نظرية بريانشون

في الهندسة ، تنص نظرية بريانشون على أنه عندما يُحاط شكل سداسي بقطاع مخروطي ، فإن أقطاره الرئيسية (التي تصل بين الرؤوس المتقابلة) تلتقي في نقطة واحدة. وقد سُميت هذه النظرية نسبةً إلى تشارلز جوليان بريانشون (1783-1864).

ليكن P1P2P3P4P5P6 سداسيًا مُشكَّلًا _من ستة _خطوط مماسية لقطع مخروطي . _{عندئذٍ ،} تتقاطع الخطوط P1P4 _و P2P5 _و P3P6 ( ^{الأقطار} _{الممتدة التي} يصل ^كل منها بين ^رأسين _{متقابلين} ) في نقطة واحدة B ، _وهي نقطة _{بريانشون} . ^[ _{1 ]} ^{: ص} 218 ^{[ 2} ]

تعطي المقلوبة القطبية والمزدوجة الإسقاطية لهذه النظرية نظرية باسكال .

أما بالنسبة لنظرية باسكال، فتوجد حالات متدهورة لنظرية بريانشون أيضًا: إذا تطابق مماسان متجاوران، فإن نقطة تقاطعهما تصبح نقطة على القطع المخروطي. في الرسم التوضيحي، تتطابق ثلاثة أزواج من المماسات المتجاورة. ينتج عن هذه العملية بيانٌ حول _القطع الناقص _{للمثلثات . من وجهة نظر} إسقاطية _، يقع المثلثان P1P3P5 و P2P4P6 منظورياً حول مركزهما B. _{هذا يعني وجود استقامة مركزية ، تُسقط أحد المثلثين على الآخر. ولكن في حالات خاصة فقط تكون هذه الاستقامة عبارة عن تحجيم} أفيني . على سبيل المثال ، بالنسبة لقطع ناقص شتاينر ، حيث تكون نقطة بريانشون هي المركز.

تُعدّ نظرية بريانشون صحيحة في كلٍّ من المستوى الأفيني والمستوى الإسقاطي الحقيقي . مع ذلك، فإنّ صياغتها في المستوى الأفيني أقلّ وضوحًا وأكثر تعقيدًا من صياغتها في المستوى الإسقاطي . لنأخذ، على سبيل المثال، خمسة خطوط مماسية لقطع مكافئ . يمكن اعتبار هذه الخطوط أضلاعًا لسداسيٍّ يكون ضلعه السادس هو الخطّ عند اللانهاية ، ولكن لا يوجد خطٌّ عند اللانهاية في المستوى الأفيني. في حالتين، سيكون الخطّ الواصل بين رأسٍ (غير موجود) والرأس المقابل له خطًّا موازيًا لأحد الخطوط المماسّة الخمسة. لذا، فإنّ صياغة نظرية بريانشون، المُصاغة فقط للمستوى الأفيني، ستختلف في مثل هذه الحالة.

يحتوي الثنائي الإسقاطي لنظرية بريانشون على استثناءات في المستوى الأفيني ولكن ليس في المستوى الإسقاطي.

يمكن إثبات نظرية بريانشون باستخدام مفهوم المحور الجذري أو التبادل. لإثباتها، نأخذ طولًا عشوائيًا ( MN ) ونمدّه على المماسات بدءًا من نقاط التماس: PL = RJ = QH = MN، وهكذا. نرسم دوائر a و b و c مماسة للأضلاع المتقابلة للسداسي عند النقاط ( H , W ) و ( J , V ) و ( L , Y ) على التوالي. نلاحظ بسهولة أن الخطوط المتلاقية تتطابق مع المحاور الجذرية ab و bc و ca على التوالي للدوائر الثلاث المأخوذة في أزواج. بالتالي، تتطابق النقطة O مع المركز الجذري لهذه الدوائر الثلاث.

تتخذ النظرية أشكالاً خاصة في حالة الخماسيات المحيطة، على سبيل المثال عندما تميل النقطتان R و Q إلى التطابق مع النقطة F ، وهي حالة يتحول فيها AFE إلى المماس عند F. ثم، بأخذ تعريف مماثل للنقاط T و C و U ، نحصل على نظرية مماثلة للأشكال الرباعية.

• نظرية الدوائر السبع
• نظرية باسكال