منحنى الصندوق

في مجالي التحليل العددي ونظرية التقريب ، تُعدّ دوال الصندوق التكعيبية دوالًا متعددة الحدود مُجزأة لعدة متغيرات. ^{[ 1 ]} تُعتبر دوال الصندوق التكعيبية تعميمًا متعدد المتغيرات لدوال الأساس التكعيبية (B-splines) ، وتُستخدم عادةً للتقريب/الاستيفاء متعدد المتغيرات. هندسيًا، يُمثل منحنى الصندوق التكعيبي ظلًا (شعاعًا سينيًا) لمكعب فائق مُسقطًا على فضاء ذي أبعاد أقل. ^{[ 2 ]} تُعدّ دوال الصندوق التكعيبية ودوال سيمبلكس التكعيبية حالات خاصة مدروسة جيدًا من دوال التكعيب متعددة السطوح، والتي تُعرّف على أنها ظلال لمضلعات عامة .

دالة الصندوق التكعيبية هي دالة متعددة المتغيرات${\displaystyle (\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} )}$مُعرَّفة لمجموعة من المتجهات،${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{d},}$عادة ما يتم تجميعها في مصفوفة${\displaystyle \mathbf {\Xi }$ :=\left[\xi _{1}\dots \xi _{N}\right].}

عندما يكون عدد المتجهات مساوياً لأبعاد المجال (أي،${\displaystyle N=d}$ثم يكون منحنى الصندوق ببساطة دالة المؤشر (المُعَيَّرة) لمتوازي المستطيلات المُشكَّل بواسطة المتجهات في${\displaystyle \mathbf {\Xi } }$:

${\displaystyle M_{\mathbf {\Xi } }(\mathbf {x} ):={\frac {1}{\mid {\det {\Xi }}\mid }}\chi _{\mathbf {\Xi } }(\mathbf {x} )={\begin{cases}{\frac {1}{\mid {\det {\Xi }}\mid }}&{\text{if }}\mathbf {x} =\sum _{n=1}^{d}{t_{n}\xi _{n}}{\text{ for some }}0\leq t_{n}<1\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

إضافة اتجاه جديد،${\displaystyle \xi ,}$ل${\displaystyle \mathbf {\Xi } ,}$أو بشكل عام عندما${\displaystyle N>d,}$يتم تعريف منحنى الصندوق بشكل متكرر: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle M_{\mathbf {\Xi } \cup \xi }(\mathbf {x} )=\int _{0}^{1}M_{\mathbf {\Xi } }(\mathbf {x} -t\xi )\,{\rm {d}}t.}$

صندوق المنحنى${\displaystyle M_{\mathbf {\Xi } }}$يمكن تفسير ذلك على أنه ظل دالة المؤشر للمكعب الفائق الواحد في${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$عند إسقاطها لأسفل في${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$في هذا المنظور، المتجهات${\displaystyle \xi \in \mathbf {\Xi } }$هي الإسقاط الهندسي للأساس القياسي في${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$(أي حواف المكعب الفائق) إلى${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$

بالنظر إلى التوزيعات المعتدلة، فإن دالة الصندوق التكعيبية المرتبطة بمتجه اتجاه واحد هي دالة معممة تشبه دالة ديراك مدعومة على${\displaystyle t\xi }$ل${\displaystyle 0\leq t<1}$ثم يتم تعريف التكعيب الصندوقي العام على أنه التفاف التوزيعات المرتبطة بالتكعيبات الصندوقية أحادية المتجه:

${\displaystyle M_{\mathbf {\Xi } }=M_{\xi _{1}}\ast M_{\xi _{2}}\ast \dots \ast M_{\xi _{N}}.}$

• يترك${\displaystyle \kappa }$ليكن الحد الأدنى لعدد الاتجاهات التي يتم إزالتها من${\displaystyle \Xi }$يجعل الاتجاهات المتبقية لا تمتد${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ثم يكون للمنحنى الصندوقي${\displaystyle \kappa -2}$درجات الاستمرارية:${\displaystyle M_{\mathbf {\Xi } }\in C^{\kappa -2}(\mathbb {R} ^{d})}$[ ^{1 ]​}
• متى${\displaystyle N\geq d}$(والمتجهات في${\displaystyle \Xi }$فترة${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$) دالة الصندوق التكعيبية هي دالة ذات دعم مضغوط، ويكون دعمها عبارة عن سطح زونوتوب في${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$تتكون من مجموع مينكوفسكي لمتجهات الاتجاه${\displaystyle \xi \in \mathbf {\Xi } }$.
• بما أن الزونوتوبات متناظرة مركزياً، فإن دعم السبلاين الصندوقي يكون متناظراً بالنسبة لمركزه:${\displaystyle \mathbf {c} _{\Xi }:={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{N}\xi _{n}.}$
• تحويل فورييه للخط المنحني الصندوقي، في${\displaystyle d}$الأبعاد، تُعطى بواسطة

${\displaystyle {\hat {M}}_{\Xi }(\omega )=\exp(-j\mathbf {c} _{\Xi }\cdot \omega )\prod _{n=1}^{N}\operatorname {sinc} (\xi _{n}\cdot \omega ).}$

في التطبيقات، تُستخدم توليفات خطية من إزاحات دالة صندوقية واحدة أو أكثر على شبكة. تتميز هذه الدوال بكفاءة عالية، تفوق كفاءة التوليفات الخطية للدوال البسيطة، لأنها قابلة للتحسين، وثابتة الإزاحة بحكم تعريفها. ولذلك، تُشكل نقطة انطلاق للعديد من عمليات إنشاء أسطح التقسيم الفرعي .

أثبتت دوال الصندوق التكعيبية فائدتها في توصيف ترتيبات المستويات الفائقة . ^{[ 3 ]} كما يمكن استخدامها لحساب حجم متعددات الوجوه. ^{[ 4 ]}

في سياق معالجة الإشارات متعددة الأبعاد ، يمكن أن توفر دوال الصندوق التكعيبية نواة استيفاء متعددة المتغيرات (مرشحات إعادة بناء) مصممة خصيصًا لشبكات أخذ العينات غير الديكارتية ، ^{[ 5 ]} والشبكات البلورية (شبكات الجذور) التي تتضمن العديد من شبكات أخذ العينات المثلى من الناحية النظرية للمعلومات. ^{[ 6 ]} بشكل عام، تُعد شبكات التعبئة الكروية المثلى وشبكات تغطية الكرات ^{[ 7 ]} مفيدة لأخذ عينات من الدوال متعددة المتغيرات في بُعدين وثلاثة أبعاد وأبعاد أعلى. ^{[ 8 ]} في الإعداد ثنائي الأبعاد، تُستخدم دالة الصندوق التكعيبية ثلاثية الاتجاهات ^{[ 9 ]} لاستيفاء الصور المأخوذة عينات منها سداسية الشكل. في بيئة ثلاثية الأبعاد، تُستخدم دوال الصندوق التكعيبية رباعية الاتجاهات ^{[ 10 ]} وسداسية الاتجاهات ^{[ 11 ]} لاستيفاء البيانات المأخوذة على الشبكات المكعبة ذات المركز الجسمي والشبكات المكعبة ذات المركز الوجهي (المثلى) على التوالي. ^{[ 5 ]} وقد استُخدمت دالة الصندوق التكعيبية سباعية الاتجاهات ^{[ 12 ]} لنمذجة الأسطح، ويمكن استخدامها لاستيفاء البيانات على الشبكة الديكارتية ^{[ 13 ]} وكذلك الشبكة المكعبة ذات المركز الجسمي . ^{[ 14 ]} ويمكن تعميم دوال الصندوق التكعيبية رباعية الاتجاهات ^{[ 10 ]} وسداسية الاتجاهات ^{[ 11 ] إلى أبعاد أعلى [ 15 ]} لبناء دوال تكعيبية على الشبكات الجذرية . ^{[ 16 ]} وتُعد دوال الصندوق التكعيبية مكونات أساسية لدوال التكعيب السداسية ^{[ 17 ]} ودوال فورونوي التكعيبية ^{[ 18 ]} ، إلا أنها غير قابلة للتحسين.

وجدت دوال الصندوق المكعبة تطبيقات في الترشيح عالي الأبعاد، وتحديدًا في الترشيح الثنائي السريع وخوارزميات المتوسطات غير المحلية . ^{[ 19 ]} علاوة على ذلك، تُستخدم دوال الصندوق المكعبة لتصميم مرشحات فعالة متغيرة مكانيًا (أي غير التفافية). ^{[ 20 ]}

تُعدّ دوال الصندوق التكعيبية دوال أساسية مفيدة لتمثيل الصور في سياق مسائل إعادة بناء الصور المقطعية ، حيث أن فضاءات الدوال التكعيبية الناتجة عن فضاءات دوال الصندوق التكعيبية تكون مغلقة تحت تحويلات الأشعة السينية وتحويلات رادون . ^{[ 21 ] [ 22 ]} في هذا التطبيق، بينما يتم تمثيل الإشارة في فضاءات ثابتة الإزاحة، يتم الحصول على الإسقاطات، بصيغة مغلقة، عن طريق إزاحات غير منتظمة لدوال الصندوق التكعيبية. ^{[ 21 ]}

في سياق معالجة الصور، ثبت أن إطارات المربعات المنحنية فعالة في اكتشاف الحواف . ^{[ 23 ]}