعة في الطبيعة (مثل الجبهات الجوية ، ودوران المحيطات، والرياح الهابطة )، والصناعة ( انتشار الغازات الكثيفة ، وتهوية خزائن الأبخرة)، والبيئة المبنية (التهوية الطبيعية، والتدفئة المركزية ). ويمكن استخدام هذا التقريب لتبسيط المعادلات التي تصف هذه التدفقات، مع الحفاظ على دقة عالية في وصف سلوك التدفق.

يُطبَّق تقريب بوسينسك على المسائل التي يتغير فيها المائع في درجة الحرارة (أو التركيب) من مكان لآخر، مما يُؤدي إلى تدفق المائع وانتقال الحرارة (أو انتقال الكتلة ^{[ 1 ]} ). ويُحقق المائع قوانين حفظ الكتلة ، وحفظ الزخم ، وحفظ الطاقة . في تقريب بوسينسك، تُهمل تغيرات خصائص المائع الأخرى غير الكثافة ρ ، ولا تظهر الكثافة إلا عند ضربها في g ، تسارع الجاذبية الأرضية. ^{[ 2 ] : 127-128.} إذا كانت u هي السرعة المحلية لجزء من المائع، فإن معادلة الاستمرارية لحفظ الكتلة هي ^{[ 2 ] : 52.}

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)=0.}$

إذا تم تجاهل اختلافات الكثافة، فإن هذا يختزل إلى ^{[ 2 ] : 128}

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0.}$

1

الصيغة العامة لحفظ زخم سائل نيوتوني غير قابل للانضغاط ( معادلات نافيير-ستوكس ) هي

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} +{\frac {1}{\rho }}\mathbf {ف}،}$

حيث ν (nu) هي اللزوجة الحركية و F هي مجموع أي قوى جسمية مثل الجاذبية . ^{[ 2 ] : 59} في هذه المعادلة، يُفترض أن تغيرات الكثافة لها جزء ثابت وجزء آخر يعتمد خطيًا على درجة الحرارة:

${\displaystyle \rho =\rho _{0}-\alpha \rho _{0}(T-T_{0}),}$

حيث α هو معامل التمدد الحراري . ^{[ 2 ] : 128-129} ينص تقريب بوسينسك على أن تغير الكثافة مهم فقط في حد الطفو.

لو${\displaystyle F=\rho \mathbf {g} }$إذا كانت قوة الجاذبية هي قوة الجسم، فإن معادلة الحفظ الناتجة هي ^{[ 2 ] : 129}

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla (p-\rho _{0}\mathbf {g} \cdot \mathbf {z} )+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} -\mathbf {g} \alpha (T-T_{0}).}$

2

في معادلة تدفق الحرارة في تدرج درجة الحرارة، السعة الحرارية لكل وحدة حجم،${\displaystyle \rho C_{p}}$يُفترض أن قيمة ثابتة، ويتم تجاهل حد التبديد. المعادلة الناتجة هي

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla T={\frac {k}{\rho C_{p}}}\nabla ^{2}T+{\frac {J}{\rho C_{p}}},}$

3

حيث J هو معدل إنتاج الحرارة الداخلية لكل وحدة حجم و${\displaystyle k}$هي الموصلية الحرارية . ^{[ 2 ] : 129}

المعادلات الثلاث المرقمة هي معادلات الحمل الحراري الأساسية في تقريب بوسينسك.

تكمن ميزة هذا التقريب في أنه عند دراسة تدفق، على سبيل المثال، ماء دافئ وبارد بكثافتين _{ρ₁ و} ρ₂، يكفي النظر إلى كثافة واحدة فقط ρ: فالفرق Δρ = _ρ₁ − ρ₂ ضئيل _. يُظهر التحليل البُعدي أنه في ظل هذه الظروف ، فإن الطريقة المنطقية الوحيدة لإدخال تسارع الجاذبية الأرضية g في معادلات الحركة هي في الجاذبية المختزلة g′ حيث

${\displaystyle g'=g{\frac {\rho _{1}-\rho _{2}}{\rho }}.}$

(لاحظ أن المقام قد يكون الكثافة أو غيرها دون التأثير على النتيجة لأن التغيير سيكون من رتبة ⁠${\displaystyle g\left({\tfrac {\Delta \rho }{\rho }}\right)^{2}}$. ) أكثر الأرقام عديمة الأبعاد استخدامًا بشكل عام هي رقم ريتشاردسون ورقم رايلي .

وبالتالي فإن الرياضيات الخاصة بالتدفق أبسط لأن نسبة الكثافة ⁠ ρ ₁ / ρ ₂ ⁠ ، وهو رقم بلا أبعاد ، لا يؤثر على التدفق ؛ وينص تقريب بوسينسك على أنه يمكن افتراض أنه يساوي واحدًا بالضبط.

من خصائص تدفقات بوسينسك أنها تبدو متطابقة عند النظر إليها رأسًا على عقب، بشرط عكس هوية السوائل. ويكون تقريب بوسينسك غير دقيق عندما يكون فرق الكثافة غير البعدي Δρ / ρ مساويًا تقريبًا للواحد ، أي Δρ ≈ ρ .

على سبيل المثال، تخيل نافذة مفتوحة في غرفة دافئة. يكون الهواء الدافئ في الداخل أقل كثافة من الهواء البارد في الخارج، والذي يتدفق إلى داخل الغرفة وينزل نحو الأرض. الآن تخيل العكس: غرفة باردة معرضة لهواء دافئ من الخارج. هنا، يتحرك الهواء المتدفق إلى الداخل صعودًا نحو السقف. إذا كان التدفق يتبع منحنى بوسينسك (وكانت الغرفة متناظرة فيما عدا ذلك)، فإن رؤية الغرفة الباردة مقلوبة رأسًا على عقب تُعادل تمامًا رؤية الغرفة الدافئة في وضعها الطبيعي. وذلك لأن الكثافة لا تدخل في المسألة إلا من خلال معامل الجاذبية المخفّض g′، الذي يتغير إشارته فقط عند الانتقال من تدفق الهواء في الغرفة الدافئة إلى تدفق الهواء في الغرفة الباردة.

من الأمثلة على التدفق غير البوسينسكي الفقاعات الصاعدة في الماء. يختلف سلوك فقاعات الهواء الصاعدة في الماء اختلافًا كبيرًا عن سلوك الماء الساقط في الهواء: ففي الحالة الأولى، تميل الفقاعات الصاعدة إلى تشكيل أغلفة نصف كروية، بينما ينقسم الماء الساقط في الهواء إلى قطرات مطر (عند المقاييس الصغيرة، يدخل التوتر السطحي في المشكلة ويزيد من تعقيدها).

• بوسينسق، جوزيف (1897). نظرية التوربيون وتدفق السوائل في الأضواء المستقيمة إلى قسم كبير . المجلد.  1. غوتييه فيلارز . تم الاسترجاع 10 أكتوبر 2015 .
• كلاينستروير، كليمنت (1997). ديناميكا الموائع الهندسية: منهج النظم متعدد التخصصات . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-52-101917-0.
• تريتون، دي جيه (1988). ديناميكا الموائع الفيزيائية (  الطبعة الثانية). مطبعة جامعة أكسفورد . رقم ISBN 978-0-19-854493-7.