المستوى الإسقاطي الحقيقي

في الرياضيات ، المستوى الإسقاطي الحقيقي هو فضاء إسقاطي ثنائي الأبعاد ، يشبه المستوى الإقليدي المألوف في كثير من النواحي ولكن بدون مفاهيم المسافة أو الدوائر أو قياس الزاوية أو التوازي . إنه الإعداد للهندسة الإسقاطية المستوية ، حيث لا يُنظر إلى العلاقات بين الأشياء على أنها تتغير في ظل التحويلات الإسقاطية . يأتي اسم الإسقاط من الرسم المنظوري : إسقاط صورة من مستوى واحد على آخر كما يُنظر إليها من نقطة خارج أي من المستويين، على سبيل المثال عن طريق تصوير لوحة مسطحة من زاوية مائلة ، هو تحويل إسقاطي.

الأشياء الأساسية في المستوى الإسقاطي هي النقاط والخطوط المستقيمة ، وكما هو الحال في الهندسة الإقليدية ، فإن كل زوج من النقاط يحدد خطًا فريدًا يمر عبرهما، ولكن على عكس الحالة الإقليدية في الهندسة الإسقاطية، يحدد كل زوج من الخطوط أيضًا نقطة فريدة عند تقاطعهما (في الهندسة الإقليدية، لا تتقاطع الخطوط المتوازية أبدًا). ​​في السياقات التي لا يوجد فيها غموض، يُطلق عليه ببساطة المستوى الإسقاطي ؛ تتم إضافة المؤهل "حقيقي" لتمييزه عن المستويات الإسقاطية الأخرى مثل المستوى الإسقاطي المعقد والمستويات الإسقاطية المحدودة .

أحد النماذج الشائعة للمستوى الإسقاطي الحقيقي هو مساحة الخطوط في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد والتي تمر عبر نقطة أصل معينة ؛ في هذا النموذج، تعتبر الخطوط التي تمر عبر الأصل "نقاطًا" للمستوى الإسقاطي، وتعتبر المستويات التي تمر عبر الأصل "خطوطًا" في المستوى الإسقاطي. يمكن تصوير هذه النقاط والخطوط الإسقاطية في بعدين من خلال تقاطعها مع أي مستوى عشوائي لا يمر عبر الأصل؛ ثم يُطلق على المستوى الموازي الذي يمر عبر الأصل ("خط" إسقاطي) الخط عند اللانهاية . (انظر § إحداثيات متجانسة أدناه.)

المضلع الأساسي للمستوى الإسقاطي - يتم تحديد A مع A ويتم تحديد B مع B، كل منهما مع التواء

شريط موبيوس - بسبب الالتواء بين الجانبين الأحمرين المحددين للمربع، فإن الخط المنقط هو حافة واحدة

في الطوبولوجيا ، يُطلق اسم المستوى الإسقاطي الحقيقي على أي سطح يعادل طوبولوجيًا المستوى الإسقاطي الحقيقي. طوبولوجيًا، المستوى الإسقاطي الحقيقي مضغوط وغير قابل للتوجيه (أحادي الجانب). لا يمكن تضمينه في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد دون تقاطعه مع نفسه. له خاصية أويلر 1، وبالتالي فإن نصف الجنس (جنس غير قابل للتوجيه، جنس أويلر) يساوي 1.

يمكن إنشاء المستوى الإسقاطي الحقيقي الطوبولوجي عن طريق أخذ الحافة (المفردة) لشريط موبيوس ولصقها بنفسها في الاتجاه الصحيح، أو عن طريق لصق الحافة بقرص . وبدلاً من ذلك، يمكن إنشاء المستوى الإسقاطي الحقيقي عن طريق تحديد كل زوج من الأضلاع المتقابلة للمربع، ولكن في اتجاهين متعاكسين، كما هو موضح في الرسم التخطيطي. (يؤدي إجراء أي من هذه العمليات في الفضاء ثلاثي الأبعاد إلى تقاطع السطح مع نفسه.)

لا تتعلق الهندسة الإسقاطية بالضرورة بالانحناء، وقد يكون المستوى الإسقاطي الحقيقي ملتويًا لأعلى وموضعًا في المستوى الإقليدي أو الفضاء ثلاثي الأبعاد بعدة طرق مختلفة. ^[1] يتم وصف بعض الأمثلة الأكثر أهمية أدناه.

لا يمكن تضمين المستوى الإسقاطي (أي بدون تقاطع) في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد. والدليل على أن المستوى الإسقاطي لا يتم تضمينه في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد يسير على النحو التالي: بافتراض أنه يتم تضمينه، فإنه سيحدد منطقة مضغوطة في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد بواسطة نظرية منحنى جوردان المعممة . ثم يعطي حقل متجه الوحدة العمودي الموجه للخارج اتجاهًا لمتعدد الشعب الحدودي، ولكن متعدد الشعب الحدودي سيكون المستوى الإسقاطي ، وهو غير قابل للتوجيه. وهذا تناقض، وبالتالي فإن افتراضنا بأنه يتم تضمينه يجب أن يكون خاطئًا.

لنفترض وجود كرة ، ولنفترض أن الدوائر العظمى للكرة هي "خطوط"، ولنفترض أن أزواج النقاط المتقابلة هي "نقاط". ومن السهل التحقق من أن هذا النظام يطيع البديهيات المطلوبة في المستوى الإسقاطي :

• أي زوج من الدوائر العظمى المميزة يلتقيان عند زوج من النقاط المتقابلة؛ و
• أي زوجين متميزين من النقاط المتقابلة يقعان على دائرة عظمى واحدة.

إذا حددنا كل نقطة على الكرة بنقطتها المقابلة، فسنحصل على تمثيل للمستوى الإسقاطي الحقيقي حيث تكون "نقاط" المستوى الإسقاطي نقاطًا بالفعل. وهذا يعني أن المستوى الإسقاطي هو مساحة القسمة للكرة التي تم الحصول عليها عن طريق تقسيم الكرة إلى فئات تكافؤ بموجب علاقة التكافؤ ~، حيث x ~ y إذا كانت y = x أو y = − x . مساحة القسمة للكرة متجانسة مع مجموعة جميع الخطوط التي تمر عبر الأصل في R ³ .

إن خريطة الحاصل من الكرة إلى المستوى الإسقاطي الحقيقي هي في الواقع خريطة تغطية ذات صفحتين (أي بنسبة اثنين إلى واحد) . ويترتب على ذلك أن المجموعة الأساسية للمستوى الإسقاطي الحقيقي هي المجموعة الدورية من الدرجة 2؛ أي الأعداد الصحيحة modulo 2. ويمكننا أن نعتبر الحلقة AB من الشكل أعلاه هي المولد.

نظرًا لأن الكرة تغطي المستوى الإسقاطي الحقيقي مرتين، فمن الممكن تمثيل المستوى على شكل نصف كرة مغلق يتم تحديد النقاط المقابلة حول حافته. ^[2]

يمكن غمر المستوى الإسقاطي (لا تحتوي المناطق المجاورة المحلية لمساحة المصدر على تقاطعات ذاتية) في مساحة ثلاثية الأبعاد. سطح الصبي هو مثال على الغمر.

يجب أن تحتوي الأمثلة المتعددة السطوح على تسعة وجوه على الأقل. ^[3]

تعتبر سطح شتاينر الروماني خريطة أكثر تدهورًا للمستوى الإسقاطي في الفضاء ثلاثي الأبعاد، وتحتوي على غطاء متقاطع .

التمثيل متعدد السطوح هو رباعي السطوح السداسي ، ^[4] والذي له نفس الشكل العام لسطح شتاينر الروماني، والذي يظهر هنا.

عند النظر في الاتجاه المعاكس، يمكن إنشاء بعض متعددات السطوح المنتظمة المجردة - نصف المكعب ونصف الاثنا عشري الوجوه ونصف العشريني الوجوه - كأشكال منتظمة في المستوى الإسقاطي؛ انظر أيضًا متعددات السطوح الإسقاطية .

تم وصف إسقاطات أو خرائط مستوية مختلفة للمستوى الإسقاطي. في عام 1874 وصف كلاين التعيين: ^[1]

${\displaystyle k(x,y)=\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{\frac {1}{2}}{\binom {x}{y}}}$

يؤدي الإسقاط المركزي لنصف الكرة الإسقاطية على المستوى إلى إنتاج المستوى الإسقاطي اللانهائي المعتاد، والذي سيتم وصفه أدناه.

يتم الحصول على سطح مغلق عن طريق لصق قرص بغطاء متقاطع . يمكن تمثيل هذا السطح بشكل معياري بالمعادلات التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}X(u,v)&=r\,(1+\cos v)\,\cos u,\\Y(u,v)&=r\,(1+\cos v)\,\sin u,\\Z(u,v)&=-\operatorname {tanh} \left(u-\pi \right)\,r\,\sin v,\end{aligned}}}$

حيث يتراوح كل من u و v من 0 إلى 2 π .

هذه المعادلات تشبه معادلات الطور . يوضح الشكل 1 قرصًا مغلقًا مغطى بغطاء متقاطع.

الشكل 1. منظران لقرص متقاطع.

يحتوي القرص ذو القمة المتقاطعة على مستوى تماثل يمر عبر قطعته المستقيمة المكونة من نقطتين. في الشكل 1، يمكن رؤية القرص ذو القمة المتقاطعة من أعلى مستوى تماثله z = 0، لكنه سيبدو بنفس الشكل إذا تم رؤيته من الأسفل.

يمكن قطع قرص متقاطع على طول مستوى تماثله، مع التأكد من عدم قطع أي من نقاطه المزدوجة. وتظهر النتيجة في الشكل 2.

الشكل 2. منظران لقرص متقاطع الغطاء تم تقطيعه وفتحه.

بمجرد إجراء هذا الاستثناء، سيُرى أن القرص المقطوع المتقاطع يشبه القرص المتقاطع ذاتيًا، كما هو موضح في الشكل 3.

الشكل 3. وجهتا نظر بديلتان لقرص متقاطع ذاتيًا.

القرص المتقاطع ذاتيًا يشبه القرص العادي. المعادلات البارامترية للقرص المتقاطع ذاتيًا هي:

${\displaystyle {\begin{aligned}X(u,v)&=r\,v\,\cos 2u,\\Y(u,v)&=r\,v\,\sin 2u,\\Z(u,v)&=r\,v\,\cos u,\end{aligned}}}$

حيث يتراوح u من 0 إلى 2π ويتراوح v من 0 إلى 1.

عند إسقاط القرص المتقاطع ذاتيًا على مستوى التناظر ( z = 0 في المعلمة المعطاة سابقًا) والذي يمر فقط عبر النقاط المزدوجة، تكون النتيجة قرصًا عاديًا يكرر نفسه (يتضاعف على نفسه).

يقطع المستوى z = 0 القرص المتقاطع ذاتيًا إلى زوج من الأقراص التي تكون انعكاسات مرآوية لبعضها البعض. يكون مركز الأقراص عند نقطة الأصل .

الآن، لننظر إلى حواف الأقراص (حيث v = 1). تأتي النقاط الموجودة على حافة القرص المتقاطع ذاتيًا في أزواج تمثل انعكاسات لبعضها البعض بالنسبة إلى المستوى z = 0.

يتم تشكيل قرص متقاطع الغطاء من خلال تحديد أزواج النقاط هذه، مما يجعلها متكافئة مع بعضها البعض. وهذا يعني أن النقطة ذات المعلمات ( u ، 1) والإحداثيات يتم تحديدها بالنقطة ( u + π، 1) التي إحداثياتها هي . ولكن هذا يعني أن أزواج النقاط المتقابلة على حافة القرص العادي (المكافئ) يتم تحديدها مع بعضها البعض؛ وهذه هي الطريقة التي يتم بها تشكيل مستوى إسقاطي حقيقي من قرص. وبالتالي، فإن السطح الموضح في الشكل 1 (الغطاء المتقاطع مع القرص) مكافئ طوبولوجيًا للمستوى الإسقاطي الحقيقي RP ² . ${\displaystyle (r\,\cos 2u,r\,\sin 2u,r\,\cos u)}$${\displaystyle (r\,\cos 2u,r\,\sin 2u,-r\,\cos u)}$

يمكن تمثيل النقاط في المستوى بإحداثيات متجانسة . تحتوي النقطة على إحداثيات متجانسة [ x  :  y  :  z ]، حيث تعتبر الإحداثيات [ x  :  y  :  z ] و [ tx  :  ty  :  tz ] بمثابة تمثيل لنفس النقطة، لجميع القيم غير الصفرية لـ t . النقاط ذات الإحداثيات [ x  :  y : 1] هي المستوى الحقيقي  المعتاد ، والذي يسمى الجزء المحدود من المستوى الإسقاطي، والنقاط ذات الإحداثيات [ x  :  y  : 0]، والتي تسمى نقاط عند اللانهاية أو النقاط المثالية ، تشكل خطًا يسمى الخط عند اللانهاية . (الإحداثيات المتجانسة [0 : 0 : 0] لا تمثل أي نقطة.)

يمكن أيضًا تمثيل الخطوط في المستوى بإحداثيات متجانسة. يحتوي الخط الإسقاطي المقابل للمستوى ax + by + cz = 0 في R ³ على إحداثيات متجانسة ( a  :  b  :  c ). وبالتالي، فإن هذه الإحداثيات لها علاقة التكافؤ ( a  :  b  :  c ) = ( da  :  db  :  dc ) لجميع القيم غير الصفرية لـ d . ومن ثم فإن معادلة مختلفة لنفس الخط dax  +  dby  +  dcz  = 0 تعطي نفس الإحداثيات المتجانسة. تقع النقطة [ x  :  y  :  z ] على خط ( a  :  b  :  c ) إذا كان ax  +  by  +  cz  = 0. وبالتالي، فإن الخطوط ذات الإحداثيات ( a  :  b  :  c ) حيث لا يساوي كل من a و  b 0 تتوافق مع الخطوط في المستوى الحقيقي المعتاد ، لأنها تحتوي على نقاط ليست في اللانهاية. الخط ذو الإحداثيات (0 : 0 : 1) هو الخط في اللانهاية، حيث أن النقاط الوحيدة عليه هي تلك التي يكون فيها  z  = 0.

يمكن تمثيل الخط في P ² بالمعادلة ax + by + cz = 0. إذا تعاملنا مع a و b و c كمتجه عمودي ℓ و x و y و z كمتجه عمودي x، فيمكن كتابة المعادلة أعلاه في شكل مصفوفة على النحو التالي:

x ^T ℓ = 0 أو ℓ ^T x = 0.

باستخدام تدوين المتجه يمكننا بدلاً من ذلك كتابة x ⋅ ℓ = 0 أو ℓ ⋅ x = 0.

المعادلة k ( x ^T ℓ ) = 0 (حيث k هو عدد قياسي غير صفري) تمسح مستوًى يمر عبر الصفر في R ³ وتمسح k ( x ) خطًا، يمر مرة أخرى عبر الصفر. المستوى والخط عبارة عن فضاءات فرعية خطية في R ³ ، والتي تمر دائمًا عبر الصفر.

في P ² معادلة الخط هي ax + by + cz = 0 ويمكن لهذه المعادلة تمثيل خط على أي مستوى موازٍ لمستوى x و y عن طريق ضرب المعادلة في k .

إذا كانت z = 1 ، فلدينا إحداثيات متجانسة طبيعية. وكل النقاط التي تكون z = 1 فيها تشكل مستوى. ولنفترض أننا ننظر إلى هذا المستوى (من موضع أبعد على طول المحور z وننظر إلى الخلف باتجاه الأصل) وهناك خطان متوازيان مرسومان على المستوى. ومن حيث نقف (بالنظر إلى قدراتنا البصرية)، لا يمكننا أن نرى سوى جزء محدود من المستوى، والذي نمثله بالمنطقة المحددة باللون الأحمر في الرسم التخطيطي. وإذا ابتعدنا عن المستوى على طول المحور z (مع الاستمرار في النظر إلى الخلف باتجاه الأصل)، فيمكننا أن نرى المزيد من المستوى. وفي مجال رؤيتنا، تكون النقاط الأصلية قد تحركت. ويمكننا أن نعكس هذه الحركة بقسمة الإحداثيات المتجانسة على ثابت. وفي الصورة المجاورة، قمنا بالقسمة على 2، وبالتالي تصبح قيمة z الآن 0.5. وإذا ابتعدنا بما يكفي، فإن ما ننظر إليه يصبح نقطة في المسافة. وكلما ابتعدنا، نرى المزيد والمزيد من الخطوط المتوازية. سوف تلتقي الخطوط عند خط في اللانهاية (خط يمر عبر الصفر على المستوى عند z = 0 ). الخطوط على المستوى عندما تكون z = 0 هي نقاط مثالية. المستوى عند z = 0 هو الخط عند اللانهاية.

النقطة المتجانسة (0، 0، 0) هي المكان الذي تذهب إليه جميع النقاط الحقيقية عندما تنظر إلى المستوى من مسافة لا نهائية، والخط الموجود على المستوى z = 0 هو المكان الذي تتقاطع فيه الخطوط المتوازية.

في المعادلة x ^T ℓ = 0 يوجد متجهان عموديان . يمكنك إبقاء أي منهما ثابتًا وتغيير الآخر. إذا أبقينا النقطة x ثابتة وغيرنا المعاملات ℓ، فإننا ننشئ خطوطًا جديدة تمر عبر النقطة. إذا أبقينا المعاملات ثابتة وغيرنا النقاط التي تحقق المعادلة، فإننا ننشئ خطًا. ننظر إلى x كنقطة، لأن المحاور التي نستخدمها هي x و y و z . إذا رسمنا المعاملات بدلاً من ذلك باستخدام المحاور المميزة بـ a و b و c ، فستصبح النقاط خطوطًا وستصبح الخطوط نقاطًا. إذا أثبتت شيئًا ما باستخدام البيانات المرسومة على المحور المميز بـ x و y و z ، فيمكن استخدام نفس الحجة للبيانات المرسومة على المحور المميز بـ a و b و c . هذه هي الثنائية.

تحسب المعادلة x ^T ℓ = 0 حاصل الضرب الداخلي لمتجهين عموديين. يكون حاصل الضرب الداخلي لمتجهين صفرًا إذا كان المتجهان متعامدين . في P ² ، يمكن تمثيل الخط بين النقطتين x ₁ و x ₂ كمتجه عمودي ℓ يلبي المعادلتين x ₁ ^T ℓ = 0 و x ₂ ^T ℓ = 0 ، أو بعبارة أخرى متجه عمودي ℓ متعامد على x ₁ و x _2. سيجد حاصل الضرب الاتجاهي مثل هذا المتجه: يكون للخط الواصل بين نقطتين إحداثيات متجانسة تعطى بواسطة المعادلة x 1 × _x 2. يمكن _إيجاد تقاطع خطين بنفس الطريقة، باستخدام الثنائية، مثل حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين اللذين يمثلان الخطوط، ℓ ₁ × ℓ ₂ .

تدرج المستوى الإسقاطي في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد. المستوى الإسقاطي الحقيقي P ² ( R ) هو حاصل قسمة الكرتين

س ² = {( س ، ص ، ض ) ∈ ر ³  : س ² + ص ² + ض ² = 1}

بالعلاقة المتقابلة ( x , y , z ) ~ (− x , − y , − z ) . ضع في اعتبارك الدالة R ³ → R ⁴ المعطاة بواسطة ( x , y , z ) ↦ ( xy , xz , y ² − z ² , 2 yz ) . تقتصر هذه الخريطة على خريطة مجالها S ² ، ونظرًا لأن كل مكون عبارة عن حدود متجانسة من الدرجة الزوجية، فإنها تأخذ نفس القيم في R ⁴ على كل من أي نقطتين متقابلتين على S ^2. وهذا ينتج عنه خريطة P ² ( R ) → R ^4. علاوة على ذلك، فإن هذه الخريطة عبارة عن تضمين. لاحظ أن هذا التضمين يسمح بإسقاط في R ³ وهو السطح الروماني .

من خلال لصق المستويات الإسقاطية معًا على التوالي، نحصل على أسطح غير قابلة للتوجيه من نوع أعلى . تتكون عملية اللصق من قطع قرص صغير من كل سطح وتحديد ( لصق ) دوائر حدوده. يؤدي لصق مستويين إسقاطيين إلى إنشاء زجاجة كلاين .

تتناول المقالة الخاصة بالمضلع الأساسي الأسطح غير القابلة للتوجيه الأعلى.

• الفضاء الإسقاطي الحقيقي
• الفضاء الإسقاطي
• متباينة بو للمستوى الإسقاطي الحقيقي
• مستوى إسقاطي سلس