استراحة

معادلة ساين -غوردون هي معادلة تفاضلية جزئية تشتتية غير خطية

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\sin u=0,}$

مع اعتبار الحقل u دالة للإحداثي المكاني x والزمن t .

الحل الدقيق الذي تم التوصل إليه باستخدام تحويل التشتت العكسي هو: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle u=4\arctan \left({\frac {{\sqrt {1-\omega ^{2}}}\;\cos(\omega t)}{\omega \;\cosh({\sqrt {1-\omega ^{2}}}\;x)}}\right),}$

والتي، بالنسبة لـ ω < 1 ، تكون دورية في الزمن t وتتلاشى بشكل أسي عند الابتعاد عن x = 0 .

معادلة شرودنغر غير الخطية المركزة ^{[ 5 ]} هي معادلة تفاضلية جزئية تشتتية:

${\displaystyle i\,{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+|u|^{2}u=0,}$

حيث u حقل مركب كدالة لـ x و t . ويرمز i أيضاً إلى الوحدة التخيلية .

أحد حلول التنفس (جهاز التنفس Kuznetsov-Ma) هو ^{[ 2 ]}

${\displaystyle u=\left({\frac {2b^{2}\cosh(\theta )+2ib{\sqrt {2-b^{2}}}\sinh(\theta )}{2\cosh(\theta )-{\sqrt {2}}{\sqrt {2-b^{2}}}\cos(abx)}}-1\right)a\,e^{ia^{2}t}}$

مع

${\displaystyle \theta =a^{2}\,b\,{\sqrt {2-b^{2}}}\;t,}$

مما ينتج عنه موجات تنفسية دورية في الفضاء x، تقترب من القيمة المنتظمة a عند الابتعاد عن زمن التركيز t = 0. توجد هذه الموجات التنفسية لقيم معامل التعديل b الأقل من √2 . تجدر الإشارة إلى أن الحالة الحدية لحل الموجة التنفسية هي سوليتون بيرغرين . ^{[ 6 ]}