إعادة بناء التصوير المقطعي

إعادة بناء التصوير المقطعي هو نوع من المشاكل العكسية متعددة الأبعاد حيث يتمثل التحدي في تقديم تقدير لنظام معين من عدد محدود من الإسقاطات . وقد وضع يوهان رادون الأساس الرياضي للتصوير المقطعي . ومن الأمثلة البارزة للتطبيقات إعادة بناء التصوير المقطعي المحوسب (CT) حيث يتم الحصول على صور مقطعية للمرضى بطريقة غير جراحية. وقد شهدت التطورات الأخيرة استخدام تحويل رادون وعكسه للمهام المتعلقة بإدخال الأشياء الواقعية المطلوبة لاختبار وتقييم استخدام التصوير المقطعي المحوسب في أمن المطارات . ^[1]

تنطبق هذه المقالة بشكل عام على طرق إعادة البناء لجميع أنواع التصوير المقطعي ، ولكن بعض المصطلحات والأوصاف الفيزيائية تشير مباشرة إلى إعادة بناء التصوير المقطعي بالأشعة السينية.

يتكون إسقاط الجسم الناتج عن عملية القياس المقطعي بزاوية معينة من مجموعة من التكاملات الخطية (انظر الشكل 1). تسمى مجموعة من العديد من هذه الإسقاطات تحت زوايا مختلفة منظمة في ثنائية الأبعاد بالسينوجرام (انظر الشكل 3). في التصوير المقطعي بالأشعة السينية، يمثل التكامل الخطي التوهين الكلي لشعاع الأشعة السينية أثناء انتقاله في خط مستقيم عبر الجسم. وكما ذكر أعلاه، فإن الصورة الناتجة هي نموذج ثنائي الأبعاد (أو ثلاثي الأبعاد) لمعامل التوهين . أي أننا نرغب في العثور على الصورة . أبسط وأسهل طريقة لتصور طريقة المسح هي نظام الإسقاط الموازي ، كما هو مستخدم في الماسحات الضوئية الأولى. في هذه المناقشة، نعتبر البيانات التي سيتم جمعها كسلسلة من الأشعة المتوازية، في الموضع ، عبر إسقاط بزاوية . يتم تكرار ذلك لزوايا مختلفة. يحدث التوهين بشكل أسي في الأنسجة: ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mu(x,y)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle I=I_{0}\exp \left({-\int \mu (x,y)\,ds}\right)}$

حيث يكون معامل التوهين كدالة للموضع. لذلك، بشكل عام، يتم تحديد التوهين الكلي لشعاع عند الموضع ، على الإسقاط بزاوية ، بواسطة التكامل الخطي: ${\displaystyle \mu(x,y)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle p_{\theta }(r)=\ln \left({\frac {I}{I_{0}}}\right)=-\int \mu (x,y)\,ds}$

باستخدام نظام الإحداثيات الموضح في الشكل 1، يتم تحديد قيمة الزاوية التي سيتم إسقاط النقطة عليها بواسطة:${\displaystyle r}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle x\cos \theta +y\sin \theta =r\ }$

لذا يمكن إعادة كتابة المعادلة أعلاه على النحو التالي

${\displaystyle p_{\theta }(r)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\delta (x\cos \theta +y\sin \theta -r)\,dx\,dy}$

حيث يمثل و دالة دلتا ديراك . تُعرف هذه الدالة باسم تحويل الرادون (أو الجيب الساينوجرام ) للكائن ثنائي الأبعاد. ${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle \mu(x,y)}$${\displaystyle \delta()}$

يمكن كتابة تحويل فورييه للإسقاط على النحو التالي:

${\displaystyle P_{\theta }(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\exp[-j\omega (x\cos \theta +y\sin \theta )]\,dx\,dy=F(\أوميغا _{1},\أوميغا _{2})}$أين ^[2]${\displaystyle \أوميغا _{1}=\أوميغا \cos \theta ,\أوميغا _{2}=\أوميغا \sin \theta }$

${\displaystyle P_{\theta }(\omega )}$يمثل شريحة من تحويل فورييه ثنائي الأبعاد بزاوية . باستخدام تحويل فورييه العكسي ، يمكن استنتاج صيغة تحويل الرادون العكسي بسهولة.${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }g_{\theta }(x\cos \theta +y\sin \theta )d\theta }$

أين المشتق لتحويل هيلبرت لـ${\displaystyle g_{\theta }(x\cos \theta +y\sin \theta )}$${\displaystyle p_{\theta }(r)}$

من الناحية النظرية، فإن تحويل الرادون العكسي من شأنه أن يعطي الصورة الأصلية. وتخبرنا نظرية شريحة الإسقاط أنه إذا كان لدينا عدد لا نهائي من الإسقاطات أحادية البعد لجسم مأخوذة بعدد لا نهائي من الزوايا، فيمكننا إعادة بناء الجسم الأصلي بشكل مثالي، . ومع ذلك، لن يكون هناك سوى عدد محدود من الإسقاطات المتاحة في الممارسة العملية. ${\displaystyle f(x,y)}$

بافتراض أن القطر الفعال والدقة المطلوبة هي ، فإن القاعدة العامة لعدد الإسقاطات اللازمة لإعادة البناء هي ^[2]${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle د}$${\displaystyle R_{s}}$${\displaystyle N>\pi d/R_{s}}$

تم تطوير خوارزميات إعادة البناء العملية لتنفيذ عملية إعادة بناء جسم ثلاثي الأبعاد من إسقاطاته. ^{[3] [2]} تم تصميم هذه الخوارزميات إلى حد كبير بناءً على رياضيات تحويل الأشعة السينية والمعرفة الإحصائية لعملية الحصول على البيانات وهندسة نظام تصوير البيانات.

يمكن إجراء إعادة البناء باستخدام الاستيفاء. افترض أن إسقاطات يتم إنشاؤها بزوايا متباعدة بالتساوي، ويتم أخذ عينات من كل منها بنفس المعدل. ينتج عن تحويل فورييه المنفصل (DFT) على كل إسقاط أخذ عينات في مجال التردد. يؤدي الجمع بين جميع الإسقاطات المأخوذة عينات منها تردديًا إلى إنشاء شبكة قطبية في مجال التردد. الشبكة القطبية متفرقة، لذلك يتم استخدام الاستيفاء لملء نقاط DFT غير المعروفة، ويمكن إجراء إعادة البناء من خلال تحويل فورييه المنفصل العكسي . ^[4] قد يتحسن أداء إعادة البناء من خلال تصميم طرق لتغيير ندرة الشبكة القطبية، مما يسهل فعالية الاستيفاء. ${\displaystyle N}$${\displaystyle f(x,y)}$

على سبيل المثال، يمكن الحصول على شبكة مربعة متحدة المركز في مجال التردد عن طريق تغيير الزاوية بين كل إسقاط على النحو التالي:

${\displaystyle \theta '={\frac {R_{0}}{\max\{|\cos \theta |,|\sin \theta |\}}}}$

أين أعلى تردد ليتم تقييمه؟ ${\displaystyle R_{0}}$

تعمل الشبكة المربعة المتحدة المركز على تحسين كفاءة الحوسبة من خلال السماح لجميع مواضع الاستيفاء بأن تكون على شبكة DFT مستطيلة. علاوة على ذلك، فإنها تقلل من خطأ الاستيفاء. ^[4] ومع ذلك، فإن خوارزمية تحويل فورييه لها عيب يتمثل في إنتاج خرج مشوش بطبيعته.

في ممارسة إعادة بناء الصور المقطعية، غالبًا ما يتم استخدام نسخة مستقرة ومنفصلة من تحويل الرادون العكسي، والمعروفة باسم خوارزمية الإسقاط الخلفي المصفى . ^[2]

مع نظام منفصل تم أخذ عينات منه، يكون تحويل الرادون العكسي هو

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{i=0}^{N-1}\Delta \theta _{i}g_{\theta _{i}}(x\cos \theta _{i}+y\sin \theta _{i})}$

${\displaystyle g_{\theta }(t)=p_{\theta }(t)\cdot k(t)}$

أين هي المسافة الزاوية بين الإسقاطات و هي نواة الرادون مع استجابة التردد . ${\displaystyle \دلتا \ثيتا }$${\displaystyle k(t)}$${\displaystyle \أوميغا |}$

يأتي اسم الإسقاط الخلفي من حقيقة أن الإسقاط أحادي البعد يحتاج إلى الترشيح بواسطة نواة رادون أحادية البعد (إسقاط خلفي) من أجل الحصول على إشارة ثنائية الأبعاد. لا يحتوي المرشح المستخدم على مكسب تيار مستمر، لذا قد يكون إضافة تحيز تيار مستمر أمرًا مرغوبًا فيه. تسمح إعادة البناء باستخدام الإسقاط الخلفي بدقة أفضل من طريقة الاستيفاء الموضحة أعلاه. ومع ذلك، فإنها تسبب ضوضاء أكبر لأن المرشح عرضة لتضخيم المحتوى عالي التردد.

تتطلب الخوارزمية التكرارية قدرًا كبيرًا من الحساب، لكنها تسمح بإدراج معلومات مسبقة حول النظام . ^[2]${\displaystyle f(x,y)}$

ليكن عدد الإسقاطات وليكن عامل التشويه للإسقاط رقم th المأخوذ بزاوية . هي مجموعة من المعلمات لتحسين تحويل التكرارات. ${\displaystyle N}$${\displaystyle D_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle \{\lambda _{i}\}}$

${\displaystyle f_{0}(x,y)=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{\theta _{i}}(r)}$

${\displaystyle f_{k}(x,y)=f_{k-1}(x,y)+\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}[p_{\theta _{i}}(r)-D_{i}f_{k-1}(x,y)]}$

عائلة بديلة من خوارزميات إعادة البناء التصويري المتكرر هي تقنيات إعادة البناء الجبرية والتباين الأدنى المقارب المتفرق التكراري .

إن استخدام شعاع المروحة غير المتوازي أمر شائع نظرًا لصعوبة الحصول على شعاع إشعاعي متوازي . ستولد الشعاعات المروحية سلسلة من التكاملات الخطية، غير المتوازية مع بعضها البعض، كإسقاطات. يتطلب نظام الشعاع المروحي نطاقًا من الزوايا يبلغ 360 درجة، مما يفرض قيودًا ميكانيكية، ولكنه يسمح بوقت أسرع لاكتساب الإشارة، وهو ما قد يكون مفيدًا في بعض الإعدادات مثل مجال الطب. يتبع الإسقاط الخلفي إجراءً مشابهًا من خطوتين ينتج عنه إعادة بناء عن طريق حساب الإسقاطات الخلفية المرجحة التي تم الحصول عليها من الإسقاطات المفلترة.

تُطبق طرق التعلم العميق على نطاق واسع لإعادة بناء الصور في الوقت الحاضر وقد حققت نتائج مبهرة في مهام إعادة بناء الصور المختلفة، بما في ذلك إزالة الضوضاء منخفضة الجرعة، وإعادة بناء العرض المتفرق، والتصوير المقطعي بزاوية محدودة، وتقليل آثار المعادن. يمكن العثور على نظرة عامة ممتازة في العدد الخاص ^[5] من IEEE Transaction on Medical Imaging. تطبق مجموعة واحدة من خوارزميات إعادة بناء التعلم العميق شبكات عصبية بعد المعالجة لتحقيق إعادة بناء صورة إلى صورة، حيث يتم إعادة بناء الصور المدخلة بطرق إعادة البناء التقليدية. يعد تقليل الآثار باستخدام U-Net في التصوير المقطعي بزاوية محدودة أحد تطبيقات المثال. ^[6] ومع ذلك، قد تحدث هياكل غير صحيحة في صورة أعيد بناؤها بواسطة مثل هذه الطريقة التي تعتمد على البيانات بالكامل، ^[7] كما هو موضح في الشكل. لذلك، يبدو أن دمج المشغلين المعروفين في تصميم بنية الشبكات العصبية مفيدًا، كما هو موضح في مفهوم التعلم الدقيق. ^[8] على سبيل المثال، يمكن تعلم إعادة بناء الصورة المباشرة من بيانات الإسقاط من إطار الإسقاط الخلفي المصفى. ^[9] مثال آخر هو بناء الشبكات العصبية عن طريق فك خوارزميات إعادة البناء التكرارية. ^[10] باستثناء التعلم الدقيق، فإن استخدام طرق إعادة البناء التقليدية مع إعادة بناء التعلم العميق مسبقًا ^[11] هو أيضًا نهج بديل لتحسين جودة صورة إعادة بناء التعلم العميق.

تتميز أنظمة التصوير المقطعي بتنوع كبير في تطبيقاتها وهندستها (مواقع المصادر والكاشفات). ويخلق هذا التنوع الحاجة إلى تنفيذات محددة للغاية ومصممة خصيصًا لخوارزميات المعالجة وإعادة البناء. وبالتالي، توفر معظم شركات تصنيع أجهزة التصوير المقطعي برامجها الخاصة المخصصة. ولا يتم ذلك لحماية الملكية الفكرية فحسب، بل قد يتم فرضه أيضًا من قبل هيئة تنظيمية حكومية. وبصرف النظر عن ذلك، هناك عدد من حزم برامج إعادة البناء التصويرية للأغراض العامة التي تم تطويرها على مدار العقدين الماضيين، سواء كانت تجارية أو مفتوحة المصدر.

تركز أغلب حزم البرامج التجارية المتاحة للشراء على معالجة البيانات لأنظمة التصوير المقطعي المحوسب باستخدام الحزم المخروطية. وتتضمن بعض حزم البرامج هذه Volume Graphics وInstaRecon وiTomography وLivermore Tomography Tools (LTT) وCone Beam Software Tools (CST).

تتضمن بعض الأمثلة الجديرة بالملاحظة لبرامج إعادة البناء مفتوحة المصدر ما يلي: مجموعة أدوات إعادة البناء (RTK)، ^[12] CONRAD، ^[13] TomoPy، ^[14] مجموعة أدوات ASTRA، ^{[15] [16]} PYRO-NN، ^[17] ODL، ^[18] TIGRE، ^[19] وLEAP. ^[20]

يظهر في المعرض العملية الكاملة لتصوير كائن بسيط بالتصوير المقطعي، وإعادة البناء المقطعي التالية بناءً على تقنية التصوير الشعاعي بمساعدة الحاسوب.

• 
  الشكل 2: جسم شبحي ، مربعان على شكل زاوية قطة.
• 
  الشكل 3: مخطط سينوغرافي للجسم الوهمي (الشكل 2) الناتج عن التصوير المقطعي. تم التقاط 50 شريحة إسقاط بزاوية 180 درجة، وتم أخذ العينات على مسافات متساوية (فقط عن طريق الصدفة، يشير المحور السيني إلى الإزاحة عند -50/50 وحدة).
• 
  الشكل 4: إعادة بناء مقطعية تعتمد على تقنية التصوير المقطعي المحوسب للجيب الجيباني في الشكل 3، يتم تقديمها كرسوم متحركة خلال عملية إعادة البناء التكرارية. يمكن إعادة بناء الكائن الأصلي بشكل تقريبي، حيث تحتوي الصورة الناتجة على بعض التحف البصرية .

• عملية التصوير المقطعي المحوسب#إعادة بناء التصوير المقطعي
• إعادة بناء الشعاع المخروطي
• التصوير المقطعي الصناعي
• شركة أنظمة التصوير المقطعي الصناعي المحدودة

• أفيناش كاك ومالكولم سلاني (1988)، مبادئ التصوير المقطعي المحوسب، مطبعة معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات، رقم ISBN 0-87942-198-3 . 
• برويانت، بي بي "خوارزميات إعادة البناء التحليلية والتكرارية في التصوير المقطعي بالإصدار الفوتوني المفرد" مجلة الطب النووي 43(10):1343-1358، 2002

• سلاني، إيه سي كاك ومالكولم. "مبادئ التصوير المقطعي المحوسب". Slaney.org . تم الاسترجاع في 7 سبتمبر 2018 .
• مجموعة أدوات Insight؛ برنامج دعم التصوير المقطعي مفتوح المصدر
• "TomoPy — TomoPy 1.1.3 documentation". Tomopy.readthedocs.org . تم الاسترجاع في 7 سبتمبر 2018 .
• مجموعة أدوات ASTRA (إعادة بناء التصوير المقطعي بجميع المقاييس في أنتويرب)؛ برنامج مفتوح المصدر مرن للغاية وسريع لإعادة بناء التصوير المقطعي المحوسب
• NiftyRec؛ برنامج إعادة بناء التصوير المقطعي الشامل مفتوح المصدر؛ قابل للبرمجة بلغة Matlab وPython
• أداة مفتوحة المصدر لإعادة بناء وتصور الصور المقطعية
• "ITS plc - التصوير المقطعي للعمليات الكهربائية للتصور الصناعي". Itoms.com . تم الاسترجاع في 7 سبتمبر 2018 .