قطع ناقص شتاينر

في الهندسة ، يُعرف القطع الناقص الداخلي لشتاينر ^{[ 1 ]} ، أو القطع الناقص الداخلي لنقطة المنتصف ، أو القطع الناقص لنقطة المنتصف للمثلث، بأنه القطع الناقص الوحيد المرسوم داخل المثلث والمماس لأضلاعه عند منتصفاتها . وهو مثال على القطع الناقص الداخلي . وبالمقارنة، فإن الدائرة المرسومة داخل المثلث والقطع الناقص الداخلي لماندارت هما نوعان آخران من القطع الناقص الداخلي التي تمس أضلاع المثلث، ولكن ليس عند منتصفاتها إلا إذا كان المثلث متساوي الأضلاع . وقد نسب دوري ^{[ 2 ]} القطع الناقص الداخلي لشتاينر إلى جاكوب شتاينر ، وقدم دان كالمان برهانًا على فرادته. ^{[ 3 ]}

يتناقض القطع الناقص الداخلي لشتاينر مع القطع الناقص المحيطي لشتاينر ، والذي يسمى أيضًا ببساطة القطع الناقص لشتاينر، وهو القطع الناقص الفريد الذي يمر عبر رؤوس مثلث معين ويكون مركزه هو مركز المثلث . ^{[ 4 ]}

تعريف

القطع الناقص الذي يمس أضلاع المثلث △ ABC عند منتصفاتها${\displaystyle M_{1},M_{2},M_{3}}$يُطلق عليه اسم القطع الناقص لستاينر للمثلث ABC .

الخصائص: بالنسبة للمثلث △ ABC ذي نقاط المنتصف${\displaystyle M_{1},M_{2},M_{3}}$إذا كان أحد أضلاع المثلث ABC يحتوي على أحد أضلاعه، فإن العبارات التالية صحيحة: أ) يوجد قطع ناقص شتاينر واحد فقط. ب) مركز قطع ناقص شتاينر هو مركز ثقل المثلث ABC . ج) المثلث${\displaystyle \triangle M_{1}M_{2}M_{3}}$له نفس المركز S، والقطع الناقص الداخلي لستاينر للمثلث ABC هو القطع الناقص لستاينر للمثلث${\displaystyle \triangle M_{1}M_{2}M_{3}.}$ ج٢) القطع الناقص الداخلي لستاينر للمثلث هو القطع الناقص لستاينر المُكبَّر بمعامل تكبير ١/٢ ومركزه هو المركز. لذا، فإن كلا القطعين الناقصين لهما نفس الاختلاف المركزي ، وهما متشابهان . د) مساحة القطع الناقص الداخلي لستاينر هي${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$- ضعف مساحة المثلث. هـ) يتميز القطع الناقص شتاينر بأكبر مساحة بين جميع القطع الناقصة للمثلث. ^{[ 5 ] : ص 146 [ 6 ] : النتيجة 4.2}

دليل

تستند براهين الخصائص أ، ب، ج) إلى الخصائص التالية للتحويل الأفيني: 1) يمكن اعتبار أي مثلث صورة أفينية لمثلث متساوي الأضلاع. 2) تُسقط منتصفات الأضلاع على منتصفات أخرى، وتُسقط مراكز القطع الناقص على مراكز القطع الناقص. يُسقط مركز القطع الناقص على مركز صورته. لذا، يكفي لإثبات الخصائص أ، ب، ج) للمثلث متساوي الأضلاع ما يلي: أ) يوجد دائرة داخلية لأي مثلث متساوي الأضلاع، وهي تلامس الأضلاع عند منتصفاتها. لا يوجد قطع مخروطي آخر (غير منحل) له نفس الخصائص، لأن القطع المخروطي يُحدد بخمس نقاط/مماسات. ب) عن طريق حساب بسيط. ج) تُسقط الدائرة المحيطة بالدائرة الداخلية عن طريق تغيير المقياس، بمعامل 1/2 ومركز القطع الناقص، على الدائرة الداخلية. الاختلاف المركزي ثابت. د) نسبة المساحات ثابتة في التحويلات الأفينية. لذا يمكن حساب النسبة للمثلث متساوي الأضلاع. هـ) انظر القطع الناقص الداخلي .

التمثيل البارامتري:

• لأن القطع الناقص الداخلي لستاينر للمثلث △ ABC هو قطع ناقص لستاينر مُقاس (معامل 1/2، المركز هو مركز الثقل) يحصل المرء على تمثيل وسيطي مشتق من التمثيل المثلثي للقطع الناقص لستاينر  :

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\overrightarrow {OS}}\;+\;{\color {blue}{\frac {1}{2}}}{\overrightarrow {SC}}\;\cos t\;+\;{\frac {1}{{\color {blue}2}{\sqrt {3}}}}{\overrightarrow {AB}}\;\sin t\;,\quad 0\leq t<2\pi \ .}$

• رؤوس القطع الناقص لستاينر الأربعة هي

${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}(t_{0}\pm {\frac {\pi }{2}}),\;{\vec {p}}(t_{0}+\pi ),}$

حيث t ₀ هو حل المعادلة

${\displaystyle \cot(2t_{0})={\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}-{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}\quad }$مع${\displaystyle \quad {\vec {f}}_{1}={\frac {1}{2}}{\vec {SC}},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}{\vec {AB}}\ .}$

أنصاف المحاور:

• مع الاختصارات

${\displaystyle {\begin{aligned}M&:={\color {blue}{\frac {1}{4}}}\left({\vec {SC}}^{2}+{\frac {1}{3}}{\vec {AB}}^{2}\right)\\N&:={\frac {1}{{\color {blue}4}{\sqrt {3}}}}\left|\det \left({\vec {SC}},{\vec {AB}}\right)\right|\end{aligned}}}$

نحصل على ما يلي بالنسبة للمحورين a و b (حيث a > b ):

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}}\right)\\b&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}}\right)\ .\end{aligned}}}$

• الانحراف الخطي c للقطع الناقص شتاينر هو

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=\dotsb ={\sqrt {\sqrt {M^{2}-4N^{2}}}}\ .}$

معادلة القطع الناقص لستاينر في الإحداثيات الثلاثية لمثلث بأطوال أضلاع a و b و c (مع اختلاف معنى هذه المعلمات عن السابق) هي ^{[ 1 ]}

${\displaystyle a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}-2abxy-2bcyz-2cazx=0}$

حيث x هو ثابت موجب عشوائي مضروب في المسافة بين نقطة وضلع طوله a ، وبالمثل بالنسبة لـ b و c بنفس الثابت المضاعف.

أطوال المحورين شبه الرئيسي وشبه الثانوي لمثلث أضلاعه a و b و c هي ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{6}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 2Z}},}$

أين

${\displaystyle Z={\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}}.}$

وفقًا لنظرية ماردن ، ^{[ 3 ]} إذا كانت رؤوس المثلث الثلاثة هي الأصفار المركبة لكثير الحدود التكعيبي ، فإن بؤر القطع الناقص لستاينر هي أصفار مشتقة كثير الحدود.

المحور الرئيسي لقطع شتاينر الناقص هو خط أفضل تطابق عمودي للرؤوس. ^{[ 6 ] : النتيجة 2.4}

نرمز إلى مركز المثلث ونقطتي فيرما الأولى والثانية بـ ⁠${\displaystyle G,F_{+},F_{-}}$على التوالي . المحور الرئيسي للقطع الناقص شتاينر للمثلث هو المنصف الداخلي لـ${\displaystyle \angle F_{+}GF_{-}.}$أطوال المحاور هي${\displaystyle |GF_{-}|\pm |GF_{+}|\!;}$أي مجموع وفرق المسافات بين نقاط فيرما ومركز الثقل. ^{[ 7 ] : نظرية 1}

محاور القطع الناقص غير المتساوي لشتاينر للمثلث مماسة لقطع كيبرت المكافئ ، وهو القطع المكافئ الوحيد الذي يمس أضلاع المثلث ويكون خط أويلر دليله . ^{[ 7 ] :} نظرية ³

بؤرتا القطع الناقص لستاينر للمثلث هما نقطتا تقاطع المحور الأكبر للقطع الناقص مع الدائرة التي مركزها على المحور الأصغر وتمر بنقاط فيرما. ^{[ 7 ] : نظرية 6}

كما هو الحال مع أي قطع ناقص محاط بمثلث △ ABC ، ​​إذا كانت البؤرتان هما P و Q ، فسنحصل على ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$

يمكن تحديد القطع الناقص الداخلي لستاينر للمثلث △ ABC باستخدام رسم بياني يعتمد على إنشاء تحويل تآلفي بين المثلث المعطى ومثلث متساوي الأضلاع . ولأن هذا الإسقاط يحافظ على منتصفات الأضلاع، فإنه يسمح بمطابقة بيانية بين الدائرة الداخلية للمثلث متساوي الأضلاع والقطع الناقص الداخلي المطلوب. المحوران الرئيسي والثانوي للقطع الناقص متعامدان دائمًا. يستخدم الرسم دائرة تمر بالنقطتين _{A وA' (الرأسين الأصلي والمُحوَّل) لإيجاد النقطتين k1 وk2 على محور التآلف. يحدد الشعاعان k1A} و k2A الاتجاهين _{الوحيدين} اللذين يظلان متعامدين بعد التحويل ، _وهما اتجاها _نصفي محوري ^القطع الناقص . ^{[ 9} ]

لإجراء عملية الإنشاء، يُختار أحد أضلاع المثلث كمحور تقارب. (إذا كان المثلث متساوي الأضلاع، فإن المسألة بسيطة لأن القطع الناقص الداخلي هو دائرته الداخلية؛ أما إذا كان متساوي الساقين، فيُختار عادةً أحد الضلعين المتساويين).

الإجراء كالتالي:

1. بفرض وجود المثلث △ ABC ، قم بإنشاء المثلث متساوي الأضلاع △ A'BC على الضلع BC .
2. ارسم القطعة المستقيمة A'A (اتجاه التقارب مع المحور BC ) بين المثلثين.
3. انطلاقاً من نقطة المنتصف m للقطعة المستقيمة A'A ، ارسم المنصف العمودي حتى يتقاطع مع الخط BC (أو امتداده) عند النقطة O.
4. ارسم الدائرة التي مركزها O والتي تمر عبر A' و A ، والتي تتقاطع مع الخط BC عند النقطتين k ₁ و k ₂ .
5. يتطابق اتجاه الشعاع k ₁ A مع المحور الرئيسي للقطع الناقص شتاينر، ويتطابق اتجاه الشعاع k ₂ A مع المحور الثانوي.
6. يتم الحصول على نقاط نهاية المحاور النصفية عن طريق إسقاط نقاط الدائرة الداخلية للمثلث متساوي الأضلاع - وتحديداً تلك التي تكون فيها المماسات موازية للأشعة k ₁ A' و k ₂ A' - ويعتمد ذلك على حقيقة أن التحويلات الأفينية تحافظ على التوازي بين خطين في نفس المستوى.

ينطبق هذا البناء نفسه على القطع الناقص لشتاينر ، ولكنه يستخدم الدائرة المحيطة بالمثلث متساوي الأضلاع بدلاً من الدائرة الداخلية.

يمكن تعميم القطع الناقص لستاينر للمثلث ليشمل المضلعات ذات n ضلعًا: فبعض هذه المضلعات لها قطع ناقص داخلي يمس كل ضلع عند منتصفه. ولا تزال نظرية ماردن سارية: بؤرتا القطع الناقص لستاينر هما أصفار مشتقة كثيرة الحدود التي أصفارها هي رؤوس المضلع ذي n ضلعًا. ^{[ 10 ]}