تعبئة كروية

في الهندسة ، يُعرف رصّ الكرات بأنه ترتيب كرات غير متداخلة داخل فضاء مُحيط. عادةً ما تكون الكرات المدروسة متطابقة في الحجم، ويكون الفضاء عادةً فضاءً إقليديًا ثلاثي الأبعاد . مع ذلك، يمكن تعميم مسائل رصّ الكرات لتشمل كرات غير متساوية، أو فضاءات ذات أبعاد أخرى (حيث تصبح المسألة رصّ دوائر في بُعدين، أو رصّ كرات فائقة في أبعاد أعلى)، أو فضاءات غير إقليدية مثل الفضاء الزائدي .

تتمثل إحدى مسائل تعبئة الكرات النموذجية في إيجاد ترتيب تملأ فيه الكرات أكبر قدر ممكن من الفراغ. وتُسمى نسبة الفراغ الذي تشغله الكرات بكثافة التعبئة . ولأن الكثافة المحلية للتعبئة في فضاء لانهائي قد تختلف باختلاف الحجم الذي تُقاس عليه، فإن المسألة عادةً ما تكون تعظيم متوسط ​​الكثافة أو الكثافة التقاربية ، المقاسة على حجم كبير بما فيه الكفاية.

بالنسبة للكرات المتساوية في ثلاثة أبعاد، فإن التعبئة الأكثر كثافة تستخدم حوالي 74% من الحجم. أما التعبئة العشوائية للكرات المتساوية فتكون كثافتها حوالي 63.5%. ^{[ 1 ]}

الترتيب الشبكي ( ويُسمى عادةً بالترتيب المنتظم ) هو ترتيب تُشكّل فيه نقاط الشبكة نمطًا متناظرًا للغاية، وفي الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n ، لا يتطلب الأمر سوى n متجهًا لتحديده. تتميز الترتيبات الشبكية بأنها دورية، ولها خاصية أنه عند نقل الشبكة (تحريكها) بحيث توضع نقطة في مكان نقطة أخرى، يبقى الترتيب كما هو. قد تكون الترتيبات التي لا تُشكّل فيها النقاط شبكة دورية، ولكنها قد تكون أيضًا غير دورية ، بما في ذلك الترتيبات العشوائية . يسهل تصنيف حزم الشبكة مقارنةً بالحزم الأخرى نظرًا لدرجة تناظرها العالية . تتميز الشبكات الدورية بكثافات محددة جيدًا.

إذا حاولنا بناء مجموعة متراصة من الكرات، فسنميل دائمًا إلى وضع الكرة التالية في فراغ بين ثلاث كرات متراصة. إذا جُمعت خمس كرات بهذه الطريقة، فستكون متوافقة مع أحد الترتيبات المنتظمة المذكورة أعلاه. مع ذلك، فإن وضع الكرة السادسة بهذه الطريقة سيجعل البنية غير متوافقة مع أي ترتيب منتظم. ينتج عن ذلك إمكانية وجود تراص عشوائي متراص للكرات يكون مستقرًا ضد الضغط. ^{[ 8 ]} يمكن أن يؤدي اهتزاز التراص العشوائي غير المتراص إلى ترتيب الجسيمات الكروية في تراصات منتظمة، وهي عملية تُعرف باسم التبلور الحبيبي . تعتمد هذه العمليات على هندسة الوعاء الذي يحتوي على الحبيبات الكروية. ^{[ 2 ]}

عند إضافة الكرات عشوائيًا إلى وعاء ثم ضغطها، فإنها عادةً ما تُشكّل ما يُعرف بتكوين التعبئة "غير المنتظم" أو "المتكدس" عندما يتعذر ضغطها أكثر. تتميز هذه التعبئة غير المنتظمة بكثافة تبلغ حوالي 64%. وتشير الأبحاث الحديثة، تحليليًا، إلى أنها لا يمكن أن تتجاوز حدًا أقصى للكثافة يبلغ 63.4% ^{[ 9 ].} يختلف هذا الوضع عن حالة الأبعاد الأحادية أو الثنائية، حيث يؤدي ضغط مجموعة من الكرات أحادية أو ثنائية الأبعاد (أي القطع المستقيمة أو الدوائر) إلى تعبئة منتظمة.

مسألة تعبئة الكرات هي النسخة ثلاثية الأبعاد من فئة مسائل تعبئة الكرات في أبعاد عشوائية. في بعدين، تتمثل المسألة المكافئة في تعبئة الدوائر على مستوى. أما في بعد واحد، فتتمثل في تعبئة القطع المستقيمة في فضاء خطي. ^{[ 10 ]}

تُعرف أكثر التراص الشبكي كثافةً للكرات الفائقة في الأبعاد من 1 إلى 8 و24. ^{[ 11 ]} ولا يُعرف إلا القليل نسبيًا عن التراص غير الشبكي للكرات الفائقة، إذ لا تُعرف النتيجة المثلى إلا في الأبعاد من 1 إلى 3، و8، و24؛ ومن المحتمل أن يكون التراص الأكثر كثافةً غير منتظم في بعض الأبعاد. ويُستدل على هذا الافتراض من حقيقة أنه في أبعاد معينة (مثل 10)، يكون التراص غير المنتظم الأكثر كثافةً المعروف أكثر كثافةً من التراص المنتظم الأكثر كثافةً المعروف. ^{[ 12 ]}

في عام 2016، أعلنت مارينا فيازوفسكا عن برهان على أن شبكة E ₈ ، التي تتميز بكثافة تعبئة تبلغ${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{4}}{2^{4}4!}}}$توفر هذه الطريقة التعبئة المثلى (بغض النظر عن الانتظام) في الفضاء ذي الأبعاد الثمانية. ^{[ 13 ]} بعد ذلك بوقت قصير، أعلنت هي ومجموعة من المتعاونين معها عن برهان مماثل على أن شبكة ليتش ، بكثافة${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}}$، وهو الأمثل في 24 بُعدًا. ^{[ 14 ]} استندت هذه النتائج إلى طرق سابقة حسّنتها، والتي أظهرت أن هاتين الشبكتين قريبتان جدًا من الأمثل. ^{[ 15 ]} تتضمن البراهين الجديدة استخدام تحويل لابلاس لدالة نمطية مختارة بعناية لإنشاء دالة متناظرة شعاعيًا f بحيث تكون f وتحويل فورييه الخاص بها f̂  مساويين لـ 1 عند نقطة الأصل ، ويتلاشى كلاهما عند جميع النقاط الأخرى للشبكة المثلى، مع كون f سالبة خارج الكرة المركزية للتعبئة و f̂ موجبة. بعد ذلك، تُستخدم صيغة جمع بواسون لـ f  لمقارنة كثافة الشبكة المثلى بكثافة أي تعبئة أخرى. ^{[ 16 ]} قبل أن تتم مراجعة البرهان ونشره رسميًا ، وصفه عالم الرياضيات بيتر سارناك بأنه "بسيط بشكل مذهل" وكتب: "بمجرد أن تبدأ بقراءة الورقة، ستعرف أن هذا صحيح." ^{[ 17 ]}

هناك خط بحث آخر في الأبعاد العالية يحاول إيجاد حدود تقاربية لكثافة أكثر التراص كثافة. من المعروف أنه بالنسبة لقيم n الكبيرة ، فإن الشبكة الأكثر كثافة في البعد n لها كثافة${\displaystyle \theta (n)}$بين cn ⋅ 2 ^{− n} (لثابت ما c ) و 2 ^{−(0.599+o(1)) n} . ^{[ 18 ]} تقع الحدود التخمينية بينهما. ^{[ 19 ]} في ورقة بحثية أولية نُشرت عام 2023، أعلن مارسيلو كامبوس، وماثيو ينسن، وماركوس ميشيلين، وجوليان ساهاسرابودهي عن تحسين الحد الأدنى للكثافة القصوى إلى${\displaystyle \theta (n)\geq (1-o(1)){\frac {n\ln n}{2^{n+1}}}}$[ ^{20 ] [ 21 ]} ومن بين تقنياتهم التي يستخدمونها تقنية Rödl nibble . وفي نسخة أولية نُشرت في أبريل 2025، ^أعلن بوعز كلارتاج عن تحسين إضافي هام:${\displaystyle \theta (n)\geq c{\frac {n^{2}}{2^{n}}}}$[ ^{22 ] [ 23 ] ومنذ ذلك الحين ،} تم تحسين أفكار كلارتاج بشكل أكبر لإظهار أن${\displaystyle \theta (n)\geq c{\frac {n^{2}\log \log n}{2^{n}}}}$لعدد لا نهائي من${\displaystyle n}$[ ^{24 ]​}

ترتبط العديد من المشكلات في العلوم الكيميائية والفيزيائية بمشكلات التعبئة حيث يتوفر أكثر من حجم واحد للكرات. في هذه الحالة، يوجد خياران: إما فصل الكرات إلى مناطق من الكرات المتساوية المتراصة بإحكام، أو دمج أحجام الكرات المتعددة في تعبئة مركبة أو بينية . عندما يتوفر العديد من أحجام الكرات (أو توزيعها )، تصبح المشكلة معقدة للغاية، ولكن توجد بعض الدراسات حول الكرات الصلبة الثنائية (ذات الحجمين).

عندما تكون الكرة الثانية أصغر بكثير من الأولى، يُمكن ترتيب الكرات الكبيرة بترتيب متراص، ثم وضع الكرات الصغيرة داخل الفراغات الثمانية الأوجه والرباعية الأوجه. تعتمد كثافة هذا التراص البيني بشكل كبير على نسبة نصف القطر، ولكن في حالة النسب القصوى للأحجام، يُمكن للكرات الأصغر ملء الفراغات بنفس كثافة الكرات الأكبر. ^{[ 26 ]} حتى لو لم تكن الكرات الكبيرة مرتبة بترتيب متراص، فمن الممكن دائمًا إدخال بعض الكرات الأصغر التي يصل حجمها إلى0.290 99 من نصف قطر الكرة الأكبر. ^{[ 27 ]}

عندما يكون نصف قطر الكرة الأصغر أكبر منعندما يصل نصف قطر الكرة الأكبر إلى 0.41421 ، يصبح من المستحيل حتى إدخال الذرات البينية في الفراغات ثمانية الأوجه للبنية المتراصة. لذا، بعد هذه النقطة، إما أن تتمدد البنية المضيفة لاستيعاب الذرات البينية (مما يؤثر سلبًا على الكثافة الإجمالية)، أو أن تعيد ترتيب نفسها إلى بنية مركبة بلورية أكثر تعقيدًا. ومن المعروف أن هناك بنى تتجاوز كثافة التراص المتراص لنسب أنصاف أقطار تصل إلى 0.41421.0.659786 . ^{[ 25 ] [ 28 ]}​

تم أيضًا الحصول على حدود عليا للكثافة التي يمكن الحصول عليها في مثل هذه التعبئة الثنائية باستخدام نظير مستمر لتسلسل مجموع المربعات للبرامج شبه المحددة . ^{[ 29 ]}

في العديد من الحالات الكيميائية، مثل البلورات الأيونية ، تُقيّد الشحنات الأيونية المكونة للمركبات نسبة العناصر الكيميائية. هذا القيد الإضافي على ترتيب الجزيئات، إلى جانب ضرورة تقليل طاقة كولوم للشحنات المتفاعلة، يؤدي إلى تنوع في ترتيبات التعبئة المثلى.

الحد الأعلى لكثافة رصّ الكرات المتراصة بإحكام، بأي مجموعة من أنصاف الأقطار، هو 1 - ومن أمثلة هذا النوع من الرصّ رصّ الكرات الأبولوني. أما الحد الأدنى لهذا النوع من الرصّ فهو 0 - ومن أمثلة هذا النوع رصّ الكرات الديونيوسي. ^{[ 30 ]}  

على الرغم من إمكانية توسيع مفهوم الدوائر والكرات ليشمل الفضاء الزائدي ، إلا أن إيجاد التراص الأكثر كثافة يصبح أكثر صعوبة. ففي الفضاء الزائدي، لا يوجد حد لعدد الكرات التي يمكن أن تحيط بكرة أخرى (على سبيل المثال، يمكن اعتبار دوائر فورد ترتيبًا لدوائر زائدية متطابقة، حيث تُحاط كل دائرة بعدد لا نهائي من الدوائر الأخرى). كما يصبح تعريف مفهوم الكثافة المتوسطة بدقة أكثر صعوبة. وتكون التراصات الأكثر كثافة في أي فضاء زائدي غير منتظمة في أغلب الأحيان. ^{[ 31 ]}

على الرغم من هذه الصعوبة، يقدم ك. بوروتسكي حدًا أعلى عامًا لكثافة حزم الكرات في الفضاء الزائدي ذي البعد n حيث n  ≥  2. ^{[ 32 ]} في ثلاثة أبعاد، يكون حد بوروتسكي تقريبًا85.327613 % ، ويتحقق ذلك من خلال تعبئة هوروسفير لقرص العسل رباعي الأوجه من الرتبة 6 برمز شلافلي { 3،3،6 } . ^{[ 33 ]} بالإضافة إلى هذا التكوين، من المعروف وجود ثلاث تعبئات هوروسفير أخرى على الأقل في الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد تحقق الحد الأعلى للكثافة. ^{[ 34 ]}

الرسم البياني للتلامس لأي مجموعة محدودة من الكرات الوحدوية هو الرسم البياني الذي تتوافق رؤوسه مع عناصر المجموعة، ويرتبط كل رأسين فيه بحافة إذا كان العنصران المتناظران في المجموعة متلامسين. يحدد عدد عناصر مجموعة الحواف في الرسم البياني للتلامس عدد الأزواج المتلامسة، ويحدد عدد الدورات الثلاثية في الرسم البياني للتلامس عدد الثلاثيات المتلامسة، ويحدد عدد رباعيات الأوجه في الرسم البياني للتلامس عدد الرباعيات المتلامسة (بشكل عام، بالنسبة للرسم البياني للتلامس المرتبط بمجموعة كرات في n بُعد، يحدد عدد عناصر مجموعة n- مُبسطات في الرسم البياني للتلامس عدد ( n  +  1)-المجموعات المتلامسة في مجموعة الكرات). في حالة الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، تم إثبات الحدود العليا غير التافهة لعدد الأزواج المتلامسة والثلاثيات والرباعيات ^{[ 35 ]} بواسطة كارولي بيزديك وصموئيل ريد في جامعة كالجاري.

تُعرف مسألة إيجاد ترتيب n من الكرات المتطابقة الذي يزيد عدد نقاط التلامس بين الكرات إلى أقصى حد باسم "مسألة الكرة اللاصقة". ويُعرف الحد الأقصى عندما يكون n ≤ 11، بينما لا تُعرف سوى قيم تخمينية للقيم الأكبر من n . ^{[ 36 ]}

يُقابل رصّ الكرات على زوايا المكعب الفائق (باستخدام كرات هامينغ ، وهي كرات مُعرّفة بمسافة هامينغ ) تصميمَ رموز تصحيح الأخطاء : إذا كان نصف قطر الكرات t ، فإن مراكزها تُمثّل كلمات رمزية لرمز تصحيح أخطاء من الرتبة ( 2t  +  1). أما رصّ الشبكات فيُقابل الرموز الخطية. وهناك علاقات أخرى أكثر دقة بين رصّ الكرات الإقليدية ورموز تصحيح الأخطاء. على سبيل المثال، يرتبط رمز غولاي الثنائي ارتباطًا وثيقًا بشبكة ليتش ذات 24 بُعدًا.

للحصول على مزيد من التفاصيل حول هذه الروابط، انظر كتاب Sphere Packings, Lattices and Groups من تأليف كونواي وسلون . ^{[ 37 ]}

• آستي، ت.؛ ووير، د. (2000). السعي وراء التعبئة المثالية . لندن: دار نشر معهد الفيزياء. ISBN 0-7503-0648-3.
• كونواي، جيه إتش ؛ سلون، إن جيه إتش (1998). تعبئة الكرات، والشبكات، والمجموعات (  الطبعة الثالثة). سبرينغر. ISBN 0-387-98585-9.
• سلون، ن. ج. أ. (1984). "تعبئة الكرات" . مجلة ساينتفك أمريكان . 250 : 116-125 . رمز Bibcode : 1984SciAm.250e.116G . doi : 10.1038/scientificamerican0584-116 .

• دانا ماكنزي (مايو 2002) " فوضى رائعة " (نيو ساينتست) - نظرة عامة غير تقنية عن التعبئة في الفضاء الزائدي.
• وايسشتاين، إريك دبليو. "تعبئة الدوائر" . عالم الرياضيات .
• "Kugelpackungen (Sphere Packing)" (TE Dorozinski)
• تطبيق "تعبئة الكرات ثلاثية الأبعاد" مؤرشف بتاريخ 26 أبريل 2009 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine). تطبيق جافا لتعبئة الكرات.
• تطبيق جافا "أكثر كثافة لتعبئة الكرات داخل كرة"
• "قاعدة بيانات لتعبئة الكرات" (إريك أغريل)