موجة ثابتة

في الفيزياء ، الموجة المستقرة ، والمعروفة أيضًا باسم الموجة الثابتة ، هي موجة تتذبذب في الوقت ولكن لا يتحرك ملف سعة الذروة الخاص بها في الفضاء. تكون سعة الذروة لتذبذبات الموجة عند أي نقطة في الفضاء ثابتة بالنسبة للوقت، وتكون التذبذبات عند نقاط مختلفة في جميع أنحاء الموجة في طور واحد . تسمى المواقع التي تكون فيها القيمة المطلقة للسعة في أدنى حد لها بالعقد ، وتسمى المواقع التي تكون فيها القيمة المطلقة للسعة في أقصى حد لها بالعقد المضادة.

تم وصف الموجات المستقرة علميًا لأول مرة بواسطة مايكل فاراداي في عام 1831. لاحظ فاراداي موجات مستقرة على سطح سائل في وعاء مهتز . ^{[1] [2] صاغ} فرانز ميلدي مصطلح "الموجة المستقرة" (بالألمانية: stehende Welle أو Stehwelle ) حوالي عام 1860 وأظهر الظاهرة في تجربته الكلاسيكية مع الأوتار المهتزة. ^{[3] [4] [5] [6]}

يمكن أن تحدث هذه الظاهرة لأن الوسط يتحرك في الاتجاه المعاكس لحركة الموجة، أو يمكن أن تنشأ في وسط ثابت نتيجة للتداخل بين موجتين تسيران في اتجاهين متعاكسين. السبب الأكثر شيوعًا للموجات الموقوفة هو ظاهرة الرنين ، حيث تحدث الموجات الموقوفة داخل الرنان بسبب التداخل بين الموجات المنعكسة ذهابًا وإيابًا عند تردد الرنين الخاص بالرنان .

بالنسبة للموجات ذات السعة المتساوية التي تسافر في اتجاهين متعاكسين، لا يوجد في المتوسط ​​انتشار صافٍ للطاقة .

وكمثال على النوع الأول، تتشكل موجات ثابتة في الغلاف الجوي في ظل ظروف جوية معينة في المناطق التي تقع تحت حماية سلاسل الجبال. وكثيراً ما يستغل طيارو الطائرات الشراعية مثل هذه الموجات .

تتشكل أيضًا الموجات الدائمة والقفزات الهيدروليكية على منحدرات الأنهار السريعة والتيارات المدية مثل دوامة Saltstraumen . أحد متطلبات هذا في تيارات الأنهار هو المياه المتدفقة ذات العمق الضحل حيث يتغلب قصور الماء على جاذبيته بسبب سرعة التدفق فوق الحرجة ( رقم فرويد : 1.7 - 4.5، يؤدي تجاوز 4.5 إلى موجة دائمة مباشرة ^[7] ) وبالتالي لا تتباطأ بشكل كبير بسبب العائق ولا يتم دفعها إلى الجانب. تعد العديد من موجات الأنهار الدائمة من أماكن ركوب الأمواج الشهيرة في الأنهار .

الموجات الدائمة

موجة ثابتة في وسط ثابت. النقاط الحمراء تمثل عقد الموجة . موجة ثابتة (باللون الأسود) يتم تصويرها كمجموع موجتين منتشرتين تسيران في اتجاهين متعاكسين (الأحمر والأزرق).

متجه القوة الكهربائية (E) ومتجه القوة المغناطيسية (H) للموجة المتوقفة. الموجات المستقرة في الوتر – الوضع الأساسي والتوافقيات الخمس الأولى .

موجة واقفة على غشاء دائري ، مثال على الموجات الواقفة في بعدين. هذا هو الوضع الأساسي. موجة ثابتة ذات توافقية أعلى على قرص مع خطين عقديين يتقاطعان في المركز.

كمثال على النوع الثاني، الموجة المستقرة في خط النقل هي موجة يتشكل فيها توزيع التيار أو الجهد أو قوة المجال من خلال تراكب موجتين من نفس التردد تنتشران في اتجاهين متعاكسين. التأثير هو سلسلة من العقد ( إزاحة صفرية ) والعقد المضادة ( إزاحة قصوى ) في نقاط ثابتة على طول خط النقل. يمكن تشكيل مثل هذه الموجة المستقرة عندما تنتقل الموجة إلى أحد طرفي خط النقل وتنعكس من الطرف الآخر بسبب عدم تطابق المعاوقة ، أي عدم الاستمرارية، مثل الدائرة المفتوحة أو الدائرة القصيرة . ^[8] عادةً ما يؤدي فشل الخط في نقل الطاقة عند تردد الموجة المستقرة إلى تشويه التوهين .

في الممارسة العملية، تعني الخسائر في خط النقل والمكونات الأخرى أنه لا يمكن تحقيق انعكاس مثالي وموجة واقفة نقية أبدًا. والنتيجة هي موجة واقفة جزئية ، وهي تراكب لموجة واقفة وموجة متنقلة. يتم قياس الدرجة التي تشبه بها الموجة إما موجة واقفة نقية أو موجة متنقلة نقية من خلال نسبة الموجة الواقفة (SWR). ^[9]

ومن الأمثلة الأخرى الأمواج الراكدة في المحيط المفتوح والتي تتكون من أمواج لها نفس فترة الموجة وتتحرك في اتجاهين متعاكسين. وقد تتكون هذه الأمواج بالقرب من مراكز العواصف، أو من انعكاس الانتفاخ على الشاطئ، وهي مصدر للضغط الجوي الصغير والزلازل الصغيرة .

يتناول هذا القسم حالات تمثيلية أحادية وثنائية الأبعاد للموجات الموقوفة. أولاً، يوضح مثال لخيط بطول لا نهائي كيف تتداخل الموجات المتطابقة التي تسافر في اتجاهين متعاكسين لإنتاج موجات موقوفة. بعد ذلك، يوضح مثالان لخيط بطول محدود مع ظروف حدودية مختلفة كيف تقيد الظروف الحدودية الترددات التي يمكن أن تشكل موجات موقوفة. بعد ذلك، يوضح مثال الموجات الصوتية في الأنبوب كيف يمكن تطبيق نفس المبادئ على الموجات الطولية مع ظروف حدودية مماثلة.

يمكن أن تحدث الموجات المستقرة أيضًا في الرنانات ثنائية الأبعاد أو ثلاثية الأبعاد . مع الموجات المستقرة على الأغشية ثنائية الأبعاد مثل رؤوس الطبول ، كما هو موضح في الرسوم المتحركة أعلاه، تصبح العقد خطوطًا عقدية، وهي خطوط على السطح لا توجد حركة عندها، تفصل المناطق المهتزة بطور معاكس. تسمى أنماط الخطوط العقدية هذه أشكال كلادني . في الرنانات ثلاثية الأبعاد، مثل صناديق صوت الآلات الموسيقية ورنانات تجويف الميكروويف ، توجد أسطح عقدية. يتضمن هذا القسم مثالاً لموجة مستقرة ثنائية الأبعاد بحدود مستطيلة لتوضيح كيفية توسيع المفهوم إلى أبعاد أعلى.

للبدء، ضع في اعتبارك سلسلة ذات طول لا نهائي على طول المحور x والتي يمكن تمديدها عرضيًا في اتجاه y .

بالنسبة لموجة توافقية تنتقل إلى اليمين على طول الوتر، فإن إزاحة الوتر في اتجاه y كدالة للموضع x والزمن t هي ^[10]

${\displaystyle y_{\text{R}}(x,t)=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right).}$

الإزاحة في اتجاه y لموجة توافقية متطابقة تسافر إلى اليسار هي

${\displaystyle y_{\text{L}}(x,t)=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right),}$

أين

• y _max هي سعة إزاحة الوتر لكل موجة،
• ω هو التردد الزاوي أو ما يعادله 2π مضروبًا في التردد f ،
• λ هو الطول الموجي للموجة.

بالنسبة للموجات المتطابقة التي تتحرك يمينًا ويسارًا على نفس الوتر، فإن الإزاحة الكلية للوتر تساوي مجموع y _R و y _L ،

${\displaystyle y(x,t)=y_{\text{R}}+y_{\text{L}}=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right)+y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right).}$

باستخدام هوية المجموع إلى الضرب المثلثية ، ${\displaystyle \sin a+\sin b=2\sin \left({a+b \over 2}\right)\cos \left({ab \over 2}\right)}$

${\displaystyle y(x,t)=2y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)\cos(\omega t).}$

( 1 )

لا تصف المعادلة ( 1 ) موجة متنقلة. في أي موضع، تتذبذب الموجة x و y ( x و t ) ببساطة في الوقت بسعة تتغير في اتجاه x مثل . ^[10] يصور الرسم المتحرك في بداية هذه المقالة ما يحدث. عندما تتداخل الموجة الزرقاء التي تتحرك إلى اليسار والموجة الخضراء التي تتحرك إلى اليمين، تشكلان الموجة الحمراء الثابتة التي لا تتحرك وبدلاً من ذلك تتذبذب في مكانها. ${\displaystyle 2y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)}$

نظرًا لأن الوتر بطول لا نهائي، فليس له شرط حدودي لإزاحته عند أي نقطة على طول المحور السيني . ونتيجة لذلك، يمكن أن تتشكل موجة واقفة عند أي تردد.

في المواقع على المحور السيني التي تكون مضاعفات زوجية لربع الطول الموجي،

${\displaystyle x=\ldots ,-{3\lambda \over 2},\;-\lambda ,\;-{\lambda \over 2},\;0,\;{\lambda \over 2},\;\lambda ,\;{3\lambda \over 2},\ldots }$

السعة دائمًا تساوي صفرًا. تسمى هذه المواقع بالعقد . في المواقع على المحور السيني التي تكون مضاعفات فردية لطول الموجة الربعية

${\displaystyle x=\ldots ,-{5\lambda \over 4},\;-{3\lambda \over 4},\;-{\lambda \over 4},\;{\lambda \over 4},\;{3\lambda \over 4},\;{5\lambda \over 4},\ldots }$

السعة هي الحد الأقصى، بقيمة ضعف سعة الموجات التي تنتقل إلى اليمين واليسار والتي تتداخل لإنتاج نمط الموجة الدائمة هذا. تسمى هذه المواقع بالعقد المضادة . المسافة بين عقدتين متتاليتين أو عقدتين مضادتين هي نصف الطول الموجي، λ / 2.

بعد ذلك، ضع في اعتبارك خيطًا بنهايات ثابتة عند x = 0 و x = L. سيكون للخيط بعض التخميد حيث يتم شده بواسطة موجات متنقلة، ولكن افترض أن التخميد صغير جدًا. افترض أنه عند الطرف الثابت x = 0 يتم تطبيق قوة جيبية تدفع الخيط لأعلى ولأسفل في اتجاه y بسعة صغيرة عند تردد معين f . في هذه الحالة، تنتج القوة الدافعة موجة تنتقل إلى اليمين. تنعكس هذه الموجة عن الطرف الثابت الأيمن وتنتقل مرة أخرى إلى اليسار، وتنعكس مرة أخرى عن الطرف الثابت الأيسر وتنتقل مرة أخرى إلى اليمين، وهكذا. في النهاية، يتم الوصول إلى حالة مستقرة حيث يكون للخيط موجات متطابقة تنتقل إلى اليمين واليسار كما في حالة الطول اللانهائي وتكون القوة المتبددة عن طريق التخميد في الخيط مساوية للقوة التي توفرها القوة الدافعة بحيث يكون للموجات سعة ثابتة.

لا تزال المعادلة ( 1 ) تصف نمط الموجة الدائمة الذي يمكن أن يتشكل على هذا الخيط، ولكن الآن تخضع المعادلة ( 1 ) لشروط حدودية حيث y = 0 عند x = 0 و x = L لأن الخيط ثابت عند x = L ولأننا نفترض أن القوة الدافعة عند الطرف الثابت x = 0 لها سعة صغيرة. عند التحقق من قيم y عند الطرفين،

${\displaystyle y(0,t)=0,}$

${\displaystyle y(L,t)=2y_{\text{max}}\sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)\cos(\omega t)=0.}$

يأتي هذا الشرط الحدودي في شكل صيغة ستورم-ليوفيل . يتم استيفاء الشرط الحدودي الأخير عندما يتم إعطاء L ، وبالتالي فإن الشرط الحدودي يقيد الطول الموجي للموجات المستقرة إلى ^[11]${\displaystyle \sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)=0}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},}$

( 2 )

${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$

لا يمكن للموجات أن تشكل موجات واقفة على هذا الوتر إلا إذا كان لها طول موجي يرضي هذه العلاقة مع L. إذا كانت الموجات تنتقل بسرعة v على طول الوتر، فإن تردد الموجات الواقفة يكون مقيدًا على نحو مكافئ بـ ^{[11] [12]}

${\displaystyle f={\frac {v}{\lambda }}={\frac {nv}{2L}}.}$

تتذبذب الموجة المستقرة ذات n = 1 عند التردد الأساسي ولها طول موجي يبلغ ضعف طول الوتر. تتوافق القيم الصحيحة الأعلى لـ n مع أنماط التذبذب المسماة التوافقيات أو التوافقيات العليا . سيكون لأي موجة مستقرة على الوتر n + 1 عقدة بما في ذلك الأطراف الثابتة و n عقدة مضادة.

لمقارنة عقد هذا المثال بوصف عقد الموجات المتوقفة في السلسلة ذات الطول اللانهائي، يمكن إعادة كتابة المعادلة ( 2 ) على النحو التالي:

${\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},}$

${\displaystyle n=2,4,6,\ldots }$

في هذا الاختلاف في تعبير الطول الموجي، يجب أن يكون n زوجيًا. من خلال الضرب المتبادل، نرى أنه نظرًا لأن L عبارة عن عقدة، فهي مضاعف زوجي لربع الطول الموجي،

${\displaystyle L={\frac {n\lambda }{4}},}$

${\displaystyle n=2,4,6,\ldots }$

يوضح هذا المثال نوعًا من الرنين ويمكن الإشارة إلى الترددات التي تنتج الموجات المستقرة باسم الترددات الرنانة . ^{[11] [13] [14]}

بعد ذلك، ضع في اعتبارك نفس الخيط بطول L ، ولكن هذه المرة يكون ثابتًا فقط عند x = 0. عند x = L ، يكون الخيط حرًا في الحركة في اتجاه y . على سبيل المثال، قد يكون الخيط مربوطًا عند x = L بحلقة يمكنها الانزلاق بحرية لأعلى ولأسفل عمود. مرة أخرى، يكون للخيط تخميد صغير ويتم تشغيله بواسطة قوة دافعة صغيرة عند x = 0 .

في هذه الحالة، لا تزال المعادلة ( 1 ) تصف نمط الموجة المستقرة التي يمكن أن تتكون على الوتر، ويكون للوتر نفس الشرط الحدودي y = 0 عند x = 0. ومع ذلك، عند x = L حيث يمكن للوتر أن يتحرك بحرية، يجب أن يكون هناك عقدة مضادة بسعة قصوى تبلغ y . وعلى نحو مكافئ، يمكن صياغة الشرط الحدودي لـ "النهاية الحرة" على النحو التالي ∂y/∂x = 0 عند x = L ، وهو في شكل صيغة ستورم-ليوفيل . والحدس لهذا الشرط الحدودي ∂y/∂x = 0 عند x = L هو أن حركة "النهاية الحرة" ستتبع حركة النقطة إلى يسارها.

بمراجعة المعادلة ( 1 )، بالنسبة إلى x = L، تحدث أكبر سعة لـ y عندما ∂y/∂x = 0 ، أو

${\displaystyle \cos \left({2\pi L \over \lambda }\right)=0.}$

يؤدي هذا إلى مجموعة مختلفة من الأطوال الموجية عن تلك الموجودة في مثال الطرفين الثابتين. هنا، يقتصر الطول الموجي للموجات المستقرة على

${\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,3,5,\ldots }$

وعلى نحو مماثل، يقتصر التردد على

${\displaystyle f={\frac {nv}{4L}}.}$

في هذا المثال، لا يأخذ n إلا قيمًا فردية. ولأن L عبارة عن عقدة مضادة، فهي مضاعف فردي لربع طول الموجة. وبالتالي، فإن الوضع الأساسي في هذا المثال له ربع دورة جيبية كاملة فقط - صفر عند x = 0 والذروة الأولى عند x = L - والتوافقية الأولى لها ثلاثة أرباع دورة جيبية كاملة، وهكذا.

يوضح هذا المثال أيضًا نوعًا من الرنين والترددات التي تنتج الموجات المتوقفة تسمى الترددات الرنانة .

فكر في موجة واقفة في أنبوب بطول L. يعمل الهواء داخل الأنبوب كوسيط للموجات الصوتية الطولية التي تنتقل إلى اليمين أو اليسار عبر الأنبوب. بينما تختلف الموجات المستعرضة على الخيط من الأمثلة السابقة في إزاحتها بشكل عمودي على اتجاه حركة الموجة، فإن الموجات التي تنتقل عبر الهواء في الأنبوب تختلف من حيث ضغطها وإزاحتها الطولية على طول اتجاه حركة الموجة. تنتشر الموجة عن طريق ضغط الهواء وتمدده بالتناوب في أجزاء من الأنبوب، مما يزيح الهواء قليلاً من موضع سكونه وينقل الطاقة إلى الأجزاء المجاورة من خلال القوى التي تمارسها ضغوط الهواء العالية والمنخفضة المتناوبة. ^[15] يمكن كتابة معادلات تشبه تلك الخاصة بالموجة على الخيط للتغير في الضغط Δ p بسبب موجة تنتقل إلى اليمين أو اليسار في الأنبوب.

${\displaystyle \Delta p_{\text{R}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right),}$

${\displaystyle \Delta p_{\text{L}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right),}$

أين

• p _max هي سعة الضغط أو أقصى زيادة أو نقصان في ضغط الهواء بسبب كل موجة،
• ω هو التردد الزاوي أو ما يعادله 2π مضروبًا في التردد f ،
• λ هو الطول الموجي للموجة.

إذا كانت الموجات المتطابقة التي تتحرك يمينًا ويسارًا تنتقل عبر الأنبوب، فإن التراكب الناتج يوصف بالمجموع

${\displaystyle \Delta p(x,t)=\Delta p_{\text{R}}(x,t)+\Delta p_{\text{L}}(x,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)\cos(\omega t).}$

هذه الصيغة للضغط لها نفس شكل المعادلة ( 1 )، وبالتالي تتشكل موجة ضغط ثابتة في الفضاء وتتذبذب في الزمن.

إذا كان نهاية الأنبوب مغلقة، يكون الضغط في أقصى حد له لأن النهاية المغلقة للأنبوب تمارس قوة تحد من حركة الهواء. وهذا يتوافق مع عقدة ضغط مضادة (وهي عقدة للحركات الجزيئية، لأن الجزيئات القريبة من النهاية المغلقة لا يمكنها التحرك). إذا كان نهاية الأنبوب مفتوحة، تكون تغيرات الضغط صغيرة جدًا، وهو ما يتوافق مع عقدة ضغط (وهي عقدة مضادة للحركات الجزيئية، لأن الجزيئات القريبة من النهاية المفتوحة يمكنها التحرك بحرية). ^{[16] [17]} إن الموقع الدقيق لعقدة الضغط عند النهاية المفتوحة هو في الواقع أبعد قليلاً من النهاية المفتوحة للأنبوب، وبالتالي فإن الطول الفعال للأنبوب لغرض تحديد الترددات الرنانة أطول قليلاً من طوله المادي. ^[18] يتم تجاهل هذا الاختلاف في الطول في هذا المثال. من حيث الانعكاسات، تعكس الأطراف المفتوحة جزئيًا الموجات مرة أخرى في الأنبوب، مما يسمح بإطلاق بعض الطاقة في الهواء الخارجي. من الناحية المثالية، تعكس الأطراف المغلقة الموجة بأكملها مرة أخرى في الاتجاه الآخر. ^{[18] [19]}

أولاً، ضع في اعتبارك أنبوبًا مفتوحًا من كلا الطرفين، على سبيل المثال أنبوب أورغن مفتوح أو مسجل . ونظرًا لأن الضغط يجب أن يكون صفرًا عند كلا الطرفين المفتوحين، فإن الشروط الحدودية تشبه الوتر ذي الطرفين الثابتين،

${\displaystyle \Delta p(0,t)=0,}$

${\displaystyle \Delta p(L,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)\cos(\omega t)=0,}$

والتي تحدث فقط عندما يكون طول موجة الموجات المستقرة ^[18]

${\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}$

أو ما يعادله عندما يكون التردد ^{[18] [20]}

${\displaystyle f={\frac {nv}{2L}},}$

حيث v هي سرعة الصوت .

بعد ذلك، ضع في اعتبارك أنبوبًا مفتوحًا عند x = 0 (وبالتالي له عقدة ضغط) ومغلقًا عند x = L (وبالتالي له عقدة ضغط مضادة). يمكن صياغة شرط حدود "النهاية الحرة" المغلقة للضغط عند x = L على النحو التالي ∂(Δp)/∂x = 0 ، وهو في شكل صيغة ستورم-ليوفيل . الحدس لهذا الشرط الحدودي ∂(Δp)/∂x = 0 عند x = L هو أن ضغط الطرف المغلق سيتبع ضغط النقطة الموجودة على يساره. تتضمن أمثلة هذا الإعداد زجاجة وكلارينيت . يحتوي هذا الأنبوب على شروط حدودية مماثلة للوتر ذي الطرف الثابت الوحيد. موجاته المستقرة لها أطوال موجية مقيدة بـ ^[18]

${\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,3,5,\ldots ,}$

أو على نحو مكافئ، يقتصر تردد الموجات المستقرة على ^{[21] [20]}

${\displaystyle f={\frac {nv}{4L}}.}$

في حالة إغلاق أحد الطرفين، فإن n يأخذ قيمًا فردية فقط كما في حالة السلسلة الثابتة في طرف واحد فقط.

حتى الآن، تمت كتابة الموجة من حيث ضغطها كدالة للموضع x والزمن. وبدلاً من ذلك، يمكن كتابة الموجة من حيث إزاحتها الطولية للهواء، حيث يتحرك الهواء في جزء من الأنبوب ذهابًا وإيابًا قليلاً في اتجاه x مع تغير الضغط وانتقال الموجات في أي من الاتجاهين أو كليهما. يرتبط التغير في الضغط Δ p والإزاحة الطولية s بـ ^[22]

${\displaystyle \Delta p=-\rho v^{2}{\frac {\partial s}{\partial x}},}$

حيث ρ هي كثافة الهواء. من حيث الإزاحة الطولية، تتوافق الأطراف المغلقة للأنابيب مع العقد لأن حركة الهواء مقيدة وتتوافق الأطراف المفتوحة مع العقد المضادة لأن الهواء حر في الحركة. ^{[18] [23]} تحدث ظاهرة مماثلة أسهل في التصور في الموجات الطولية المنتشرة على طول زنبرك. ^[24]

يمكننا أيضًا أن نفكر في أنبوب مغلق من كلا الطرفين. في هذه الحالة، سيكون كلا الطرفين عقد ضغط مضادة أو ما يعادله سيكون كلا الطرفين عقد إزاحة. هذا المثال مشابه للحالة التي يكون فيها كلا الطرفين مفتوحين، باستثناء أن نمط الموجة الدائمة له تحول طور π ⁄ 2 على طول اتجاه x لتحويل موقع العقد والعقد المضادة. على سبيل المثال، أطول طول موجي يتردد - الوضع الأساسي - هو مرة أخرى ضعف طول الأنبوب، باستثناء أن طرفي الأنبوب لديهما عقد ضغط مضادة بدلاً من عقد ضغط. بين الطرفين يوجد عقدة ضغط واحدة. في حالة وجود طرفين مغلقين، يقتصر الطول الموجي مرة أخرى على

${\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}$

ويتم تقييد التردد مرة أخرى إلى

${\displaystyle f={\frac {nv}{2L}}.}$

يوفر أنبوب روبنز طريقة لتصور التغيرات في ضغط الموجات المستقرة في أنبوب ذو طرفين مغلقين. ^[25]

بعد ذلك، ضع في اعتبارك الموجات المستعرضة التي يمكنها التحرك على طول سطح ثنائي الأبعاد داخل حدود مستطيلة بطول L _x في اتجاه x وطول L _y في اتجاه y . ومن أمثلة هذا النوع من الموجات موجات المياه في حوض سباحة أو موجات على ورقة مستطيلة تم شدها. تعمل الموجات على إزاحة السطح في اتجاه z ، حيث يتم تعريف z = 0 على أنه ارتفاع السطح عندما يكون ساكنًا.

في البعدين والإحداثيات الديكارتية، معادلة الموجة هي

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}\;=\;c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\right),}$

أين

• z ( x , y , t ) هو إزاحة السطح،
• ج هي سرعة الموجة.

لحل هذه المعادلة التفاضلية، دعنا أولاً نحلها باستخدام تحويل فورييه ، مع

${\displaystyle Z(x,y,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }z(x,y,t)e^{-i\omega t}dt.}$

باستخدام تحويل فورييه لمعادلة الموجة،

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}Z}{\partial y^{2}}}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}Z(x,y,\omega ).}$

هذه مشكلة قيمة ذاتية حيث تتوافق الترددات مع القيم الذاتية التي تتوافق بدورها مع الأوضاع أو الدوال الذاتية الخاصة بالتردد. على وجه التحديد، هذا هو شكل من أشكال معادلة هلمهولتز ويمكن حلها باستخدام فصل المتغيرات . ^[26] افترض

${\displaystyle Z=X(x)Y(y).}$

قسمة معادلة هلمهولتز على Z ،

${\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=0.}$

يؤدي هذا إلى معادلتين تفاضليتين عاديتين مقترنتين. يساوي الحد x ثابتًا بالنسبة إلى x والذي يمكننا تعريفه على أنه

${\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}=(ik_{x})^{2}.}$

حل لـ X ( x )،

${\displaystyle X(x)=A_{k_{x}}e^{ik_{x}x}+B_{k_{x}}e^{-ik_{x}x}.}$

هذا الاعتماد على x هو جيب تمام التمام - مما يذكرنا بصيغة أويلر - مع الثوابت A _{k x} و B _{k x} التي يتم تحديدها بواسطة الشروط الحدودية. وعلى نحو مماثل، فإن حد y يساوي ثابتًا بالنسبة إلى y والذي يمكننا تعريفه على أنه

${\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}=(ik_{y})^{2}=k_{x}^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}},}$

وبالتالي فإن علاقة التشتت لهذه الموجة هي

${\displaystyle \omega =c{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.}$

حل المعادلة التفاضلية لمصطلح y ،

${\displaystyle Y(y)=C_{k_{y}}e^{ik_{y}y}+D_{k_{y}}e^{-ik_{y}y}.}$

عند ضرب هذه الدوال معًا وتطبيق تحويل فورييه العكسي، فإن z ( x ، y ، t ) عبارة عن تراكب للأوضاع حيث يكون كل وضع هو حاصل ضرب الدوال الجيبية لـ x ، y ، و t ،

${\displaystyle z(x,y,t)\sim e^{\pm ik_{x}x}e^{\pm ik_{y}y}e^{\pm i\omega t}.}$

تعتمد الثوابت التي تحدد الدوال الجيبية الدقيقة على الشروط الحدودية والشروط الأولية. لمعرفة كيفية تطبيق الشروط الحدودية، ضع في اعتبارك مثالًا مثل الورقة التي تم شدها حيث يجب أن يكون z ( x ، y ، t ) صفرًا في جميع أنحاء الحد المستطيل. بالنسبة لاعتماد x ، يجب أن يتغير z ( x ، y ، t ) بطريقة يمكن أن تكون صفرًا عند كل من x = 0 و x = L _x لجميع قيم y و t . كما هو الحال في المثال أحادي البعد للخيط الثابت عند كلا الطرفين، فإن الدالة الجيبية التي تلبي شرط الحدود هذا هي

${\displaystyle \sin {k_{x}x},}$

مع k _x مقيد بـ

${\displaystyle k_{x}={\frac {n\pi }{L_{x}}},\quad n=1,2,3,\dots }$

وبالمثل، يجب أن يكون اعتماد y لـ z ( x ، y ، t ) صفرًا عند كل من y = 0 و y = L _y ، وهو ما يتحقق بواسطة

${\displaystyle \sin {k_{y}y},\quad k_{y}={\frac {m\pi }{L_{y}}},\quad m=1,2,3,\dots }$

يؤدي تقييد أرقام الموجات بهذه القيم أيضًا إلى تقييد الترددات التي تتردد عليها

${\displaystyle \omega =c\pi {\sqrt {\left({\frac {n}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {m}{L_{y}}}\right)^{2}}}.}$

إذا تم اختيار الشروط الأولية لـ z ( x ، y ، 0) ومشتقها الزمني ż ( x ، y ، 0) بحيث يكون الاعتماد على t عبارة عن دالة جيب التمام، فإن الموجات المستقرة لهذا النظام تأخذ الشكل

${\displaystyle z(x,y,t)=z_{\text{max}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {m\pi y}{L_{y}}}\right)\cos \left(\omega t\right).}$

${\displaystyle n=1,2,3,\dots \quad m=1,2,3,\dots }$

لذا، فإن الموجات المستقرة داخل هذه الحدود المستطيلة الثابتة تتذبذب في الوقت عند ترددات رنينية معينة معلمة بالأعداد الصحيحة n و m . وبينما تتذبذب في الوقت، فإنها لا تنتقل ويكون تغيرها المكاني جيبيًا في كل من اتجاهي x و y بحيث تلبي الشروط الحدودية. يحتوي الوضع الأساسي، n = 1 و m = 1 ، على عقدة انعكاسية واحدة في منتصف المستطيل. يؤدي تغيير n و m إلى أنماط ثنائية الأبعاد معقدة ولكن يمكن التنبؤ بها من العقد والعقد العكسية داخل المستطيل. ^[27]

من علاقة التشتت، في مواقف معينة، قد تتردد أوضاع مختلفة - أي مجموعات مختلفة من n و m - بنفس التردد حتى لو كانت لها أشكال مختلفة لاعتمادها على x و y . على سبيل المثال، إذا كان الحد مربعًا، L _x = L _y ، فإن الأوضاع n = 1 و m = 7 و n = 7 و m = 1 و n = 5 و m = 5 جميعها تتردد عند

${\displaystyle \omega ={\frac {c\pi }{L_{x}}}{\sqrt {50}}.}$

بتذكير أن ω تحدد القيمة الذاتية في معادلة هلمهولتز أعلاه، فإن عدد الأوضاع المقابلة لكل تردد يتعلق بتعدد التردد كقيمة ذاتية.

إذا لم تكن الموجتان المتحركتان المتعاكستان لهما نفس السعة، فلن يتم إلغاؤهما تمامًا عند العقد، وهي النقاط التي تكون فيها الموجتان خارج الطور بمقدار 180 درجة، وبالتالي فإن سعة الموجة المستقرة لن تكون صفرًا عند العقد، بل ستكون مجرد حد أدنى. نسبة الموجة المستقرة (SWR) هي نسبة السعة عند نظير العقدة (الحد الأقصى) إلى السعة عند العقدة (الحد الأدنى). سيكون للموجة المستقرة النقية نسبة موجة مستقرة لا نهائية. سيكون لها أيضًا طور ثابت عند أي نقطة في الفضاء (ولكن قد تخضع لانعكاس بمقدار 180 درجة كل نصف دورة). تشير نسبة الموجة المستقرة المحدودة غير الصفرية إلى موجة ثابتة جزئيًا ومتحركة جزئيًا. يمكن تحليل مثل هذه الموجات إلى تراكب من موجتين: مكون موجة متحركة ومكون موجة ثابتة. تشير نسبة الموجة المستقرة التي تبلغ واحدًا إلى أن الموجة ليس لها مكون ثابت - إنها موجة متحركة بحتة، لأن نسبة السعات تساوي 1. ^[28]

لا تنقل الموجة الدائمة النقية الطاقة من المصدر إلى الوجهة. ^[29] ومع ذلك، لا تزال الموجة عرضة للخسائر في الوسط. ستظهر مثل هذه الخسائر على هيئة نسبة موجة ثابتة محدودة، مما يشير إلى أن مكون الموجة المتنقلة يترك المصدر لتوفير الخسائر. على الرغم من أن نسبة الموجة الثابتة محدودة الآن، فقد لا تزال هناك حالة لا تصل فيها أي طاقة إلى الوجهة لأن المكون المتنقل يوفر الخسائر بشكل بحت. ومع ذلك، في وسط خالٍ من الخسائر، فإن نسبة الموجة الثابتة المحدودة تعني نقلًا محددًا للطاقة إلى الوجهة.

من الأمثلة السهلة لفهم الموجات الدائمة شخصان يهزان طرفي حبل القفز . إذا هزا الحبل بشكل متزامن، يمكن للحبل أن يشكل نمطًا منتظمًا من الموجات المتذبذبة لأعلى ولأسفل، مع نقاط ثابتة على طول الحبل حيث يكون الحبل ثابتًا تقريبًا (العقد) ونقاط حيث يكون قوس الحبل في أقصى حد (العقد العكسية).

تُلاحظ الموجات المستقرة أيضًا في الوسائط المادية مثل الأوتار وأعمدة الهواء. ستنعكس أي موجات تنتقل على طول الوسيط عندما تصل إلى النهاية. يُلاحظ هذا التأثير بشكل أكبر في الآلات الموسيقية حيث يتم إنشاء موجة مستقرة عند مضاعفات مختلفة من التردد الطبيعي لوتر مهتز أو عمود هواء ، مما يسمح بتحديد التوافقيات . تحدث العقد عند الأطراف الثابتة والعقد المضادة عند الأطراف المفتوحة. إذا تم تثبيتها عند طرف واحد فقط، فلن تتوفر سوى التوافقيات ذات الأرقام الفردية. في الطرف المفتوح للأنبوب، لن تكون العقدة المضادة في النهاية تمامًا حيث تتغير بسبب ملامستها للهواء، وبالتالي يتم استخدام تصحيح النهاية لوضعها بالضبط. تؤثر كثافة الوتر على التردد الذي سيتم إنتاج التوافقيات عنده؛ فكلما زادت الكثافة، كلما كان التردد أقل لإنتاج موجة مستقرة من نفس التوافقية.

تُلاحظ الموجات الموقوفة أيضًا في الوسائط البصرية مثل الموجهات الموجية البصرية والتجاويف البصرية . تستخدم الليزر تجاويف بصرية على شكل زوج من المرايا المتقابلة، والتي تشكل مقياس تداخل فابري بيرو . ينبعث من وسط الكسب في التجويف (مثل البلورة ) الضوء بشكل متماسك ، مما يثير موجات الضوء الموقوفة في التجويف. ^[32] الطول الموجي للضوء قصير جدًا (في نطاق النانومتر ، 10 ⁻⁹ م) لذا فإن الموجات الموقوفة مجهرية الحجم. أحد استخدامات موجات الضوء الموقوفة هو قياس المسافات الصغيرة، باستخدام المسطحات البصرية .

يمكن أن يشكل التداخل بين حزم الأشعة السينية مجال موجة ثابتة للأشعة السينية (XSW). ^[33] ونظرًا لقصر طول الموجة للأشعة السينية (أقل من 1 نانومتر)، يمكن استغلال هذه الظاهرة لقياس الأحداث على المستوى الذري على أسطح المواد . يتم إنشاء XSW في المنطقة التي يتداخل فيها شعاع الأشعة السينية مع شعاع منحرف من سطح بلورة واحدة مثالية تقريبًا أو انعكاس من مرآة الأشعة السينية . من خلال ضبط هندسة البلورة أو طول موجة الأشعة السينية، يمكن ترجمة XSW في الفضاء، مما يتسبب في حدوث تحول في فلورسنت الأشعة السينية أو إنتاج الإلكترونات الضوئية من الذرات بالقرب من السطح. يمكن تحليل هذا التحول لتحديد موقع نوع ذري معين بالنسبة للبنية البلورية الأساسية أو سطح المرآة. تم استخدام طريقة XSW لتوضيح تفاصيل المقياس الذري للمنشطات في أشباه الموصلات، ^[34] والامتصاص الذري والجزيئي على الأسطح، ^[35] والتحولات الكيميائية المشاركة في التحفيز . ^[36]

يمكن إحداث الموجات المستقرة ميكانيكيًا في وسط صلب باستخدام الرنين. أحد الأمثلة السهلة الفهم هو شخصان يهزان طرفي حبل القفز. إذا هزا الحبل بشكل متزامن، فسيشكل الحبل نمطًا منتظمًا مع العقد والعقد المضادة ويبدو أنه ثابت، ومن هنا جاء اسم الموجة المستقرة. وبالمثل، يمكن فرض موجة مستقرة على شعاع الكابولي من خلال تطبيق إثارة قاعدية. في هذه الحالة، يتحرك الطرف الحر لمسافة أكبر جانبيًا مقارنة بأي مكان على طول الشعاع. يمكن استخدام مثل هذا الجهاز كمستشعر لتتبع التغييرات في التردد أو طور رنين الألياف. أحد التطبيقات هو جهاز قياس لقياس الأبعاد . ^{[37] [38]}

تتم ملاحظة الموجات السطحية الدائمة على الأرض على أنها تذبذبات حرة للأرض .

موجة فاراداي هي موجة ثابتة غير خطية عند واجهة الهواء والسائل ناتجة عن عدم الاستقرار الهيدروديناميكي. ويمكن استخدامها كقالب قائم على السائل لتجميع المواد المجهرية. ^[39]

الموجة السايشية هي مثال للموجة الدائمة في مسطح مائي مغلق. تتميز بالسلوك التذبذبي لمستوى الماء عند طرفي الجسم وعادةً ما يكون لها نقطة عقدية بالقرب من منتصف الجسم حيث يُلاحظ تغير ضئيل جدًا في مستوى الماء. يجب تمييزها عن عاصفة بسيطة حيث لا يوجد تذبذب. في البحيرات الكبيرة، قد تكون فترة مثل هذه التذبذبات بين دقائق وساعات، على سبيل المثال، تبلغ الفترة الطولية لبحيرة جنيف 73 دقيقة ويبلغ طول الموجة السايشية العرضية حوالي 10 دقائق، ^[40] بينما يمكن رؤية بحيرة هورون وهي تحتوي على رنينات بفترات تتراوح بين ساعة وساعتين. ^[41] انظر بحيرة السايشية . ^{[42] [43] [44]}

• هاليداي، ديفيد؛ ريسنيك، روبرت؛ ووكر، جيرل (2005). أساسيات الفيزياء (الطبعة السابعة). جون وايلي وأولاده. رقم ISBN 0-471-42959-7.
• Serway, Raymond A.; Faughn, Jerry S. (1992). College Physics (الطبعة الثالثة). Saunders College Publishing. ISBN 0-03-076377-0.
• ستريتس، ​​ج. (2010). "الفصل 16 - التراكب والموجات المستقرة" (PDF) . قسم الفيزياء. PHYS122 أساسيات الفيزياء الثانية. جامعة ماريلاند . تم الاسترجاع في 23 أغسطس 2020 .

• الوسائط المتعلقة بالأمواج الدائمة في ويكيميديا ​​كومنز